উচ্চ মাত্রিক প্যারাবলিক পিডিই (মাল্টি-ইলেক্ট্রন শ্রডিনগার সমীকরণ) সমাধানে শিল্পের বর্তমান অবস্থা কী?

Question

সাধারণ মেরু সহ জটিল ডোমেনে উচ্চ মাত্রিক (3-10) প্যারাবলিক পিডিই সমাধান করার জন্য শিল্পের বর্তমান অবস্থা কী (ফর্ম ) এবং সীমানা শর্ত শোষণ?$\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

বিশেষত, আমি বহু-ইলেকট্রন শ্রাইডিনগার সমীকরণ সমাধান করতে আগ্রহী:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

1 টিরও বেশি ইলেক্ট্রনযুক্ত ডায়াটমিক অণুর জন্য।

Answer 1

সমীকরণ জন্য সমাধান হয় যদি ইলেকট্রনের সংখ্যাযথেষ্ট পরিমাণে থাকে তবেআপনি কেবল কোনওtraditionalতিহ্যবাহীপদ্ধতিব্যবহার করতে পারেন। একটি ডোমেন বিবেচনার পদ্ধতি (সীমাবদ্ধ পার্থক্য, সীমাবদ্ধ উপাদান, সীমানা উপাদান), বা একটি সিউডোস্পেকট্রাল পদ্ধতির মতো। যেহেতু এই সমীকরণটি সমাধান করা বহুমাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণটি সমাধানের চেয়ে বেশি কঠিন নয়।

$$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$$

বড় সিস্টেমের ক্ষেত্রে সমাধান পেতে কিছু কৌশল প্রয়োজন trick আমরা একটি বৈদ্যুতিনের মেঘের সাথে বৈদ্যুতিনের মিথস্ক্রিয়াটির জন্য ইলেক্ট্রন-ইলেক্ট্রন মিথস্ক্রিয়াকে প্রতিস্থাপন করি (তার মধ্যে বাকি ক্ষেত্রগুলির একটি গড় ক্ষেত্রের আনুমানিকতা) এবং তারপরে একটি স্ব-সামঞ্জস্যপূর্ণ ফ্যাশনে সমাধান করি (গড় ক্ষেত্র থেকে আসা অরেখার কারণে) শব্দ)। এটি হার্ট্রি-ফক এবং ডেনসিটি ফাংশনাল থিয়োরি (ডিএফটি) এ করা হয়। যেখানে মূল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি একটি পরিবর্তনশীল সূচনায় রূপান্তরিত হয়।

আজকাল ডিএফটি সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি এবং এর সুবিধাটি হ'ল সমস্ত সমীকরণ তরঙ্গ সমীকরণের ক্ষেত্রে নয় ইলেক্ট্রন ঘনত্বের ভিত্তিতে তৈরি করা হয়। সুতরাং, সমীকরণগুলি 3 মাত্রিক স্থানে থাকে। একটি বই যা এই উভয় পদ্ধতির বর্ণনা দেয়

• থিজসেন, জোস। গণনা পদার্থবিজ্ঞান। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, 2007. অ্যামাজন লিঙ্ক ।

Answer 2

আপনি 3 থেকে 10 কণা সিস্টেমের জন্য সমাধান করতে চান (কণা প্রতি 3D)? যতদূর আমি অবগত, গড় ক্ষেত্র তত্ত্বগুলি খুব কম কণার জন্য বিশেষত ভাল কাজ করে না, তবে মনে হয় ডায়াটমিক অণুতে DFT এর কাজ হয়েছে।

এটি কি এমন একটি সিস্টেম যেখানে জন্ম-ওপেনহেইমার বৈধ? যদি তা হয় তবে আমি স্লটার নির্ধারকগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণটি সম্ভবত স্পার্ল গ্রিড বা বর্ণালী স্পার্স গ্রিড ব্যবহার করে বৈদ্যুতিন তরঙ্গসংশোধনের প্রসারিত হতে পারে । এই কাগজটি সম্ভবত সাহায্য করতে পারে ।

আরেকটি বিকল্প হ'ল একটি কড়া-বাঁধাই পদ্ধতি ব্যবহার করার চেষ্টা করা, যদিও আপনি সীমানা শর্তগুলি শোষণ করার বিষয়টি উল্লেখ করেছেন তা বোঝায় যে আপনি আয়নীকরণ / বিচ্ছিন্নতার সাথে জড়িত সমস্যার কথা ভাবতে পারেন। আপনি আনুমানিক নিম্ন স্তরের রাজ্যগুলির চেষ্টা করে থাকলে টিবি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে কার্যকর হবে।

