অর্ডার 9 এবং উচ্চতর স্পষ্টভাবে রানেজ কত্তা পদ্ধতিগুলি তৈরি করা

Question

কিছু পুরানো বই আমি দেখেছি যে একটি নির্দিষ্ট আদেশের একটি সুস্পষ্ট রানেজ-কত্তা পদ্ধতির ন্যূনতম সংখ্যা আদেশের জন্য অজানা $\geq 9$। এটা কি এখনও সত্য?

হাই অর্ডার রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতিতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে কাজ করার জন্য কোন গ্রন্থাগার রয়েছে?

Comments

"স্বয়ংক্রিয়ভাবে কাজ করা" বলতে কী বোঝ?

— ডেভিড কেচসন

@ ডেভিডকেটসন সহগ তৈরি করতে এবং তাদের সম্পত্তিগুলি পরীক্ষা করে। আমি যথেষ্ট কল্পনা করতে পারি না যে কয়টি শর্ত এবং ভেরিয়েবল রয়েছে তা বিবেচনা করে কেউ খাঁটি হাতে উচ্চ আদেশের পদ্ধতি গ্রহণ করবে।

— কিরিল

আমি এ জাতীয় সহগ তৈরির কোনও সফ্টওয়্যার জানি না। আমি যেমন মত অনলাইন উচ্চ-অর্ডার আর কে পদ্ধতি দেখা করেছি, সেই , টেরি Feagin দ্বারা উন্নত। আদেশ 10 এর সহগের প্রাপ্তির প্রক্রিয়া বর্ণনা করার কাগজটি এখানে রয়েছে । এটি দেখে মনে হচ্ছে না যে স্বয়ংক্রিয় পদ্ধতিটি সহজেই প্রয়োগ করা হবে এবং আমি সন্দেহ করি যে সেগুলি বিদ্যমান। (পার্শ্ব-নোট হিসাবে, আমি আরআর এর 9 টি কখনও দেখেনি, সর্বদা (7) 8 বা (8) 10। নিশ্চিত না আর কে 9 এর রয়েছে কিনা!)

— এতিয়েন পেলেগ্রিনি

(7) 8, (8) 9, (8) 10, (10) 12, এবং (12) 14 এর ডিফার্নিয়ালএকুয়েশনস.জেএল-তে বাস্তবায়ন রয়েছে । আপনি আবার চেষ্টা করতে পারেন বেশ কয়েকটি সমস্যা on আমি কিছুটা বিশদ মূল্যায়ন দেব।

— ক্রিস রাকাকাকাস

নোট করুন যে উপরে 8 ম অর্ডার সাধারণত ভাসমান পয়েন্ট নির্ভুলতার মধ্যে কার্যকর নয়। ভার্নার পদ্ধতিগুলি খুব ভাল, তবে কেবল 6 টি পর্যন্ত FSAL করা সহজ। ফেইগিনের কোনও বাধা নেই।

— ক্রিস রাকাকাকাস

Answer 1

কোট

এখনও সত্য। ইন কসাই এর বই , পৃষ্ঠা 196, এটা নিম্নলিখিত বলেছেন: ইন একটি 1985 কাগজ, কসাই দেখিয়েছেন যে আপনি 8 পেতে 11 পর্যায়ে প্রয়োজন , এবং এই সুতীক্ষ্ন। অর্ডার 10 এর জন্য, হায়ার 17-পর্যায়ের পদ্ধতিগুলির পরিবার নিয়েছে তবে এটি আরও ভাল করতে পারে কিনা তা জানা যায়নি। একই তথ্য হায়ারার , নর্সেট, ওয়ানার খণ্ডের ২ য় বিভাগে দেওয়া আছে । আমি । পরের রেফারেন্সটি উচ্চ-অর্ডার জোড়া (8 অর্ডার পর্যন্ত) বিকাশের জন্য কিছু কৌশল অবলম্বন করে।

