গ্যালারকিন পদ্ধতির সাথে সীমানা শর্তগুলি কীভাবে যুক্ত করা যায়?

21

আমি পিডিইগুলি সমাধানের জন্য গ্যালারকিন পদ্ধতি সম্পর্কে ওয়েবে কিছু সংস্থান পড়ছি, তবে আমি কিছু সম্পর্কে পরিষ্কার নই not নীচে আমি যা বুঝতে পেরেছি তার নিজস্ব অ্যাকাউন্ট রয়েছে।

নিম্নলিখিত সীমানা মান সমস্যা (BVP) বিবেচনা করুন:

L [u (x, y)] = 0 on (x, y) \in Ω, S [u] = 0 on (x, y) \in \partial Ω

$L[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega$

যেখানে একটি ২ য় অর্ডার লিনিয়ার ডিফারেনটিভেশন অপারেটর, হল বিভিপির ডোমেন, ডোমেনের সীমানা, এবং একটি প্রথম অর্ডার লিনিয়ার ডিফারেন্সিয়াল অপারেটর। ফর্মের একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ হিসাবে প্রত্যাশা করুন : $L$ $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ $\partial\Omega$ $S$ $u(x,y)$

u (x, y) \approx \sum_{i = 1}^{N} a_{i} g_{i} (x, y)

$u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y)$

যেখানে $g_i$ ফাংশনগুলির একটি সেট যা আমরা আপনার আনুমানিক ব্যবহার করব $u$ । বিভিপিতে প্রতিস্থাপন:

\underset{আমি}{Σ} {একটি}_{আমি} এল [ছ_{আমি} (এক্স, Y)] = আর ({একটি}_{1}, । । ।, {একটি}_{এন}, এক্স, Y)

$\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y)$

যেহেতু আমাদের অনুমানের পরিমাণটি সঠিক নয়, তাই অবশিষ্টাংশগুলি $R$ শূন্য নয়। গ্যালারকিন-রিটজ-রালেহ পদ্ধতিতে আমরা প্রয়োজনের দ্বারা আনুমানিক ফাংশনগুলির সেটকে সম্মান করে কমিয়ে । অত: পর $R$ $\langle R,g_i \rangle = 0$

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

সুতরাং, সহগের সন্ধান করতে $a_i$ আমাদের অবশ্যই ম্যাট্রিক্স সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

(\begin{array}{ccc} ⟨ এল [ছ_{1}], ছ_{1} ⟩ & ... & ⟨ এল [ছ_{এন}], ছ_{1} ⟩ \\ ... & ... & ... \\ ⟨ এল [ছ_{1}], ছ_{এন} ⟩ & ... & ⟨ এল [ছ_{এন}], ছ_{এন} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} {একটি}_{1} \\ ... \\ {একটি}_{এন} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

আমার প্রশ্ন: আমি কীভাবে সীমানা শর্তকে এর সাথে অন্তর্ভুক্ত করব?

সম্পাদনা: মূলত প্রশ্নটি বলেছিল যে $S[u]$ ২ য় অর্ডার লিনিয়ার ডিফারেন্সিয়াল অপারেটর। আমি এটি 1 ম অর্ডার লিনিয়ার ডিফারেন্সিয়াল অপারেটরে পরিবর্তন করেছি।

pde finite-element boundary-conditions

— becko
সূত্র

1

বেকো, আপনাকে স্বাগতম scicomp! ক্রস পোস্টিং সম্পর্কিত আমাদের নীতি অন্যান্য স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ সাইটের অনুসরণ করে । যদি আপনি একই শ্রেনীর (কমবেশি) বিভিন্ন শ্রোতাদের কাছে উপযুক্ত হন তবে ক্রস পোস্ট করা জায়েজ। কিছুক্ষণ পরেই আপনার প্রশ্নটি অন্য সাইটে স্থানান্তরিত হওয়ার জন্য জিজ্ঞাসা করা জায়েয, যদি আপনি মনে করেন যে প্রাথমিকভাবে যেখানে পোস্ট করা হয়েছে সেখানে আপনার প্রশ্নের সন্তোষজনকভাবে (বা মোটেও) উত্তর দেওয়া হচ্ছে না।