সম্ভবত মাল্টি-কনফিগারেশন সময়-নির্ভর হার্ট্রি-ফক পদ্ধতির মতো কিছু এখানে এমসিটিডিএইচএফ কাজ করতে পারে ।

অবশেষে, আপনি কোয়ান্টাম মন্টি কার্লো পদ্ধতিগুলি দেখতে পারেন। ডিএফটি গণনা করার জন্য একক পরমাণুর বিনিময় এবং পারস্পরিক সম্পর্কের ক্রিয়ামূলক মডেলগুলি এই পদ্ধতিগুলি। দেখে মনে হচ্ছে বহু-পারমাণবিক এক্সটেনশন রয়েছে। (আমি লিঙ্ক সুবিধার বাইরে)।

Comments

3-10 মাত্রা, কণা নয়: বিশেষত 1 থেকে 3 ইলেক্ট্রন, 2 নিউক্লিয়াস (নিউক্লিয়াসের 1d, কণার 6d), জন্ম-ওপেনহেইমারের সমীকরণ ছাড়াই। এবং আমি আয়নীকরণ ধরণের জিনিস করছি।

— অ্যান্ড্রু স্পট

Answer 3

$M$$3M$$N$$N$$N^{3M}$$M$$N=10$$10^9$

এই বিবেচনা থেকে নিম্নলিখিতটি একই সময়ে সমস্ত ইলেকট্রনগুলির সাথে সমস্যাটি বিবেচনা করা সম্ভব নয় - আপনাকে একবারে নিজেকে এক বা দুটি ইলেকট্রনের মধ্যে সীমাবদ্ধ করতে হবে। এটি স্বাভাবিকভাবেই হার্ট্রি ফক পদ্ধতির মতো পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে যা বাকী সিস্টেমটি স্থির রেখে ইলেকট্রনের উপর দিয়ে পুনরাবৃত্তি করে।

আমি ক্ষেত্রটি যথেষ্ট পরিমাণে জানি না তবে ধারণা করুন যে এই বিষয়টিতে বেশ কয়েকটি উচ্চ উদ্ধৃত এবং ভাল লিখিত পর্যালোচনা পত্র রয়েছে।

Comments

$10^9$

ভাল, ফর্মিওনিক সিস্টেমে বেশ কয়েকটি (বিরোধী) প্রতিসাম্য রয়েছে যা আপনি পাওলি নীতিটির কারণে উল্লেখযোগ্যভাবে স্বাধীনতার সংখ্যার ডিগ্রী হ্রাস করতে ব্যবহার করতে পারেন (3 এম-ডাইমেনশনাল হাইপারকিউবের পরিবর্তে, আপনাকে কেবল সংশ্লিষ্ট সিমপ্লেক্সটি বিবেচনা করতে হবে, যার মধ্যে কিউবে রয়েছে (3 এম)! কপি)। সুতরাং আপনার কেবল বাইনোম (এন, 3 এম) ভিত্তিক ফাংশন প্রয়োজন - এখনও তাত্পর্যপূর্ণ তবে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পাচ্ছে। এটি একটি মৌমাছির ওয়ার্কস্টেশনের নাগালের সীমার নীচের প্রান্তকে রেখে দিতে পারে।

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন

একটি 3-ইলেকট্রন সিস্টেমের জন্য, সম্ভবত। তবে আপনি এখনও এর বাইরে কিছু করতে সক্ষম হবেন না। এটি একটি বিশাল সংখ্যক অণু ছেড়ে যায় না :-)

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

তবে প্রশ্নটি কেবল 3-10 ভেরিয়েবলের জন্যই জিজ্ঞাসা করছিল :) (তবে আপনার বক্তব্যটি বৈধ: অল্প সংখ্যক ইলেকট্রনের চেয়ে বেশি যে কোনও কিছুর জন্য আপনাকে ডিএফটি-র মতো আনুমানিক ফিল্ড মডেলগুলি বিবেচনা করতে হবে ; আমার বক্তব্যটি ছিল "এর মধ্যে হতে পারে" "এবং" কেবলমাত্র প্রায় সমাধান করা যায় "স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতির সাথে সমাধান করা হয়েছে, সেখানে একটি অ-তুচ্ছ সমস্যা রয়েছে যা" কেবলমাত্র (কেবল) অ-মানক পদ্ধতির সাহায্যে সমাধান করা যেতে পারে ")

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন