স্ট্র্যাং বিভাজনের সর্বোত্তম ব্যবহার (প্রতিক্রিয়া বিস্তারের সমীকরণের জন্য)

আমি একটি সাধারণ 1D প্রতিক্রিয়া ছড়িয়ে পড়া সমীকরণের সমাধানের গণনা করার সময় একটি অদ্ভুত পর্যবেক্ষণ করেছি:

$\frac{\partial}{\partial t}a=\frac{\partial^2}{\partial x^2}a-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}b=-ab$

$\frac{\partial}{\partial t}c = a$

প্রাথমিক মান একটি ধ্রুবক (হয় ), এবং আমি শুধুমাত্র উপর অবিচ্ছেদ্য আগ্রহী থেকে থেকে ( )। এবং সমীকরণের উদ্দেশ্য কেবল এই অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করা। $b$ $b(0,x)=b_0$ $a$ $0$ $1$ $\int_0^1a(t,x)dt$ $c$ $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

আমি প্রসার এবং প্রতিক্রিয়া (দেড় পদক্ষেপের প্রতিক্রিয়া, তারপরে একটি পুরো পদক্ষেপের বিস্তৃতি এবং তারপরে আবার দেড় পদক্ষেপ প্রতিক্রিয়া), সংশ্লেষণের জন্য একটি ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন স্কিম এবং প্রতিক্রিয়ার জন্য বিশ্লেষণাত্মক সমাধানের জন্য সংযুক্তকরণের জন্য একটি স্ট্র্যাং বিভাজন স্কিম ব্যবহার করেছি ( সমীকরণ including ) সহ। $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

বিশ্লেষণাত্মক সমাধানের একটি পদক্ষেপ ক্র্যাঙ্ক নিকলসন প্রকল্পের এক ধাপের চেয়ে ধীর 3 ফ্যাক্টরের চেয়ে বেশি ছিল, তাই আমি প্রতিটি প্রতিক্রিয়া পদক্ষেপের জন্য একাধিক ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন ধাপ তৈরি করার চেষ্টা করেছি। আমি স্ট্র্যাং বিভাজন স্কিমটির আরও কম পদক্ষেপ গ্রহণের আশা করছিলাম, যাতে আমি সামগ্রিকভাবে দ্রুত হতে পারি be

তবে, বিপরীত প্রভাব লক্ষ্য করা যায়, অর্থাৎ স্ট্র্যাং বিভাজন প্রকল্পের জন্য আরও অনেক ধাপ প্রয়োজন তবে যদি একাধিক ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন ধাপ ব্যবহৃত হয়। (আমি শুধুমাত্র উপর অবিচ্ছেদ্য নির্ভুলতা সঙ্গে সংশ্লিষ্ট করছি , যা যতো তাড়াতাড়ি মিলিত বলে মনে হয় কিছু সময়ের জন্য ভাবছি পর নিজেই।), আমি লক্ষ্য করেছি যে একই প্রভাবের ফলে ঘটে , এবং আমি এমনকি এই ক্ষেত্রে কেন বুঝতে পারি for মুল বক্তব্যটি হ'ল আমি যদি ঠিক একটি ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন ধাপ তৈরি করি তবে সামগ্রিক স্কিমটি ট্র্যাপিজয়েড নিয়মে পরিণত হয় (যদি )। $a$ $a$ $b(t,x)=b_0=0$ $b(t)=0$

সুতরাং আমি যদি ছড়িয়ে পড়া পদক্ষেপের অংশ হিসাবে হিসাবে চিকিত্সা করি , ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন পদক্ষেপের সংখ্যা বাড়িয়ে তোলে (সম্ভবত) সামগ্রিক নির্ভুলতা হ্রাস করতে পারে না (পর্যবেক্ষণ হিসাবে)। তবে এটি সিস্টেমের (অ-রৈখিক এবং সম্ভাব্য খুব কঠোর) প্রতিক্রিয়া অংশের জন্য বিশ্লেষণাত্মক সমাধান ব্যবহারের উদ্দেশ্যকে পরাভূত করে বলে মনে হচ্ছে। $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