— জেফ অক্সবেরি

তবে ক্রস-পোস্টকে এটি সাধারণত আপত্তিজনক আচরণ বলে মনে করা হয়। আপনি যদি অঞ্চল ৫১ এর বিটা সাইটের তালিকার দিকে লক্ষ্য করেন তবে তাদের মধ্যে অনেকগুলি এক বছর পরেও সর্বজনীন বিটাতে রয়েছে। আমরা এখনও কিছু সময়ের জন্য ঘুরতে যাচ্ছি (কমপক্ষে একটি দীর্ঘ সময়ের স্কেল থেকে উত্তর দেওয়ার জন্য এই সাইটের বেশিরভাগ প্রশ্নের দরকার পড়ে)। তদ্ব্যতীত, mathআপনার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ব্যবহারকারীরাও ব্যবহারকারী না হলে scicompতারা scicompযদি এ থেকে অনুলিপি করে পেস্ট করেন তবে তার বিপরীতে যথাযথ ক্রেডিট বা এট্রিবিউশন পাবেন না math।

— জেফ অক্সবেরি

1

আপনি কি নিশ্চিত যে দ্বিতীয় আদেশের অপারেটর? সাধারণভাবে, এটি একটি সু-পোজযুক্ত সমস্যা নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি , তবে আপনি এর জন্য জিজ্ঞাসা করছেন যা মারাত্মকভাবে অ-অনন্য সমাধান রয়েছে (যেমন কোনও সীমানা শর্তযুক্ত বৃহত্তর ডোমেনে PDE এর সমাধানও একটি সমাধান)। সাধারণত আমরা একটি (সম্ভবত ননলাইনার) প্রথম অর্ডার অপারেটর হতে বলি ।

S

$S$

S = L

$S = L$

L u = 0

$L u = 0$

\bar{Ω}

$\bar\Omega$

S

$S$

— জেদ ব্রাউন

2

এমনকি , আপনি এখনও অ-অনন্য সমাধানের দিকে তাকিয়ে রয়েছেন। যদি বিবেচনা করুন laplace অপারেটর এবং অন্য কোন দ্বিতীয় ক্রম রৈখিক অপারেটর। তারপরে কিছু ধ্রুবক ভেক্টর জন্য such মতো যে কোনও অন্য সমাধান তৈরি করার জন্য একটি সমাধানে যুক্ত করা যেতে পারে।

S \neq L

$S \ne L$

L

$L$

S

$S$

u

$u$

\nabla u = k

$\nabla u=\mathbf{k}$

k

$\mathbf{k}$

— ড্যান

1

@ জিফঅক্সবেরি আপনার মানসিক প্রশান্তির জন্য, এর সদৃশ প্রশ্নটি mathমুছে ফেলা হয়েছে। স্পষ্টতই আপনি প্রশ্নটি এখানে রাখার বিষয়ে ঠিক বলেছেন। আমি খুব সহায়ক প্রতিক্রিয়া পেয়েছি।

— বেকো

15

গাণিতিক বিমূর্ততা ছাড়াই একটি দ্রুত এবং সাধারণ উত্তর। সীমানা শর্ত আরোপ করার জন্য বেশ কয়েকটি বিকল্প রয়েছে, যেমন

কঠোরভাবে গ্যালারকিন পদ্ধতিতে কথা বলতে আপনার বিসি কে সন্তুষ্ট করে এমন ফাংশনগুলির একটি সেট বেছে নেওয়া প্রয়োজন (উদাহরণস্বরূপ ভিত্তিক এবং / অথবা সমাধানের জন্য দায়ী বুদ্ধি এবং একটি আংশিক যোগফল) একজাতীয় শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে এমন ভিত্তিতে ফাংশনগুলির উপর নির্ভর করে) $u_h=u_0+u_N$ $u_0$ $u_N$

পেনাল্টি পদ্ধতি / ল্যাঞ্জরেঞ্জ বহুগুণ হয় যেখানে কেউ মূলত একটি পেনাল্টি শব্দ যুক্ত করে যা সীমানা শর্তকে অন্তর্ভুক্ত করে, যেমন A + যেখানে পৃথক সীমানা অবস্থার জন্য দায়ী ম্যাট্রিক্স এবং পদগুলির জন্য দায়ী। সীমাতে শর্তগুলি strongly়ভাবে চাপিয়ে দেওয়া হয় এবং অন্যথায় এটি দুর্বলভাবে চাপানো হয়। Au পছন্দ সিস্টেমের কন্ডিশনারকে প্রভাবিত করে। $\tau*B = b + \tau*b_p$ $B$ $b_p$ $\tau\to\infty$ $\tau$
তাউ পদ্ধতি যেখানে সীমানা শর্তের বিচ্ছিন্ন সংস্করণগুলি সহ স্পষ্টভাবে প্রয়োগ করা হয় সেখানে বেশ কয়েকটি সমীকরণ বিনিময় হয় (গ্যালারকিন সিস্টেমে সারিগুলির পরিবর্তন)। দ্রষ্টব্য: অতিরিক্ত বাউন্ডারি শর্তাদির সাহায্যে সিস্টেমগুলি অতিরিক্ত নির্ধারণ করাও একটি বিকল্প।
বিবেচনার আগে (রিটজ মেথড) গ্যালস ডাইভারজেন তত্ত্বের মাধ্যমে গ্যালার্কিন গঠনের পুনর্লিখনের জন্য ভলিউম ইন্টিগ্রালগুলিকে সীমানা ইন্টিগ্রালগুলিতে রূপান্তর করতে এবং তারপরে বিচ্যুতির আগে সরাসরি সূচনায় (সঠিক বা আনুমানিক) সীমানা শর্তগুলি অন্তর্ভুক্ত করে।
পরিশেষে, নোডাল / মডেল বিস্তারের মধ্যে সংযোগ কাজে লাগিয়ে নোডাল গ্যালারকিন পদ্ধতি নেওয়া সম্ভব যেখানে সিস্টেমের সমাধানটি একটি মডেল ভিত্তির পরিবর্তে ল্যাঞ্জরেন্জ ভিত্তিক সহগ হয়।

