ধারাবাহিকতা সমীকরণের জন্য একটি ভাল সীমাবদ্ধ পার্থক্য

নিম্নলিখিত সমীকরণের জন্য একটি ভাল সসীম পার্থক্য বিবেচ্যতা হবে কি:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0$ ?

আমরা 1 ডি কেস নিতে পারি:

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0$

কিছু কারণে আমি যে সমস্ত প্রকল্পগুলি সন্ধান করতে পারি তা হ'ল লাগরজিয়ান স্থানাঙ্কগুলির গঠনের জন্য। আমি আপাতত এই স্কিমটি নিয়ে এসেছি ( জে সূচক উপেক্ষা করুন ):

$\frac{\rho^{n+1}_{i,j}-\rho^{n}_{i,j}}{\tau} + \frac{1}{h_x}\left(\frac{\rho^{n+1}_{i+1,j}+\rho^{n+1}_{i,j}}{2}u^{n}_{_xi+1/2,j}- \frac{\rho^{n+1}_{i,j}+\rho^{n+1}_{i-1,j}}{2}u^{n}_{_xi-1/2}\right)=0$

তবে সত্যিই অস্থির বলে মনে হচ্ছে বা কিছু ভয়ঙ্কর স্থায়িত্বের অবস্থা রয়েছে। তাই নাকি?

বেগটি আসলে ডারসি আইন মাধ্যমে গণনা করা হয়। এছাড়াও আমাদের কাছে রাষ্ট্রের সমীকরণ রয়েছে। পুরো সিস্টেমটিতে একটি শক্তির সমীকরণ এবং আদর্শ গ্যাসের জন্য রাষ্ট্রের সমীকরণও থাকে। বেগ নেতিবাচক হতে পারে। $u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

finite-difference fluid-dynamics

— tiam
সূত্র

1 ডি ক্ষেত্রে, সমস্যাটি মূলত 1 ম অর্ডার হাইপারবোলিক পিডি। আপনি কি প্রথম অর্ডার আপডাইন্ড সীমাবদ্ধ পার্থক্য প্রকল্পটি ব্যবহার করার চেষ্টা করেছেন?

— পল

এখন পর্যন্ত আমি প্রশ্নে যা লিখেছি তা নিয়ে চলছে। আমার কেস যদিও আসলে 2 ডি। তবে এটি যেহেতু ধ্রুপদী সমীকরণ তাই আমি ভেবেছিলাম কিছু শাস্ত্রীয় বিবেচনার পাশাপাশি উপলব্ধ।

— টিয়াম

আপনি কী আপোন্ডাইন্ড স্কিমটি এটির জন্য দেখতে পাবেন। আপনি যখন সঞ্চারিত শব্দটিতে এটি ব্যবহার করেন সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতি থেকে ধারণার সাথে আমি পরিচিত, তবে সেখানে আপনার আর কোনও স্পেসিয়াল ডেরাইভেটিভ পণ্য নেই।

— টিয়াম

বেগের ক্ষেত্রটি দেওয়া হয়, বা এটি কোনও বিবর্তন সমীকরণকেও পূরণ করে?

— ডেভিড কেচসন

বেগটি আসলে ডারসি আইন

মাধ্যমে গণনা করা হয়

। পুরো সিস্টেমটিতে একটি শক্তির সমীকরণ এবং আদর্শ গ্যাসের জন্য রাষ্ট্রের সমীকরণও থাকে। বেগ নেতিবাচক হতে পারে।

u = - \frac{k}{μ} \nabla p

$u=-\frac{k}{\mu}\nabla p$

— tiam

উত্তর:

আপনি গণ সংরক্ষণের সমীকরণটি দেখছেন:

$\dfrac{dm}{dt}=0$

প্রতি ইউনিট ভলিউম ভর বিবর্তনের বিবেচনা করার সময়, এটি ফ্লাক্স আকারে ঘনত্ব অ্যাডভেকশন সমীকরণে ফোটে:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot (\rho u)$

এই সম্পর্কে ভাল জিনিস এটা একটি অবাধ স্কালে মাঠের মাত্র advection সমীকরণ যে (আমাদের ক্ষেত্রে, এই ঘনত্ব হতে হবে হয় পর্যাপ্ত সময় এবং স্থান ডিফারেন্সিং স্কিম, এবং প্রাথমিক এবং প্রদত্ত) এবং (অপেক্ষাকৃত) হল সহজ সমাধান, সীমানা শর্ত. $\rho$