সুতরাং এখানে আমার প্রশ্ন: সাথে স্ট্র্যাং বিভাজনের প্রসঙ্গে চিকিত্সা করার আরও ভাল উপায় কি তা প্রতিক্রিয়া পদক্ষেপের অংশ হিসাবে বিবেচনা করা বা চিকিত্সা করার চেয়ে ভাল? এটি ছড়িয়ে পড়া পদক্ষেপের অংশ হিসাবে। আমি প্রচারের জন্য ঠিক একটি ক্র্যাঙ্ক নিকলসন পদক্ষেপ ব্যবহার করতে "বাধ্য" হওয়া এড়াতে চাই want (উদাহরণস্বরূপ 3 ডি-তে, আমি ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন ব্যবহার না করে বিশ্লেষণাত্মকভাবে একটি এফএফটি দ্বারা প্রসারণ সমাধান করতে পছন্দ করব course অবশ্যই আমি ক্র্যাঙ্ক নিকলসনের সাথে এফএফটিও সংযুক্ত করতে পারি, সুতরাং এটি এত বড় বিষয় নয় not) $\frac{\partial}{\partial t}c = a$

parabolic-pde operator-splitting

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

ইন people.maths.ox.ac.uk/dellar/OperatorLB.html , একটি অনুরূপ প্রভাব বর্ণনা করা বলে মনে হয়। উপসংহারটি হ'ল সঠিক সমাধানের পরিবর্তে ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন ব্যবহার করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। সুতরাং সম্ভবত আমার প্রশ্নের উত্তর একটি সহজ নম্বর।

— থমাস ক্লিম্পেল

আপনার সমীকরণগুলির সাথে কিছু ভুল দেখাচ্ছে। প্রথম দুটি দম্পতিকে একমুখী করে তোলে এবং এর অর্থ এই নয় যে আপনি কোনও পোস্টে প্রসেসিং পদক্ষেপ হিসাবে গণনা করতে পারেন ।

c

$c$

c

$c$

t

$t$

— বিল বার্থ

@ বিলবার্থ আমি এর ভূমিকা স্পষ্ট করতে প্রশ্ন পরিবর্তন করেছিলাম । সুতরাং কেবলমাত্র গণনা করার একটি মাধ্যম । সম্ভাব্য পোস্ট-প্রসেসিং পদক্ষেপটি ব্যবহার করে, কীভাবে এই অবিচ্ছেদ্যটিকে আরও নির্ভুলভাবে গণনা করতে হবে (যদি উপরে বর্ণিত স্ট্র্যাং বিভাজন এবং ক্র্যাঙ্ক নিকোলসনের সংমিশ্রণ থেকে আমি পেয়েছি) তার চেয়ে আপনার কোনও পরামর্শ থাকলে দয়া করে আমাকে জানান।

c

$c$

c

$c$

\int_{0}^{1} a (t, x) d t

$\int_0^1a(t,x)dt$

— টমাস ক্লিম্পেল

এটি এখন একটি দীর্ঘ সময় চলে গেছে, কিন্তু আপনাকে চিনতে পারেনি যে সমীকরণ এই সিস্টেমের মধ্যে একটি অধিবৃত্তসদৃশ PDE হিসেবে লেখা যেতে পারে একটি সূচকীয় প্রতিক্রিয়া শব্দটি সঙ্গে? আমার ধারণা আমি অবাক হয়েছি আপনি যদি সরলীকরণের পরিবর্তে সত্যিই এই 3-পরিবর্তনশীল সিস্টেমটি সমাধান করতে চান।

c

$c$

— বিল বার্থ

@ বিলবার্থ আমি কীভাবে ক্ষতিকারক প্রতিক্রিয়ার শব্দটির সাথে এই সিস্টেমটিকে প্যারাবোলিক পিডিই হিসাবে লেখা যেতে পারে তা জানতে আগ্রহী হব। এই মডেলটির সমাধানের গতি মডেল ক্রমাঙ্কণের সময় একটি সীমাবদ্ধ ফ্যাক্টর (যা বেশ কয়েক ঘন্টা সময় নিতে পারে), তবুও সময় সংহতকরণের ক্ষেত্রে ব্যবহৃত যথার্থতা সম্পূর্ণ রূপান্তর থেকে বেশ দূরে।

— থমাস ক্লিম্পেল

আমি এটি উত্তর হিসাবে লিখতে চলেছি যদিও এটি সরাসরি প্রশ্নের উত্তর দেয় না।

দ্বিতীয় সমীকরণ এবং তৃতীয় সমীকরণটি প্রথমটিতে প্লাগিং করা এবং তৃতীয়টিকে দ্বিতীয়টিতে প্লাগ করে একত্রে প্রদান করুন: এই দুটি পুনরায় দেয়: এখন, আমরা উভয় একবার এ সংহত করতে পারি , এর জন্য রেখে প্রথম সমীকরণ:

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} c}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} & = - (\frac{\partial c}{\partial t}) b \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial^2 c}{\partial t^2} &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial b}{\partial t} \\ \frac{\partial b}{\partial t} &= - \left(\frac{\partial c}{\partial t}\right) b \end{align}$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t} (\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} - b) & = 0 \\ \frac{1}{b} (\frac{\partial b}{\partial t}) & = - \frac{\partial c}{\partial t} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} - b \right) &= 0 \\ \frac{1}{b}\left(\frac{\partial b}{\partial t}\right) &= -\frac{\partial c}{\partial t} \end{align}$

t

$t$

\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} = b + A (x)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b + A(x)$ তৃতীয় সমীকরণটি ব্যবহার করে আমরা সংহতকরণের "ধ্রুবক" প্রকাশ করতে পারি যেমন । দ্বিতীয় সমীকরণটি কিছুটা জটিল। কিছুটা আবার লিখতে হবে, আমাদের কাছে রয়েছে: এটি সমাধানের দিকে নিয়ে যায় নাকি Exponentiating দেয়: এবং পরিশেষে, জন্য PDE এই প্লাগিং দেয়

A (x) = a_{0} - \frac{\partial^{2} c_{0}}{\partial x^{2}} - b_{0}

$A(x)=a_0-\frac{\partial^2 c_0}{\partial x^2}-b_0$

\int_{0}^{t} \frac{1}{b (x, t^{'})} (\frac{\partial b (x, t^{'})}{\partial t^{'}}) d t^{'} = - \int_{0}^{t} \frac{\partial c (x, t^{'})}{\partial t^{'}} d t^{'}

$\int_0^t \frac{1}{b(x,t')}\left(\frac{\partial b(x,t')}{\partial t'}\right) dt' = -\int_0^t \frac{\partial c(x,t')}{\partial t'} dt'$

\ln b (x, t) - \ln b_{0} (x) = - c (x) + c_{0} (x)

$\ln b(x,t) - \ln b_0(x) = - c(x) + c_0(x)$

\ln \frac{b}{b_{0}} = - c + c_{0}

$\ln \frac{b}{b_0} = -c + c_0$

b = b_{0} e^{c_{0} - c}

$b = b_0 e^{c_0-c}$

c

$c$

\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} = b_{0} e^{c_{0} - c} + A (x)

$\frac{\partial c}{\partial t} - \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} = b_0 e^{c_0-c}+A(x)$

প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে দ্বারা , অথবা equivalently প্রারম্ভিক শর্তের ব্যবহার , এই সমীকরণ সহজসাধ্য করার এখন, আপনার এই সমীকরণটি সমাধানের সর্বোত্তম উপায়ে যথেষ্ট সাহিত্যের সন্ধান করা উচিত। আমি জানি না ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন ক্ষতিকারক পদটির জন্য ভাল পছন্দ কিনা তবে এটি প্রশংসনীয় বলে মনে হয়। গ্যারান্টি দেওয়ার জন্য সম্ভবত কিছু যত্ন নেওয়া উচিত যে যে জায়গায় বা সমাধানটি দ্রুত পারে। $c$ $c-c_0$ $c_0(x)=0$

\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^{2} c}{\partial x^{2}} + a_{0} - (1 - e^{- c}) b_{0}

$\frac{\partial c}{\partial t} = \frac{\partial^2 c}{\partial x^2} + a_0 - (1-e^{-c}) b_0$

c > c_{0}

$c > c_0$

আমি এই ব্যয়টি কেবল দু'বার পেরিয়েছি, সুতরাং এতে কোনও দু'একটি ত্রুটি থাকতে পারে তবে এটি আমার কাছে সঠিক অনুভূতি রয়েছে। যদি সর্বত্র থাকে তবে স্পষ্টতই এটি সঠিক সমাধান এবং অন্যথায় এটির রয়েছে। $b_0 = 0$

অবধি এটি সমাধান করা এবং মূল্যায়ন করা আপনাকে যে উত্তরটি সন্ধান করছে তা দেওয়া উচিত। $t=1$ $c(x,1)$

— বিল বার্থ
সূত্র

এই উত্তরের জন্য অনেক ধন্যবাদ। আমি এটি বেশ আলোকিত মনে করি, কমপক্ষে এটি সমাধানের আচরণটি বোঝার / পূর্বাভাস দেওয়া আমার পক্ষে সহজ করে তোলে। আর একটি সুবিধা হ'ল এর সময় বিবর্তন এর সময়ের বিবর্তনের চেয়ে ধীর , সুতরাং আমি যথেষ্ট আশাবাদী যে পূর্ববর্তী চেয়ে ভাল রূপান্তরটি আরও ভাল হবে।

c

$c$

a

$a$

— টমাস ক্লিম্পেল

সমস্যা নেই. আমাদের প্রাথমিক মতামত বিনিময় করার পরে আমি আমার দিকে ঝুঁকছি। আমি আশা করি এটি সহায়ক।

— বিল বার্থ