— অ্যালান পি। ইঞ্জিগ-কারুপ
সূত্র

1

আমি হয় এটা, তাই না?

τ

$\tau$

λ

$\lambda$

— শুহালো

হাঁ। সংশোধিত।

— অ্যালান পি। ইঞ্জিগ-কারুপ

1

এটি কি "গ্যালারকিন পদ্ধতিতে আপনার বিসি সন্তুষ্ট করে এমন বেসিক ফাংশনগুলির একটি সেট বেছে নেওয়া দরকার ?"

— নট করুন

@ কেএনএল: আমিও তাই মনে করি, অন্য বাক্যটিও বোঝায় না। আমি একটি সম্পাদনা করব।

— ডেভিডিঘ

7

এক সম্ভাবনা সিস্টেম ম্যাট্রিক্স জড় করা হয় এবং ডান দিকে ভেক্টর , অজানা হিসেবে স্বাধীনতার নির্ধারিত মাত্রার, স্বাধীনতা অন্য কোন ডিগ্রী মত। এর পরে, এবং সারি এবং নির্ধারিত dofs সঙ্গে যুক্ত কলাম zeroing, এবং সংশ্লিষ্ট তির্যক এন্ট্রিতে একটি এক নির্বাণ, এবং উপযুক্তভাবে পরিবর্তন RHS ভেক্টর দ্বারা পরিবর্তিত হয় । $A$ $b$ $A$ $b$ $b$

আপনি যখন সারি শূন্য করেন, তখন একটিকে তির্যকের মধ্যে রাখুন এবং আরএইচএস পরিবর্তন করুন যাতে আপনি নির্ধারিত মান প্রয়োগ করেন, সিস্টেমটি আর প্রতিসাম্যহীন নয়। এজন্যই আপনি কলামগুলি শূন্য করেন এবং নির্ধারিত মানের জন্য অ্যাকাউন্টে rhs ভেক্টর পরিবর্তন করেন mod $b$

অন্য সম্ভাবনাটি হ'ল নির্ধারিত ডফের তির্যকটিতে খুব বেশি সংখ্যক (সাধারণত 1e10) যুক্ত করা এবং তারপরে p * এন্ট্রি সেট করুন , যেখানে সেই ডফের নির্ধারিত মান। $p$ $\bar{u}$ $\bar{u}$

— বার্নার্ডো মি
সূত্র

6

সীমাবদ্ধ অবস্থার সাথে সীমাবদ্ধ অবস্থার সাথে কাজ করার সাধারণ সমস্যাটি বেশ জটিল হয়ে উঠতে পারে। কিন্তু যদি:

যেমন শুধুমাত্র আরোপ করে ফর্মে তোলে যে কিছু সমান উপর । $S(u)$ $S(u)=0$ $u$ $f(x,y)$ $\delta \Omega$
তুমি তোমার উপাদানের ঠকান করতে পারেন যাতে করে বিভিন্ন উপাদানের গণ্ডি উপর সম্পূর্ণরূপে হয় $\delta \Omega$

এটা আসলে খুব সহজ। আপনার সমীকরণ:

সাথে প্রতিস্থাপন করা দরকার

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = 0

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=0$

(\begin{array}{ccc} ⟨ L [g_{1}], g_{1} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{1} ⟩ \\ \dots & \dots & \dots \\ ⟨ L [g_{1}], g_{N} ⟩ & \dots & ⟨ L [g_{N}], g_{N} ⟩ \end{array}) (\begin{matrix} a_{1} \\ \dots \\ a_{N} \end{matrix}) = b

