হাইপারবোলিক স্পেসে পয়েন্ট কীভাবে নমুনা করবেন?

Question

পয়েন্টকারির উপরের অর্ধেক স্থানের মডেলের হাইপারবোলিক স্থানটি সাধারণ $\Bbb R^n$ মতো দেখায় তবে তুলনামূলকভাবে সহজ উপায়ে বিকৃত কোণ এবং দূরত্বের ধারণার সাথে। ইউক্লিডিয় স্থান আমি বিভিন্নভাবে, উৎপাদিত দ্বারা যেমন একটি বল অবিশেষে একটি র্যান্ডম বিন্দু পাওয়া যাবে $n$ স্বাধীন গসিয়ান নমুনার একটি দিক প্রাপ্ত, এবং আলাদাভাবে নমুনা সংগ্রহ করেন রশ্মীয় তুল্য $r$ অবিশেষে স্যাম্পলিং দ্বারা $s$ থেকে $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$, যেখানে$R$ব্যাসার্ধ এবং সেটটি$r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ । হাইপারবোলিক উপরের অর্ধেক সমতলে একটি গোলকটি এখনও একটি গোলক হিসাবে দেখা দেয়, কেবলমাত্র এর কেন্দ্র ইউক্লিডিয়ান মেট্রিকের কেন্দ্র হবে না, তাই আমরাও এটি করতে পারতাম।

আমরা যদি অ-ইউনিফর্ম বিতরণ অনুসারে নমুনা নিতে চাই তবে তবুও আইসোট্রপিক উপায়ে যেমন গাউসীয় বিতরণ, এটি এত সহজ বলে মনে হয় না। ইউক্লিডিয়ান স্পেসে আমরা প্রতিটি সমন্বয়ের জন্য কেবল গাউসীয় নমুনা তৈরি করতে পারি (এটি কেবল গাউসীয় বিতরণের জন্য কাজ করে), বা সমানভাবে বহুমাত্রিক গাউসিয়ান নমুনা তৈরি করতে পারি। হাইপারবোলিক স্পেসে এই নমুনাকে কোনও নমুনায় রূপান্তর করার সরাসরি উপায় আছে কি?

একটি বিকল্প পদ্ধতির মধ্যে প্রথমে অভিন্ন বিতরণকৃত দিক তৈরি করা (যেমন $n$ গাউসিয়ান নমুনাগুলি থেকে) তারপর রেডিয়াল উপাদানগুলির জন্য গাউসীয় নমুনা তৈরি করা এবং অবশেষে নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের জন্য বর্ণিত মানচিত্রে চিত্রটি উত্পন্ন করা যেতে পারে । একটি ভিন্নতা হ'ল কেবল ইউক্যালিডিয়ান গাউসির নমুনা গ্রহণ করা এবং এটি সূচকীয় মানচিত্রের নীচে ম্যাপ করা।

আমার প্রশ্নগুলো:

• হাইপারবোলিক স্পেসে নির্দিষ্ট গড় এবং মানক বিচ্যুতি সহ গাউসীয় নমুনা পাওয়ার কী ভাল এবং দক্ষ উপায় হবে?
• আমি উপরে বর্ণিত পদ্ধতিগুলি কি পছন্দসই নমুনা সরবরাহ করে?
• সূত্রটি ইতিমধ্যে কি কেউ কাজ করেছে?
• এটি অন্যান্য মেট্রিক এবং অন্যান্য সম্ভাব্যতা বিতরণকে কীভাবে সাধারণীকরণ করে?

আগাম ধন্যবাদ.

সম্পাদনা

আমি কেবল বুঝতে পেরেছি যে ইউনিফর্ম নমুনা দেওয়ার ক্ষেত্রেও এই প্রশ্নগুলি রয়ে গেছে; যদিও একটি গোলক একটি গোলক, একটি বলের উপর অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপ দ্বারা অভিন্ন বিতরণ বর্ণিত হবে না।

Comments

@ চোখ আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ। প্রতিটি টপোলজিকাল স্পেসে আপনার টোপোলজির সাহায্যে বোরেল সিগমা বীজগণিত থাকে। একটি রিমানিয়ান মেট্রিক আপনাকে একটি ভলিউমের ধারণা দেয়। যদি মোট ভলিউম সীমাবদ্ধ হয় তবে সম্ভাব্যতা বিতরণ দেওয়ার জন্য এটি স্বাভাবিক করা যায়, বা আরও সাধারণভাবে এটি আপনাকে সীমাবদ্ধ ভলিউমের পরিমাপযোগ্য সেটগুলিতে সরাসরি অভিন্ন সম্ভাব্যতা বিতরণ দেয়। যেহেতু আপনার একটি জ্যামিতিক কাঠামো রয়েছে, ভূ-প্রকৌশল এবং তোরণ দৈর্ঘ্যের ধারণা সহ আপনি

— গৌসীয় বিতরণকে সংশ্লেষ

@ আইজগুলি বলের মডেলটিতে বলের কেন্দ্রের চারপাশে নমুনা নেওয়া এবং তারপরে আইসোমেট্রির মাধ্যমে কমপক্ষে ইউক্লিডিয়ান এবং হাইপারবোলিক ঘূর্ণন কেন্দ্রের সাথে মিলিয়ে নেওয়া সহজতর হতে পারে। যদি এটি সত্যিই সবচেয়ে দক্ষ হয়, তবে হাইপারবোলিক মেট্রিকের স্বাভাবিক বিতরণ অনুযায়ী ডিস্ক মডেলটিতে কেন্দ্রে আশেপাশের নমুনা নেওয়ার প্রশ্নটি হ্রাস পাবে।

— doetoe

আপনার এখানে নমুনা তৈরি করতে মার্ক গিরোলামির রিমানিয়ানিয়ান বহুগুণ এমসিসিএমকে মানিয়ে নিতে সক্ষম হওয়া উচিত। তবে এটি ওভারকিল হতে পারে। আপনি এমসিএমসি করেন তবে আপনি বর্তমান পয়েন্ট থেকে জিওডিক্স শুটিং করে প্রস্তাবগুলি উত্পন্ন করেন।

— নিক অ্যালজার

@ নিকআলগার যা আকর্ষণীয় মনে হচ্ছে, আপনার কি কোনও লিঙ্ক আছে?

— doetoe

এটি সম্পর্কে তার মূল কাগজ এখানে। তারা সমতল স্থানে অযৌক্তিক বিতরণকে নমুনা দেওয়ার সমস্যাকে বহুগুণে অভিন্ন বিতরণ নমুনা দেওয়ার সমস্যায় রূপান্তরিত করে, যেখানে আপনি বহুগুণে অভিন্ন বিতরণ দিয়ে শুরু করেন। আরএসএস.অনলিনেলিবেরি.উইলি.কম

— নিক

Answer 1

আমি নিজের জন্য এটি করার মাঝখানে আছি। আমি মনে করি গাউসের সবচেয়ে উপযুক্ত এনালগ হ'ল হাইপারবোলিক স্থানের তাপ কার্নেল। ভাগ্যক্রমে, এটির আগে এটি বের করা হয়েছে: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf ( লন্ডন ম্যাথমেটিকাল সোসাইটির একটি বুলেটিনেও উপলব্ধ )।

$e^{-dist^2/constant}$

$$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$$

উত্সকে কেন্দ্র করে ব্যাসার্ধ 3 এর বলের জন্য এখানে অভিন্ন নমুনা রয়েছে:

যদি ইচ্ছা হয়, আমি আরও বলতে পেরে খুশি হব। আমি কেবল ভেবেছিলাম আমি এটি স্থাপন করব, যেহেতু অন্তত অতীতে এই সম্পর্কে কিছুটা স্পষ্টভাবে আগ্রহ ছিল।

Comments

ধন্যবাদ! আমার পছন্দ করা নিবন্ধটি অধ্যয়নের জন্য এখনও সময় নেই, তবে এটি আকর্ষণীয় এবং প্রাসঙ্গিক বলে মনে হচ্ছে

— doetoe

$\sigma / 2$

Answer 2

ধ্রুবক পাই কেবল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে একটি ধ্রুবক। পাই এর মান অন্যান্য জ্যামিতিতে আলাদা। প্যারামিটার পাই গাউসের অধীনে সম্ভাব্যতার ভর পরিবর্তন করে। প্যারামিটার পাই ব্যবহারের সম্ভাবনাগুলি স্বাভাবিক করতে ব্যবহৃত হয়। আমি এই পড়া শুরু করছি।

আমি কিছুক্ষণ আগে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছি যে সিগমাসের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে স্থানটি হাইপারবোলিক থেকে ইউক্লিডিয়ান থেকে গোলাকৃতিতে পরিবর্তিত হয়। আমি প্রতিটি স্পেসের চেনাশোনাগুলি নিয়ে আলোচনা চালিয়ে খুশি হয়েছিলাম এবং প্যারামিটারের মাধ্যমে এলপি স্পেসগুলির ফাংশন হিসাবে পাই পাই।

Answer 3

$n$