সীমাবদ্ধ বিবিধ স্কিম ডিজাইন করার সময়, আমরা রূপান্তর, স্থিতিশীলতা এবং নির্ভুলতার বিষয়ে চিন্তা করি। একটি প্রকল্প যদি সমকেন্দ্রি হয় যখন। স্কিম নিশ্চিত স্থায়িত্ব পরিমাণ যেসসীম যখন রয়ে যায়। স্কিমের আনুষ্ঠানিক নির্ভুলতা জানায় যে আংশিক ডেরাইভেটিভ মিথ্যাচারের টেলর সম্প্রসারণ সিরিজে কাটা ত্রুটি। বিচ্ছিন্ন স্কিমের এই মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলির বিষয়ে আরও তথ্যের জন্য একটি সিএফডি পাঠ্যপুস্তকটি সন্ধান করুন। $\dfrac{\Delta A}{\Delta t} \rightarrow \dfrac{\partial A}{\partial t}$ $\Delta t \rightarrow 0$ $A$ $t \rightarrow \infty$

এখন, সহজ পদ্ধিতিটি হ'ল সরাসরি প্রবাহে পৃথক পৃথক 1 ম আদেশে যাওয়া। এই স্কিমটি ইতিবাচক-সুনির্দিষ্ট, রক্ষণশীল এবং গণনামূলকভাবে দক্ষ। প্রথম দুটি বৈশিষ্ট্য বিশেষত গুরুত্বপূর্ণ যখন আমরা একটি পরিমাণের বিবর্তনকে মডেল করি যা সর্বদা ধনাত্মক (যেমন ভর বা ঘনত্ব)।

সরলতার জন্য, আসুন 1-D কেসটি দেখুন:

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = -\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x}$

ফ্লাক্স সংজ্ঞায়িত করা এখন সুবিধাজনক , যাতে: $\Phi = \rho u$

$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial x} = \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} \approx \dfrac{\Delta \Phi}{\Delta x} \approx \dfrac{\Phi_{i+1/2}-\Phi_{i-1/2}}{\Delta x}$

আমরা যা অনুকরণ করছি তার একটি পরিকল্পনাকারী এখানে:

            u           u
|          -->         -->          |
|    rho    |    rho    |    rho    |
x-----o-----x-----o-----x-----o-----x
     i-1  i-1/2   i   i+1/2  i+1

আমরা বিবর্তন মূল্যায়নের হয় সেল এ । নেট লাভ বা লস কি, আসে পার্থক্য থেকে আসে এবং কি খুঁজে যায়, $\rho$ $i$ $\Phi_{i-1/2}$ $\Phi_{i+1/2}$ । এখানেই আমরা পলের উত্তর থেকে সরে যেতে শুরু করি। সত্য রক্ষণশীল উজান প্রবাহের ভিন্নতায়, কক্ষের কেন্দ্রে পরিমাণটি তার গতির দিক দিয়ে, তার ঘরের প্রান্তে বেগ দ্বারা বহন করে চলেছে। অন্য কথায়, আপনি যদি ধারণা করেন যে আপনি অনুমোদিত পরিমাণ এবং আপনি কোষ কেন্দ্রে বসে আছেন, আপনাকে ঘরের প্রান্তে বেগ দিয়ে আপনার সামনে কোষে নিয়ে যাওয়া হবে। উভয় ঘরের প্রান্তে ঘনত্ব এবং বেগের পণ্য হিসাবে সেল প্রান্তে প্রবাহগুলি মূল্যায়ন সঠিক নয় এবং এটি অনুমোদিত পরিমাণ সংরক্ষণ করে না।

আগত এবং বহির্গামী ফ্লাক্সগুলি হিসাবে মূল্যায়ন করা হয়:

$\Phi_{i+1/2} = \dfrac{u_{i+1/2}+|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i} + \dfrac{u_{i+1/2}-|u_{i+1/2}|}{2}\rho_{i+1}$

$\Phi_{i-1/2} = \dfrac{u_{i-1/2}+|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i-1} + \dfrac{u_{i-1/2}-|u_{i-1/2}|}{2}\rho_{i}$

The above treatment of flux differencing ensures upstream-definiteness. In other words, it adjusts the differencing direction according to the sign of velocity.

The Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) stability criterion, when doing time differencing with simple first order, forward Euler differencing is given as:

$\mu = \dfrac{u\Delta t}{\Delta x} \leq 1$

Note that in 2 dimensions, the CFL stability criterion is more strict:

$\mu = \dfrac{c\Delta t}{\Delta x} \leq \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

where $c$ is velocity magnitude, $\sqrt{u^{2}+v^{2}}$ .

Some things to consider. This scheme may or may not be appropriate for your application depending on what kind of process you are simulating. This scheme is highly diffusive, and is appropriate for very smooth flows without sharp gradients. It is also more diffusive for shorter time steps. In the 1-D case, you will obtain an almost exact solution if the gradients are very small, and if $\mu = 1$ . In the 2-D case, this is not possible, and diffusion is anisotropic.

If your physical system considers shock waves or high gradients of other sort, you should look into upstream differencing of higher order (e.g. 3rd or 5th order). Also, it may be worthwhile looking into the Flux Corrected Transport family of schemes (Zalesak, 1979, JCP); anti-diffusion correction for the above scheme by Smolarkiewicz (1984, JCP); MPDATA family of schemes by Smolarkiewicz (1998, JCP).

For time differencing, 1st order forward Euler differencing may be satisfactory for your needs. Otherwise, look into higher-order methods such as Runge-Kutta (iterative), or Adams-Bashforth and Adams-Moulton (multi-level).

It would be worthwhile looking into some CFD graduate-level textbook for a summary of above mentioned schemes and many more.

— milancurcic
সূত্র

Thank you for the answer. Now I clearly see the upwinding :). I will try to implement that now! I am wondering, can the fact that

u

$u$ changes at every timestep affect the stability?

— tiam

No, as long as you satisfy the CFL constraint. You can do either adaptive time-stepping, i.e.

Δ t = \frac{Δ x}{m a x (u)}

$\Delta t = \dfrac{\Delta x}{max(u)}$ , or set

Δ t

$\Delta t$ constant according to maximum expected velocity in your problem. Remember that various combinations of time and space differencing methods will give you different CFL constraints.

— milancurcic

its a bit weird, I implemented the scheme and I managed to send a pulse from one boundary to the other and back again (by reversing the speed). But as soon as I say that

u = - C \nabla ρ

$u=-C\nabla \rho$ it begins to demand an extremly small timestep, even though the speed is below 1. Setting the dynamic timestep as u define above didn't help either.

— tiam

Or maybe it aint weird at all, maybe your comment above didn't govern the case where

u

$u$ and

ρ

$\rho$ are coupled.

— tiam

The stability constraints and order of accuracy are formally derived and valid for linearized advection equation - where

u

$u$ does not depend on

ρ

$\rho$ . In the past, I have successfully coupled this equation with non-linear Navier-Stokes equations for u,v. Formal stability constraints are not satisfied in that case, but keeping your increments reasonably low works. When setting

u = - C \nabla ρ

$u=-C\nabla\rho$ , your equation becomes

\frac{\partial ρ}{\partial t} = C [(\nabla ρ)^{2} + ρ \nabla^{2} ρ]

$\dfrac{\partial \rho}{\partial t} = C[(\nabla \rho)^{2} + \rho \nabla^{2}\rho]$ . You should investigate (if possible) what is the stability criterion for your equation.

— milancurcic

In the 1D case, you don't want to use a forward or central difference scheme for the spatial derivative term $(\frac{d}{dx})$ because they are numerically unstable. Instead, it is better to discretize the equation with an explicit backwards (upwind) finite difference for the spatial derivative:

$\frac{\rho_i^{k+1}-\rho_i^k}{\Delta t} + \frac{\rho_i^k U_i^k-\rho_{i-1}^k U_{i-1}^k}{\Delta x} = 0$ .

If the velocities are positive, then this backward scheme is stable. If they are negative, then a forward difference will work. Regardless, there is always a constraint on your choice of $\Delta x$ and $\Delta t$ (courant number) to make the scheme stable.

— Paul
সূত্র

Would evaluating

ρ

$\rho$ at

k + 1

$k+1$ instead remove the

Δ t

$\Delta t$ constraint?

— tiam

I'm not entirely sure... I think you would have to check the truncation error to make sure that it approximates the PDE correctly. You may want to consider the other implict schemes on this website: web.mit.edu/dongs/www/publications/projects/…

— Paul