$\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_1\right\rangle \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \left\langle L\left[g_1\right],g_N\right\rangle & \ldots & \left\langle L\left[g_N\right],g_N\right\rangle \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a_1 \\ \ldots \\ a_N \end{array} \right)=\mathbf{b}$

যেখানে ডান পাশের ভেক্টর সীমানা পরিস্থিতি উপস্থাপন করে। $\mathbf{b}$

নির্ধারণ , যে মান নির্ধারণ আপনার ভিত্তি উপাদান সেট উপর যাই হোক না কেন মান তারা সীমানা শর্ত সন্তুষ্ট থাকতে হবে। ইন , আপনি তাদের কাছ থেকে বাদ উচিত কিন্তু (উপাদান এই ফাংশন যে মিলা ইতিমধ্যে নির্ধারিত হয়েছে যাতে তারা ম্যাট্রিক্স মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করা উচিত নয় সমীকরণ)। এর পরে, সেট আপ $\mathbf{b}$ $u$ $\delta \Omega$ $\langle L[g_j],g_i \rangle$ $g_j$ $g_i$ $\mathbf{a}$ একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ, এবং উপাদানের মানঅভ্যন্তরীণ পণ্য হিসেবে অধিকার পপ আউট উচিতউপাদান সঙ্গে আপনার আপনার অভ্যন্তর ভিত্তিতে অপারেটিং আপনার সীমানা ভিত্তিতে।

⟨ R, g_{i} ⟩ = \sum_{j = 1}^{N} a_{j} ⟨ L [g_{j}], g_{i} ⟩ = 0

$\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0$

b

$\mathbf{b}$

L

$L$

— দেনিযেল
সূত্র

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ ড্যান। "অনুধাবন করার জন্য

..." (যা অপরিহার্য অংশ, আমি মনে করি) শুরু হয় এমন অনুচ্ছেদটি আমি বুঝতে পারি না । আপনি কি এটি আরও কিছুটা স্পষ্ট করে তুলতে পারেন?

b

$\mathbf{b}$

— বেকো

অন্যদিকে, আমি যে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করছি তা কেবল আপনার দ্বিতীয় অবস্থার জন্যই সন্তুষ্ট: সীমানাটি একটি আয়তক্ষেত্র। প্রথম শর্ত হিসাবে, সীমানা শর্তগুলি সীমানায় ফাংশনের মান নির্দিষ্ট করে না। সীমানা শর্ত (ভালো কিছু ফাংশনের দ্বিতীয় ক্রম ডেরাইভেটিভস রৈখিক সমন্বয় মান উল্লেখ

, যেখানে

ধ্রুবক আছে। এছাড়াও সীমানা শর্তগুলি একজাতীয়।

a \partial^{2} u / \partial x \partial y + b \partial^{2} u / \partial x^{2} = 0)

$a\partial^2 u/\partial x\partial y +b\partial^2 u/\partial x ^2 = 0)$

a, b

$a,b$

— বেকো

@ বেকো: আপনার প্রশ্নে

এবং

কী রয়েছে সে সম্পর্কে আপনি আরও স্পষ্ট হতে চাইতে পারেন । বিভিন্ন ধরণের সীমানা পরিস্থিতি বিভিন্ন উপায়ে পরিচালনা করা যায়।

L

$L$

S

$S$

— ড্যান

1

আমি প্রশ্নটি আরও স্পষ্ট করার জন্য এটি সম্পাদনা করেছি, আমি মনে করি। আমি যে সঠিক সমস্যাটি সমাধান করতে চাইছি তা পোস্ট করতে চাই না কারণ আমি প্রশ্নটি যতটা পারি সাধারণভাবে রাখতে চাই। আমি মনে করি আমি সেই পদ্ধতিটি আরও ভালভাবে বুঝতে পারি।

— বেকো

@becko: আমরা এই স্থানান্তর করতে চান পারে চ্যাট যেমন দীর্ঘ ধরনের হচ্ছে।

— ড্যান

2

এখানে ভিত্তি পুনঃসংযোগ হিসাবে পরিচিত একটি পদ্ধতি যা বর্তমান থ্রেডে উল্লেখ করা হয়নি। আমি জেপি বয়েড বইটি থেকে উদ্ধৃত করছি, "চেবিশেভ এবং ফুরিয়ার স্পেকট্রাল পদ্ধতি", ২ য় সংস্করণ, অধ্যায় .5.৫ .:

