পঞ্চম-অর্ডার রঞ্জ-কোট্টা পদ্ধতির স্থায়িত্ব অঞ্চল সম্পর্কে চমকপ্রদ মন্তব্য

Question

আমি কাগজে একটি চমকপ্রদ মন্তব্য জুড়ে এসেছি

পিজে ভ্যান ডার হউভেন, আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য রানজে-কত্তা পদ্ধতির বিকাশ, অ্যাপল। গণনা। ম্যাথ। 20: 261, 1996

264 পৃষ্ঠায় 8 তম লাইনে, ভ্যান ডার হউভেন লিখেছেন:

"টেলর বহুবচনগুলির জন্য এটি সূচিত করে যে কাল্পনিক স্থিতিশীলতা বিরতি "$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

যেখানে টেলর বহুবর্ষটি রানেজ-কত্তা পদ্ধতির স্থিরতা বহুপদী ( এক্স = 0 এর কাছাকাছি এর ছাঁটাই বিস্তৃত ) বোঝায় এবং পি হ'ল আদেশ (263 পৃষ্ঠা দেখুন)। আমি ধরে নিয়েছি যে আমি কিছু ভুল বুঝি কারণ পঞ্চম-আদেশের রানেজ-কত্তা পদ্ধতিতে যতদূর আমি জানি খালি কাল্পনিক স্থিতিশীলতার ব্যবধান নেই। আমি যা মনে করি তা থেকে, কাল্পনিক সীমাটি প্রায় 3.4 বা তার বেশি।$\exp(x)$$x=0$

আমার ভুল বোঝাবুঝি কি?

Answer 1

ভ্যান ডার হউভেনের বক্তব্য সঠিক, তবে পঞ্চম-আদেশের রঞ্জ-কোট্টার সমস্ত পদ্ধতি সম্পর্কে এটি কোনও বিবৃতি নয়। "টেলর polynomials" তিনি উল্লেখ করা হয় (আপনি কি জানেন বলে মনে হচ্ছে হিসাবে) শুধু ডিগ্রী polynomials হয় যে আনুমানিক Exp ( z- র ) অর্ডার পি :$p$$\exp(z)$$p$

$$P_p(z) = \sum_{j=1}^p \frac{z^j}{j!}$$

পঞ্চম-অর্ডার বহুত্বের জন্য, এটি দেখা যাচ্ছে ছোট ε , তাই একটি পদ্ধতি থাকার স্থায়িত্ব অঞ্চল পি 5 ( z- র ) তার স্থায়িত্ব বহুপদী যেমন কাল্পনিক অক্ষের উপর বংশোদ্ভুত কোন আশপাশ অন্তর্ভুক্ত নয় । এটি হ'ল নির্ভুল ভাষায়, ভ্যান ডার হোউইন কী বলে।$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

আপনার বিভ্রান্তির সর্বাধিক উত্স হ'ল "পঞ্চম-আদেশের রানেজ-কত্তা পদ্ধতি" দ্বারা বোঝানো। সেখানে (অসীম) অনেক পঞ্চম-অর্ডার Runge-Kutta পদ্ধতি আছে, কিন্তু সবচেয়ে সুপরিচিত বেশী হবে না তাদের স্থায়িত্ব বহুপদী হিসাবে। কেন? জন বাচার বিখ্যাত হিসাবে প্রমাণিত , একটি পঞ্চম-আদেশের রানেজ-কত্তা পদ্ধতিতে কমপক্ষে ছয়টি ধাপ থাকতে হবে । সাধারণত, ছয় (বা আরও) ধাপ সহ কোনও পদ্ধতির স্থায়িত্বের বহুপদীতে ডিগ্রি ছয় (বা আরও) হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এই উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় তালিকাভুক্ত পঞ্চম-আদেশের প্রত্যেকটি পদ্ধতিতে সঠিকভাবে ছয়টি স্তর ব্যবহার করা হয় এবং ডিগ্রি সিক্সের স্থায়িত্ব বহুপদী থাকে।$P_5(z)$

$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

শেষ অবধি, উচ্চ-অর্ডার রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতিগুলির জন্য কাল্পনিক স্থিতিশীলতার ব্যবস্থার সীমা নির্ধারণ করার সময় ভুল করা সহজ। কারণ এই জাতীয় পদ্ধতির স্থায়িত্বের সীমানা কাল্পনিক অক্ষের খুব কাছাকাছি অবস্থিত । অতএব, রাউন্ডঅফ ত্রুটিগুলি ভুল সিদ্ধান্তে নিয়ে যেতে পারে; কেবল সঠিক গণনাগুলি ব্যবহার করা উচিত (অবশ্যই, এই পরিস্থিতিতে ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে স্থায়িত্ব অঞ্চলের সীমানার প্রাসঙ্গিকতা অবশ্যই বিতর্ক হতে পারে)।

উদাহরণস্বরূপ, ফেহলবার্গ 5 (4) জুটি থেকে পঞ্চম-অর্ডার পদ্ধতির স্থায়িত্ব অঞ্চলের একটি প্লট এখানে রয়েছে:

কাল্পনিক স্থায়িত্ব ব্যবধান ফাঁকা, কিন্তু আপনি এই রেজোলিউশনে ছবি থেকে বলতে পারবেন না! নোট করুন যে অঞ্চলটিতে স্পষ্টতই কাল্পনিক অক্ষের অংশ রয়েছে, তবে উত্স সম্পর্কে কোনও বিরতি নেই।

ইতিমধ্যে, ডরমনড-প্রিন্স 5 (4) জুটি থেকে পঞ্চম-অর্ডার পদ্ধতির প্লট এখানে রয়েছে:

$[-1,1]$

$P_p(z)$

আপনি নোডপাই প্যাকেজটিতেও আগ্রহী হতে পারেন , যা উপরের প্লট তৈরি করেছে এবং যা কোনও পদ্ধতির কাল্পনিক স্থায়িত্ব ব্যবধানের মতো জিনিসগুলি সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে (অস্বীকৃতি: আমি নোডপাই তৈরি করেছি)।

Comments

ডেভিড, আপনার দুর্দান্ত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ যা বেশ কয়েকটি জিনিস পরিষ্কার করেছে। আমি অ্যাক্সেস ছাড়াই কয়েক দিন ভ্রমণ করতে চলেছি। আমি আপনার উত্তরটি এভাবে ঝুলতে চাইনি; আমি এটি ফিরে পেতে হবে।

— ব্রায়ান জাটাপাটিক