কীভাবে এফইএম-এ লম্পড মাস ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে হয়

সময় নির্ভর পিডিই এর সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি ব্যবহার করার সময়, উদাহরণস্বরূপ তাপ সমীকরণটি বলুন, যদি আমরা স্পষ্টভাবে সময় পদক্ষেপ ব্যবহার করি তবে ভর ম্যাট্রিক্সের কারণে আমাদের একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা তাপ সমীকরণ উদাহরণের সাথে লেগে থাকি,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

তারপরে ফরওয়ার্ড ইউলার ব্যবহার করে আমরা পেলাম

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

এবং এইভাবে যদিও আমরা একটি সুস্পষ্ট সময় পদক্ষেপের স্কিম ব্যবহার করছি আমাদের এখনও একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করতে হবে। এটি স্পষ্টতই একটি বড় সমস্যা যেহেতু সুস্পষ্ট স্কিমগুলি ব্যবহারের প্রাথমিক সুবিধাটি কোনও রৈখিক সিস্টেমের সমাধান না করা। আমি পড়েছি যে এই সমস্যাটি ঘুরিয়ে নেওয়ার একটি সাধারণ উপায় হ'ল পরিবর্তে "লম্প্পড" ভর ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা যা নিয়মিত (ধারাবাহিক?) ভর ম্যাট্রিক্সকে একটি তির্যক ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করে এবং এইভাবে বিপর্যয়কে তুচ্ছ করে তোলে। একটি গুগল অনুসন্ধান করার পরেও আমি এখনও পুরোপুরি নিশ্চিত নই যে এই লম্পড ভর ম্যাট্রিক্সটি কীভাবে তৈরি হয়। উদাহরণস্বরূপ, তিনি বিজ্ঞাপন -বিভাজন সমানকরণের জন্য মাস্টার লম্পিংয়ের NUMERICAL এক্সপেরিমেন্টস কাগজটি দেখছেনএডসন ওয়েনল্যান্ডল্যান্ড হ্যারি এবং এডমার শুল্জের দ্বারা তারা সমস্ত সহগুণকে কেবল তির্যকভাবে সংক্ষিপ্ত করে তাদের গলিত ভর ম্যাট্রিক্স তৈরি করে। সুতরাং উদাহরণস্বরূপ যদি আমাদের মূল ধারাবাহিক ভর ম্যাট্রিক্স হয়:

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

তাহলে লম্পড ভর ম্যাট্রিক্স হ'ল:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

আমার প্রশ্নটি তখন: লম্পড মাস ম্যাট্রিক্স গঠনের সঠিক উপায় কি এটি? নির্ভুলতার ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ ভর ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তে লম্পড ভর ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করার সময় কোন অসুবিধাগুলি বিদ্যমান? আমি উল্লিখিত কাগজের লেখকরা প্রকৃতপক্ষে লম্পড মাস ম্যাট্রিক্সটি ব্যবহার না করার পরামর্শ দিয়েছেন, যদিও মনে হয়েছিল তারা কেবল একটি অন্তর্নিহিত সময় পদক্ষেপের স্কিম ব্যবহার করছেন যা আমি ভেবেছিলাম যে এই জাতীয় ম্যাট্রিক ব্যবহারের প্রাথমিক কারণটি সুস্পষ্ট পদ্ধতিগুলির জন্য।

দ্রষ্টব্য: আমি তাপের সমীকরণ সমাধান করতে কখনই ফরোয়ার্ড অয়লারকে ব্যবহার করব না, এটি কেবল উদাহরণ। এছাড়াও যদি আমার সমস্যাটি বিবেচিত হয় নাভিয়ার স্টোকস সমীকরণগুলিকে সমাধান করা যেখানে ননলাইনারি পদটি স্পষ্টভাবে চিকিত্সা করা হয় এবং প্রসারণের শব্দটি স্পষ্টভাবে চিকিত্সা করা হয়।

ধন্যবাদ

finite-element time-integration navier-stokes

— জেমস
সূত্র

O (n^{2})

$O(n^{2})$

হ্যাঁ আমি এটি করতে পারতাম যদি আমি প্রত্যক্ষ সমাধানকারী ব্যবহার করতাম তবে আমি যদি পিসিজি বা অন্য কোনও পুনরাবৃত্তিকারী সলভার ব্যবহার করি তবে আমি মনে করি না যে এটি সাহায্য করবে

— জেমস

আমি ব্যক্তিগতভাবে গণিতের গলিতকে বিশ্বাস করি না। গুণগতভাবে, আপনি সুস্পষ্ট সময়ের পদক্ষেপের লক্ষ্য না রেখে এটি কোনও লাভ দেয় না, সেক্ষেত্রে তির্যক ভর ম্যাট্রিক্স সমাধান করা আরও সহজ করে তোলে। আপনি যদি একটি অন্তর্নিহিত সময় পদক্ষেপের পদ্ধতি ব্যবহার করছেন তবে আপনি ম্যাট্রিক্সে কোনও স্পারসিটি অর্জন করবেন না। আমি মনে করি আপনি কেবলমাত্র একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার না করে ত্রুটি অর্জন করেছেন।

