রৈখিক PDE এর জন্য এই সাধারণ ত্রুটি অনুমান সম্পর্কে কী?

10

আসুন একটি ve বহুভিত্তিকভাবে আবদ্ধ লিপস্টিজ ডোমেন হয়ে উঠুক , let দিন । $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

তারপরে ডিরিচলেট সমস্যার সমাধান ইন , এ - তে একটি অনন্য সমাধান রয়েছে এবং ভালভাবে উত্থাপিত হয়েছে, অর্থাত্ কিছু ধ্রুব আমাদের রয়েছে । $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

কিছু সীমাবদ্ধ উপাদানের $u_h$ বলুন, ইউনিফর্ম গ্রিডে নোডাল উপাদান সহ, আমাদের ত্রুটির অনুমান আছে

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

মনে হয় (সম্ভবত আমি এতে ভুল হয়েছি) লোকেরা সাধারণত সুস্পষ্ট ত্রুটির প্রাক্কলন ব্যবহার করে না

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

যা আমরা উপরের দুটি অসমতার সংমিশ্রণে পেতে পারি। পরিবর্তে, একটি পোস্টেরিয়েরির ত্রুটি অনুমানকারী বিভিন্ন আকারে বিকাশ করা হয়। উপরের সমীকরণের বিরুদ্ধে আমি যে আপত্তিটি কল্পনা করতে পারি তা হ'ল নিয়মিত $C$ অনুশীলনে খুব হতাশাব্যঞ্জক বা নির্ভরযোগ্যভাবে অনুমানযোগ্য নাও হতে পারে।

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
সূত্র

8

যে কারণে লোকেরা প্রথম অনুমানটি ব্যবহার করতে পছন্দ করে, আমার মতে, প্রথমটি প্রাকৃতিকভাবেই এফইএমের গ্যালারকিন অরথোগোনালিটি, অন্তরঙ্গকরণের প্রত্যাশিত সম্পত্তি এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে বিলাইনার ফর্মের জবরদস্তি (পোইসন সমীকরণের সীমানা মান সমস্যার জন্য) থেকে উদ্ভূত হয় , এটি ফাংশনের জন্য / ফ্রেডরিচ অসমতার সমতুল্য ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ} ‖_{{এইচ}^{1} (Ω)}^{2} & \leq গ_{1} ‖ \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) ‖_{{এল}^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) ‖_{{এল}^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) \cdot \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) \\ = \int_{Ω} \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) \cdot \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - আমি তোমার দর্শন লগ করা) \\ \leq ‖ \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) ‖_{{এল}^{2} (Ω)} ‖ \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - আমি তোমার দর্শন লগ করা) ‖_{{এল}^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}) ‖_{{এল}^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (তোমার দর্শন লগ করা - আমি তোমার দর্শন লগ করা) ‖_{{এল}^{2} (Ω)} \leq গ_{2} জ ‖ তোমার দর্শন লগ করা ‖_{{এইচ}^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ যেখানে জন্য পোয়াঁকারে / Friedrichs বৈষম্য ধ্রুবক উপর নির্ভর করে ফাংশন, এর ক্ষেপক হয় সসীম মধ্যে উপাদান স্থান এবং

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ জালটির সর্বনিম্ন কোণগুলির উপর নির্ভর করে।

যখন উপবৃত্তাকার নিয়মিততার অনুমান sole কেবল পিডিই স্তরে থাকে, এর সাথে কিছুই করার থাকে না প্রায়।, plus argument বিতরণ হওয়ার পরেও উপরের যুক্তিটি ধরে রাখে । $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

পোস্টেরিয়েরির ত্রুটির প্রাক্কলনটি কেন ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় তার কারণটিতে এখন যান, মূলত:

এটি গণনাযোগ্য, অনুমানের প্রকাশে কোনও জেনেরিক ধ্রুবক নেই।
অনুমানকারীটির স্থানীয় ফর্ম রয়েছে যা অভিযোজিত জাল পরিশোধন পদ্ধতিতে স্থানীয় ত্রুটি সূচক হতে পারে। সুতরাং, এককথায় বা সত্যই "খারাপ" জ্যামিতিগুলির সাথে সমস্যা মোকাবেলা করা যেতে পারে।

আপনার তালিকাভুক্ত অগ্রাধিকার ধরণের উভয় অনুমানই বৈধ, তারা আমাদের একীকরণের আদেশের তথ্য সরবরাহ করে তবে তাদের মধ্যে কোনওটিই কেবল একটি ত্রিভুজ / টেট্রহেড্রনের জন্য স্থানীয় ত্রুটি সূচক হতে পারে না, কারণ উভয়ই ধ্রুবক কারণে গণনীয় নয় এবং এগুলি স্থানীয়ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

সম্পাদনা: উপবৃত্তাকার পিডিইগুলির জন্য এফইএম-এর সাধারণ দর্শনের জন্য আমি ব্রেনার এবং স্কটের বইয়ের অধ্যায় 0 পড়ার সর্বাধিক পরামর্শ দিচ্ছি: গণিতের তত্ত্বের সীমাবদ্ধ উপাদানগুলির পদ্ধতি , যা কেবলমাত্র 20 পৃষ্ঠা রয়েছে এবং সীমাবদ্ধ উপাদানগুলির পদ্ধতির প্রায় প্রতিটি দিকই সংক্ষেপে কভার করে , PDE থেকে গ্যালারকিন গঠন থেকে শুরু করে কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য কেন আমরা অভিযোজক এফইএম ব্যবহার করতে চাই। আশা করি এটি আপনাকে আরও সাহায্য করবে।

— শুহাও কও
সূত্র

1

$C$

‖ \nabla ই ‖_{{এল}_{2}} \leq সি জ | তোমার দর্শন লগ করা |_{{এইচ}^{2}} ।

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র