যে কোনও আদেশের জন্য প্রয়োজনীয় ন্যূনতম স্তরের উপরের একটি আবদ্ধ রয়েছে, যেহেতু আপনি এগুলি এক্সট্রাপোলেশন দ্বারা নির্মাণ করতে পারেন const এটি দীর্ঘকাল ধরে পরিচিত; দেখতে আমার এই সাম্প্রতিক কাগজ একটি ব্যাখ্যা জন্য। যাইহোক, এই সীমাটি ক্রমে চতুর্ভুজযুক্ত এবং অবশ্যই বেশ হতাশাব্যঞ্জক। নীচে আলোচিত নোডপি সফ্টওয়্যার এই পদ্ধতিগুলির জন্য এবং কোনও অর্ডারের স্থগিত সংশোধন পদ্ধতি (যা রানেজ-কত্তা পদ্ধতিগুলি) এর জন্য সঠিক সহগ তৈরি করতে পারে।

আমি বিশ্বাস করি যে @ ইটিয়েন এই কথাটি সঠিক যে হাত দ্বারা নির্মিত সর্বোচ্চ আদেশের পদ্ধতিগুলি টেরি ফেইগিনের কারণে। তাঁর অন্যান্য মন্তব্য সম্পর্কে, এই কাগজটিতে কিছু 9 (8) জোড়া রয়েছে:

জে এইচ ভার্নার, হাই-অর্ডার সুস্পষ্ট রঞ্জ-কত্ত জুটি লো স্টেজ অর্ডার সহ, প্রয়োগকৃত অঙ্ক গণিত, খণ্ড 22, সংখ্যা 1–3, নভেম্বর 1996, পৃষ্ঠা 345-357

অর্ডার শর্তগুলির সংখ্যার (ক্রমযুক্ত) সংখ্যার একটি সারণি এখানে $N$ প্রতিটি আদেশের জন্য প্রয়োজনীয় $p$; এই টেবিলটি সাহিত্যে প্রদত্ত তালিকার চেয়ে আরও বেশি এগিয়ে যায় এবং নোডেপি ব্যবহার করে উত্পাদিত হয়েছিল:

p | N
-----
1 | 1
2 | 2
3 | 4
4 | 8
5 | 17
6 | 37
7 | 85
8 | 200
9 | 486
10| 1205
11| 3047
12| 7813
13| 20300
14| 53264

সফটওয়্যার

খুব উচ্চ অর্ডার পদ্ধতির জন্য, অর্ডার শর্তগুলির সংখ্যা এবং জটিলতা হাত দিয়ে মোকাবেলা করা অসম্ভব হয়ে ওঠে। কিছু প্রতীকী প্যাকেজ (গণিত, কমপক্ষে) রঞ্জ-কত্তা আদেশ শর্ত তৈরি করার ক্ষমতা রাখে। সম্ভবত সেখানে অন্য কিছু প্যাকেজ রয়েছে, তবে আমি নিম্নলিখিতগুলি সম্পর্কে সচেতন (উভয়ই লিখেছি):

• নোডপি : একটি পাইথন প্যাকেজ যা শৃঙ্খলাবদ্ধ আদেশের শর্তের জন্য প্রতীকী অভিব্যক্তি এবং কোড তৈরি করতে পারে। এটিতে এই শর্তাদি পরীক্ষা করার জন্য পাইথন কোড অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, কম্পিউটিং ত্রুটির সহগ ইত্যাদি etc.
• আরকে-অপ্ট : একটি ম্যাটল্যাব প্যাকেজ, যা অন্যান্য অনেকগুলি কাজের মধ্যে, কয়েকটি ভিন্ন উদ্দেশ্যে উপযুক্ত গুণাগুণ সহ উচ্চতর ক্রম রানেজ-কত্তা পদ্ধতিগুলি খুঁজে পেতে পারে। এটি বর্তমানে নবম-অর্ডারের সুস্পষ্ট আরকে পরিচালনা করতে পারে না (এটি স্টেজ-অর্ডার-এক পদ্ধতিগুলির জন্য 8 তম অর্ডার পর্যন্ত যায়, উচ্চ পর্যায়ের ক্রম সহ পদ্ধতিগুলির জন্য দশম ক্রম)। আপনার যদি আগ্রহী এমন কিছু হয় তবে আমি নবম-ক্রম (এবং উচ্চতর) শর্তগুলি মোটামুটি সহজেই যুক্ত করতে পারি।

অর্ডার শর্ত সম্পর্কে আরও একটি আকর্ষণীয় নোট, যা এ জাতীয় উচ্চ অর্ডারগুলিতে তাৎপর্যপূর্ণ হয়ে ওঠে, তা হ'ল দুটি উপায় রয়েছে এবং সেগুলি আপনাকে পৃথক (তবে সমষ্টিগতভাবে সমতুল্য) শর্ত দেয়: একটি কসাইয়ের কারণে, অন্যটি অ্যালব্র্যাচ্টের কারণে ।