— পল

আমি অবাক হয়েছি কেউ চতুর্ভুজগুলির জন্য ফ্রাইড এবং মার্কাস (1975) এর পদ্ধতিটি উল্লেখ করেনি, যা কাটা ত্রুটির ক্ষতি এড়াতে লোবাট্টো পয়েন্টগুলিতে নোড ব্যবহার করে। আপনি কিউবিকগুলি না পাওয়া পর্যন্ত কোনও সমস্যা নয়, তবে সেরেন্ডিপিটি উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে। ধারণাটি ত্রিভুজগুলিতে প্রসারিত হয়েছে, তবে এর জন্য একটি বিশেষ ভিত্তি এবং চতুর্ভুজ প্রয়োজন।

— এল ইয়ং

আমি মনে করি না যে এর একটি সুনির্দিষ্ট উত্তর আছে, কারণ এটি এক বিষয় থেকে অন্য বিষয়ে পরিবর্তিত হতে পারে (এবং আপনি যে উপাদানগুলির ব্যবহার করছেন তার উপরও নির্ভর করে)। সাম্প্রতিক কিছু কাগজপত্র সে সম্পর্কে কথা বলছে, [2]। সুতরাং, এটি কোনও বন্ধ আলোচনা নয়। তদ্ব্যতীত, আপনার যখন বিম বা শাঁস হিসাবে কাইনেমেটিক সীমাবদ্ধতার সাথে উপাদান থাকে তখন আপনার বিভিন্ন ভিন্ন জড় উপাদান (কমপক্ষে যান্ত্রিক ক্ষেত্রে) থাকতে পারে।

জিয়েনকিউইক্জ (দেখুন [১], বিভাগ ১ 16.২.৪) ভর ম্যাট্রিক্স লম্পট করার জন্য তিনটি পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করুন

${এম}_{আমি আমি}^{(সঙ্গে জড়িয়ে)} = \underset{ঞ}{Σ} {এম}_{আমি ঞ}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
${এম}_{আমি আমি}^{(সঙ্গে জড়িয়ে)} = গ {এম}_{আমি আমি}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

সমস্ত ক্ষেত্রে সমস্ত পদ্ধতি কার্যকর হয় না, উদাহরণস্বরূপ, সারি যোগ পদ্ধতিটি 8-নোড সেরেন্ডিপিটি উপাদানগুলির জন্য কাজ করে না কারণ এটি নেতিবাচক জনসাধারণের দিকে পরিচালিত করে।

আমি পদ্ধতি 2 ব্যবহার করেছি উপাদান ( এর মোট ভর হ'ল ফ্যাক্টর $M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

{এম}_{আমি আমি}^{(সঙ্গে জড়িয়ে)} = \frac{{এম}_{যে কোন ক্ষুদ্র বস্তু}}{টি R (এম)} {এম}_{আমি আমি} (কোনও সংক্ষিপ্ত বিবরণ নেই) আমি) ।

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

আমি লোবাট্টো নোডগুলির সাথে তথাকথিত বর্ণালী বর্ণন পদ্ধতিগুলি (এই অবস্থানগুলিকে নোড এবং ইন্টিগ্রেশন পয়েন্ট হিসাবে ব্যবহার করে) এর সাথে 3 পদ্ধতিও ব্যবহার করেছি, যা স্বয়ংক্রিয়ভাবে তির্যক ম্যাট্রিক্সের দিকে পরিচালিত করে।

[1] থেকে, আপনি এই চিত্রটি কিছু উপাদান ধরণের কয়েকটি পদ্ধতির বর্ণনা দিয়ে দেখতে পাচ্ছেন কিছু দ্বিমাত্রিক সসীম উপাদানগুলির জন্য ভর গলদা

তথ্যসূত্র

[1] ঝু, জে।, জেডআরএল টেলর এবং ওসি জিয়েনকিউইকস। "সসীম উপাদান পদ্ধতি: এর ভিত্তি এবং মৌলিক বিষয়গুলি" " (2005): 54-102।

[2] ফেলিপা, কার্লোস এ।, কিওনগ গুও এবং কেসি পার্ক। "গণ ম্যাট্রিক্স টেম্পলেটগুলি: সাধারণ বিবরণ এবং 1 ডি উদাহরণ।" ইঞ্জিনিয়ারিং বিভাগের গণনা পদ্ধতিগুলির সংরক্ষণাগারসমূহ 22.1 (2015): 1-65।

— নিকোগুয়ারো
সূত্র