নেস্টেড পূর্বশর্তীদের জন্য নির্দেশিকা

Question

আপনি পূর্বশর্তীকৃত ক্রিলোভ পদ্ধতি ব্যবহার করে লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করতে চান এমন পরিস্থিতিটি বিবেচনা করুন, তবে পূর্বশর্তকর্তাকে প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে একটি সহায়ক ব্যবস্থা সমাধান করা জড়িত, যা অন্য পূর্বশর্তীকৃত ক্রিলোভ পদ্ধতিতে করা হয়।

• এক চূড়ান্তভাবে, আপনি বাইরের সমাধানের প্রতিটি ধাপের অভ্যন্তরের অভ্যন্তরীণ সমাধানটি চালিত করতে পারেন।

• অন্য চূড়ান্তভাবে, আপনি অভ্যন্তরীণ সমাধানটি মোটেও করতে পারেননি, পরিবর্তে এটি অভ্যন্তরীণ পূর্ববর্তী অবস্থার সাথে প্রতিস্থাপন করুন।

• মাঝখানে কোথাও, আপনি নির্দিষ্ট সংখ্যক পুনরাবৃত্তির পরে, বা একটি নির্দিষ্ট সহনশীলতা অর্জনের পরে অভ্যন্তরীণ ক্রিলোভ লুপটি কেটে ফেলতে পারেন।

উত্সর্গীয়ভাবে, আমি এমন পরিস্থিতিগুলিতে এসে পৌঁছেছি যেখানে প্রথম চূড়ান্ত ভাল, এবং দ্বিতীয় পরিস্থিতি যেখানে ভাল (বিভিন্ন ব্যয়ের ক্ষেত্রে) বিভিন্ন পরিস্থিতি। যাইহোক, নির্দিষ্ট পরিস্থিতি অন্যটির চেয়ে কৌশলকে কেন সমর্থন করে তার কোনও স্পষ্ট কারণ আমি খুঁজে পাচ্ছি না।

এই বিভিন্ন কৌশলটি কখন অগ্রাধিকারযোগ্য সে সম্পর্কে কোনও গাইডেন্স বা তত্ত্ব আছে?

Comments

আপনার তালিকার কমপক্ষে তৃতীয় (মধ্যবর্তী) অবস্থার জন্য, শিমোনসিনি এবং সিজিল্ড, নমনীয় অভ্যন্তরীণ-বহিরাগত ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতি, সিয়াম জে নুমার হতে শুরু করার জন্য একটি ভাল জায়গা হতে পারে। পায়ুসংক্রান্ত। 40 পিপি 2219-2239।

— অ্যান্ড্রু টি বার্কার 18

রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ, তাদের কী আছে তা দেখার জন্য আমি আগ্রহী। আশ্চর্যের বিষয়, বাস্তবে আমি সবচেয়ে খারাপ পারফরম্যান্স দেওয়ার জন্য মধ্যবর্তী পরিস্থিতির বিভিন্ন রূপগুলি পেয়েছি। যদি সহনশীলতা / পুনরাবৃত্তি সংখ্যাটি স্থির করা হয় তবে বাইরের সলভার অভ্যন্তরীণ সহনশীলতার ত্রুটি স্তরে স্তব্ধ হয়ে থাকে। একটি বৃহত্ অভ্যন্তরীণ সহনশীলতা দিয়ে শুরু করা এবং বাইরের পদ্ধতিটি অগ্রগতির সাথে সাথে এটি হ্রাস করাও কেবল অভ্যন্তরীণ সহনশীলতাটিকে ছোট করে শুরু করার চেয়ে খারাপ সম্পাদন করে বলে মনে হচ্ছে।

— নিক অ্যালজার

আপনি কি নমনীয় Krylov পদ্ধতি ব্যবহার করছেন? আপনি যে ফলাফলগুলি বর্ণনা করেছেন তা হ'ল আপনি না থাকলে আমি প্রত্যাশা করি। মধ্যবর্তী পরিস্থিতি হুবহু হ'ল প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে পূর্বশর্ত (কিছুটা) আলাদা, যা যখন নমনীয় ক্রাইলোভ পদ্ধতিগুলির প্রয়োজন হয়।