যদি সমস্যাটি এর মধ্যে একজাতীয় সীমানা শর্ত থাকে, তবে এটি সর্বদা সমজাতীয় সীমানা শর্তগুলির সাথে সমতুল্য সমস্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, যতক্ষণ না সীমানা শর্তটি লিনিয়ার হয়। প্রথম পদক্ষেপটি হ'ল সাধারণ ফাংশন যা অসাধারণ সীমানা শর্তকে সন্তুষ্ট করে। এক তারপর নতুন পরিবর্তনশীল সংজ্ঞায়িত পারে এবং নতুন অত্যাচার ফাংশন মাধ্যমে
$এল তোমার দর্শন লগ করা = চ$ $L u = f$ $B(x)$ $v(x)$ $g(x)$ যাতে পরিবর্তিত সমস্যাটি যেখানে একজাতীয় সীমানা শর্ত পূরণ করে। ... $তোমার দর্শন লগ করা (এক্স) \equiv বনাম (এক্স) + + বি (এক্স) ছ (এক্স) \equiv চ (এক্স) - এল বি (এক্স)$ $u(x) ≡ v(x) + B(x)\\ g(x) ≡ f(x) − L B(x)$ $এল বনাম = ছ$ $L v = g$ $v(x)$
শিফট ফাংশন সীমাবদ্ধতা ব্যতীত স্বেচ্ছাসেবী যে এটি অবশ্যই সমস্ত অসাধারণ সীমানা শর্ত পূরণ করতে পারে। তবে সর্বাধিক সহজ পছন্দটি সেরা: সর্বাধিক অর্ডারের বহুপদী প্রবৃত্তি যা কাজ করে। $B(x)$

এর পরে আমার নিজস্ব ব্যাখ্যা আসে:

"অসাধারণ সীমানা শর্ত" এর অর্থ এমন একটি শর্ত যা একটি ধ্রুবক থাকে, যেমন
$\partial_{এক্স} তোমার দর্শন লগ করা (এক্স, Y) |_{এক্স = {এক্স}_{0}} = 1।$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 1.$
উপরের প্রোগ্রাম অনুসারে, সুবিধাজনক ফাংশন করে আপনি $B(x)$
$\partial_{এক্স} তোমার দর্শন লগ করা (এক্স, Y) |_{এক্স = {এক্স}_{0}} = 0।$ $\partial_x u(x,y) |_{x=x_0} = 0.$
আপনি একবার এইভাবে সমস্ত সীমানা শর্তগুলি একজাতীয় করে তুললে, আপনি আপনার ভিত্তির প্রসারণের দিকে ফিরে যেতে পারেন (যা আমি ধরে নিই যে পণ্য ভিত্তিতে করা হয়): সংশ্লিষ্ট বিসি অপারেটর প্রয়োগ করে, একটি
$তোমার দর্শন লগ করা (এক্স, Y) = \underset{আমি ঞ}{Σ} {একটি}_{আমি ঞ} φ_{আমি} (এক্স) φ_{ঞ} (Y)$ $u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ এবংউপরের উদাহরণ অনুসারে এটি জন্য শূন্য হওয়া উচিত। $\partial_{এক্স} তোমার দর্শন লগ করা (এক্স, Y) = \underset{আমি ঞ}{Σ} {একটি}_{আমি ঞ} φ_{আমি}^{'} (এক্স) φ_{ঞ} (Y)$ $\partial_x u(x,y) \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \phi^\prime_{i}(x) \, \varphi_{j}(y)$ $x=x_0$
$\phi_i(x)$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 0$ $i$
$=1$ $\phi^\prime_i(x)|_{x=x_0} = 1$
$\partial_{এক্স} তোমার দর্শন লগ করা (এক্স, Y) |_{এক্স = {এক্স}_{0}} = \underset{আমি ঞ}{Σ} {একটি}_{আমি ঞ} φ_{ঞ} (Y)$ $\partial_x u(x,y)|_{x=x_0} \ =\ \sum_{ij} a_{ij} \, \varphi_{j}(y)\,$ $1$ $y$ $a_{ij}$

এই সম্পূর্ণ পদ্ধতির সুন্দর জিনিসটি এটি তুলনামূলকভাবে বিমূর্ত স্তরে কাজ করছে। প্রয়োজনীয় উপাদানগুলি হ'ল বিসি অপারেটরের কেবল লিনিয়ারিটি এবং পণ্য ভিত্তিক ক্রিয়াগুলির ক্ষেত্রে একটি আনস্যাটজ। যেমন, এটি আনুমানিক পদ্ধতিতেও প্রযোজ্য।

— davidhigh
সূত্র