Answer 2

@ ডেভিডক্যাচসনের উত্তর বড় পয়েন্টগুলিকে আঘাত করে: আপনি সর্বদা এক্সট্রাপোলেশন ব্যবহার করে উচ্চ পর্যায়ে অর্ডারের পদ্ধতিগুলি তৈরি করতে পারেন, এটি একটি খুব হতাশাবাদী আবদ্ধ এবং আপনি সর্বদা আরও অনেক ভাল করতে পারেন, সমস্ত ভালগুলি হাত দ্বারা উত্পন্ন হয় (কিছু কম্পিউটারের সাহায্যে) বীজগণিত সরঞ্জামগুলি), কোনও নিম্ন সীমাটি জানা যায়নি এবং সর্বোচ্চ আদেশের পদ্ধতিগুলি ফেইগিনের কারণে। কিছু মতামত দেওয়া, আমি ক্ষেত্রের বর্তমানের অত্যাধুনিক টেবিলগুলি নিয়ে আলোচনাটি দিয়ে উত্তরটি বের করতে চাই।

আপনি যদি আর কে টেবিলের সংমিশ্রণ চান, আপনি এই জুলিয়া কোডটিতে একটি পেতে পারেন । তারা যে কাগজ থেকে এসেছে সেগুলির উদ্ধৃতিগুলি টেবিল নির্মাণকারীদের জন্য ডকাস্ট্রিংগুলিতে রয়েছে। ডিফার্নটিয়ালএকুয়েশনস.জেএল এর বিকাশকারী ডকুমেন্টেশনগুলি ব্যবহারের জন্য উপলব্ধ এই টেবিলগুলিকে সমস্ত তালিকাভুক্ত করে এবং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কেবলমাত্র আদেশের শর্তগুলিই সন্তুষ্ট নয় তা নিশ্চিত করতে ট্র্যাভিস এবং অ্যাপভিয়ার অবিচ্ছিন্ন ইন্টিগ্রেশন স্যুট ব্যবহার করে এগুলি পরীক্ষা করা হয়, তবে তারা আসলে অনুরোধিত রূপান্তর (যাচাইকরণ পরীক্ষা) অর্জন করুন। এগুলি থেকে আপনি দেখতে পাবেন যে এখানে রয়েছে:

• 5 অর্ডার 9 পদ্ধতি
• 6 আদেশ 10 পদ্ধতি
• 2 আদেশ 12 পদ্ধতি
• 1 অর্ডার 14 পদ্ধতি

(যে আমি প্রকাশিত ছিল যে খুঁজে পেতে পারে)। আবার সব হাত দিয়ে নেওয়া।

অভিসৃতি পরীক্ষা দেখায় যে derivations কিছু (তারা মন্তব্য করেছে বেশি 64-বিট সংখ্যার জন্য কাজ যথেষ্ট উচ্চ স্পষ্টতা সম্পন্ন করা হয় নি এই রকম )। সুতরাং এটি সম্পর্কে সচেতন হওয়ার জন্য একটি আকর্ষণীয় কৌতূহল: এই উচ্চ আদেশগুলিতে আপনি সাধারণত কেবল সহগতি অর্জন করেন যা "ত্রুটি x" থেকে অর্ডার শর্ত পূরণ করে, কিন্তু স্বেচ্ছাচারিত নির্ভুলতা গাণিতিক ব্যবহার করার সময় আপনি এই সীমাগুলি সনাক্ত করতে পারেন। সুতরাং আপনি সহগ কে সম্পন্ন করেছেন তার যথাযথতাটি গুরুত্বপূর্ণ, এবং আপনি যা পরীক্ষা করতে চান তার যথাযথতা আবরণ করার জন্য এটি বেছে নেওয়া উচিত (/ অবশ্যই, অবশ্যই)।