— অ্যান্ড্রু টি। বার্কার

Answer 1

এই প্রশ্নটি দীর্ঘদিন ধরে উন্মুক্ত ছিল, তবে আমি মনে করি এটি এখনও উত্তর দেওয়া উচিত।

অভ্যন্তরীণ পূর্ববর্তী অবস্থার হিসাবে পৃথক ব্লকের ক্রিলোভ-স্পেস সলভারগুলির ব্যবহারের মূল সমস্যাটি হ'ল তারা লিনিয়ার অপারেটর নয়। এটি বুঝতে, এর দ্বারা চিহ্নিত করা যাক$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$ ক্রিলোভ স্পেস পদ্ধতি চালিয়ে আপনি ভেক্টর সমাধান হিসাবে পান $K$ রৈখিক সিস্টেমের উপর $Ax=b$ সর্বাধিক জন্য $N$ পুনরাবৃত্তি বা সহনশীলতা অবধি $\tau$ পূর্বশর্ত ব্যবহার করে পৌঁছে যায় $P\approx A^{-1}$। অন্য কথায়, আপনি চিন্তা করতে পারেন$K$ অপারেটর হিসাবে যে কাজ করে $b$।

এখন এটি নোট করুন $K(A,P,0,\infty;\cdot)$ এটি একটি লিনিয়ার অপারেটর: এটির সমাধান প্রয়োজন $Ax=b$ ঠিক যেমন, $K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$, যা লিনিয়ার হয় $b$। অনেক ক্ষেত্রে শূন্য ভেক্টর থেকে শুরু করে ঠিক এক পুনরাবৃত্তির জন্য ক্রিলোভ স্পেস পদ্ধতি চালানোও লিনিয়ার অপারেটর প্রয়োগ করা হয়$b$। তবে কারণ ক্রিলোভ ভেক্টরগুলির ক্রমটি শুরু করার অবশিষ্টাংশের উপর নির্ভর করে$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$, চালক $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ সীমাবদ্ধতার জন্য সাধারণত লিনিয়ার অপারেটর নয় $N$ এবং $\tau$।

এর অর্থ হ'ল আপনি যদি এটি ব্যবহার করেন $K(A,P,\tau,N; \cdot)$ রৈখিক সিস্টেমের পূর্বশর্ত হিসাবে which $A$ এটি একটি ব্লক, তারপরে আপনি একটি পূর্বশর্ত দিয়ে শেষ করেন যা লিনিয়ার অপারেটর হিসাবে কাজ করে না।

এটি পূর্ববর্তী শর্তে ব্যবহৃত অন্যান্য অনেক পদ্ধতির বিপরীতে: উদাহরণস্বরূপ, একটি এসএসএসআর পদক্ষেপটি ভেক্টরের উপর একটি লিনিয়ার অপারেশন যা আপনি এটি প্রয়োগ করেন, অন্য সমস্ত পদ্ধতি যেমন একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট পুনরাবৃত্তির এক ধাপ প্রয়োগ করে।

এখন মূল সমস্যাটি হ'ল বেশিরভাগ ক্রিলোভ স্পেস পদ্ধতিতে পূর্বশর্তটি লিনিয়ার অপারেটর হওয়া দরকার। পূর্ববর্তী শর্তটি আপনার পর্যবেক্ষণের ব্যাখ্যা দিয়ে রৈখিক না হলে তারা কেবল রূপান্তর করবে না। অন্যদিকে, কিছু ক্রিলোভ স্থান ব্যবস্থার বিভিন্নতা রয়েছে - সাধারণত "ফ্লেক্সিবল" শব্দের দ্বারা উপসর্গ করা হয়, যেমন "ফ্লেক্সিবল জিএমআরইএস" এফ-জিএমআরইএস - এটি কাজ করে এবং এটি পূর্বশর্তীদের সাথে লেনদেন করতে পারে যা লিনিয়ার নয় অপারেটর। মূল পদ্ধতির এই নমনীয় রূপগুলি এখনও একত্রিত হবে এবং ভাল (তবে ননলাইনার) পূর্ববর্তী অবস্থার সাথে মিলিত হয়ে প্রায়ই শক্তিশালী পদ্ধতি হয়।