আপনি যদি একগুচ্ছ স্থায়িত্বের প্লট চান তবে আপনি কেবল plot(tableau)Plots.jl রেসিপিটি ব্যবহার করতে পারেন । এই লিখিত লিখিত অনেকগুলি নোটের একটি ভাল সেট পিটার স্টোনের ওয়েবসাইটে পাওয়া যাবে (নীচে যান এবং আদেশের জন্য 10 টি স্কিম ক্লিক করুন এবং আপনি পিডিএফগুলির একটি গুচ্ছ পাবেন)। ডিফার্নটিয়ালএকুয়েশনস.জেএল বিকাশ করার সময়, আমি পরীক্ষার সমস্যাগুলিতে নিয়মিতভাবে তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়ার জন্য টেবিলের সেটটি তৈরি করেছি / মূল লাইব্রেরিতে কোনটি অন্তর্ভুক্ত করা উচিত তা দেখার জন্য বিশ্লেষণী সূচকগুলি দেখুন। আমি এখানে কিছু দ্রুত নোট তৈরি করেছি । আপনি মূল লাইব্রেরিতে অন্তর্ভুক্ত অ্যালগরিদম থেকে দেখতে পারেন, আমি যেগুলি সার্থক বলে মনে করি তা হ'ল ভার্নার এবং ফেগিন পদ্ধতি। ভার্নার নবম অর্ডার পদ্ধতিটি অর্ডারটির সাথে মিলে যাওয়া একটি ইন্টারপোল্যান্ট সহ সর্বোচ্চ অর্ডার পদ্ধতি। এটি স্বীকৃতি দেওয়ার মতো কিছু: ফেইগিন পদ্ধতিগুলির সাথে কোনও মিলের ইন্টারপোল্যান্ট নেই (যদিও আপনি হার্মাইটের বুটস্ট্র্যাপ করতে পারেন, তবে এটি সত্যই অদক্ষ।

যেহেতু এগুলি সমস্ত কার্যকর দক্ষতার সাথে বাস্তবায়িত হয়, তাই আপনি নিজেই তাদের সাথে খেলতে পারেন এবং বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যগুলি কীভাবে গুরুত্বপূর্ণ তা দেখতে পারেন। এখানে একটি বৃহত্তর নোটবুক রয়েছে যা ব্যবহারের Feagin পদ্ধতিগুলি দেখায় । লক্ষ্য করুন যে রূপান্তর প্লটটি সত্যই 1e-48ত্রুটি হতে চলেছে to উচ্চ আদেশের পদ্ধতিগুলি নিম্ন অর্ডার পদ্ধতির চেয়ে কেবলমাত্র কার্যকর যখন আপনার সত্যিকারের খুব কম সহনশীলতার প্রয়োজন হয়। আপনি কয়েকটি বেঞ্চমার্ক খুঁজে পেতে পারেন যা তাদের কয়েকটি ডিফএকবিঞ্চার্স.জেজেলে ব্যবহার করে, যদিও এগুলি ব্যবহার করা হয় সাধারণত এটি 9 তম অর্ডার ভার্নার পদ্ধতি এবং সাধারণত দেখায় যে বেঞ্চমার্কটি এই ব্যবস্থায় নেই যেখানে এই উচ্চতর আদেশ কার্যকর।

সুতরাং আপনি যদি আশেপাশে খেলতে এবং কিছু উচ্চ অর্ডার পদ্ধতিতে কাজ করতে চান তবে আর কে-অপ্টটি হ'ল কিছুটি প্রাপ্ত করার জন্য আমি ভাল সরঞ্জাম বলে মনে করি (@ ডেভিডক্যাচসন উল্লিখিত হিসাবে), এবং ডিফারেন্টিয়ালএকুয়েশনস.জেএলটিতে প্রকাশিত সমস্ত পদ্ধতি রয়েছে (আমার মনে হয়)? ) কার্যকর করা হয়েছে যাতে আপনি সহজেই তাদের বিরুদ্ধে পরীক্ষা / বেঞ্চমার্ক করতে পারেন। তবে, যদি না আপনি ফেলে দেওয়া যায় এমন ধারণা অনুমান করেন তবে আমার পরীক্ষাগুলি থেকে আমি ভার্নারকে (অর্ডার 6-9) এবং ফেইগিনকে (আদেশ 10+) পদ্ধতিগুলিকে মারধর করার মতো এমন কোনও কিছু খুঁজে পাই না। যদিও ওয়াইএমএমভি, এবং আমি এতে আরও গবেষণা দেখতে পছন্দ করব।