সংখ্যার দিক থেকে দুর্বল রূপান্তরটি কীভাবে অনুভূত হয়?

Question

বিবেচনা করুন, আপনার একটি অসীম মাত্রিক হিলবার্ট বা বনাচ স্পেসে সমস্যা আছে (পিডিই বা এই জাতীয় জায়গার একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা মনে করুন) এবং আপনার একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা দুর্বলভাবে একটি সমাধানে রূপান্তরিত করে। যদি আপনি সমস্যাটিকে বিচক্ষণ করে এবং সেই সাথে সম্পর্কিত বিচ্ছিন্ন অ্যালগরিদমটি প্রয়োগ করেন তবে দুর্বল অভিমোচনটি প্রতিটি স্থানাঙ্কে রূপান্তর এবং তাই শক্তিশালী। আমার প্রশ্নটি হ'ল:

এই ধরণের দৃ strong় সংমিশ্রণটি মূল অসীম অ্যালগরিদমের ভাল পুরানো সরল শক্তিশালী রূপান্তর থেকে প্রাপ্ত কনভার্জেন্সের থেকে আলাদা বা অনুভূত হয়?

বা, আরও কংক্রিট:

"বিযুক্তিযুক্ত দুর্বল রূপান্তর পদ্ধতি" দিয়ে কী ধরনের খারাপ আচরণ ঘটতে পারে?

আমি নিজে সাধারণত খুব খুশি নই যখন আমি কেবল দুর্বল অভিমুখে প্রমাণ করতে পারি তবে এখন পর্যন্ত আমি পদ্ধতির ফলাফল নিয়ে কিছু সমস্যা পর্যবেক্ষণ করতে পারি না যদি আমি সমস্যাটিকে উচ্চ মাত্রায় সমস্যা বিবেচনা করি তবুও।

নোট করুন যে "সমস্যার তুলনায় প্রথমে অপ্টিমাইজ করা" তুলনায় প্রথমে বিচক্ষণতার বিষয়ে আমি আগ্রহী নই এবং আমি সমস্যাগুলি সম্পর্কে সচেতন যে যদি আপনি কোনও বিচ্ছিন্ন সমস্যাটিতে একটি অ্যালগরিদম প্রয়োগ করেন যা সমস্যার সাথে সমস্ত বৈশিষ্ট্য ভাগ করে না রাখে যার জন্য অ্যালগরিদম ডিজাইন করা হয়েছিল।

আপডেট: একটি কংক্রিট উদাহরণ হিসাবে একটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা বিবেচনা করুন$L^2$ এবং এটিকে (অনড়) অগ্রবর্তী-পিছনের বিভাজন বা অন্য কোনও পদ্ধতির সাথে সমাধান করা যার জন্য কেবল দুর্বল রূপান্তর $L^2$পরিচিত. বিযুক্তিযুক্ত সমস্যার জন্য আপনি একই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন এবং সঠিক বিবেচনার সাথে আপনি একইভাবে অ্যালগরিদম পেতে পারেন যদি আপনি সরাসরি অ্যালগরিদমকে বিযুক্ত করে থাকেন। আপনি বিচক্ষণতার যথার্থতা বাড়ালে কী ভুল হতে পারে?

Comments

আপনি কোন ধরণের পদ্ধতি সম্পর্কে ভাবছেন যেখানে অসীম-মাত্রিক সমস্যা বিচ্ছিন্ন হওয়ার আগে অভিব্যক্তিটি বিশ্লেষণ করা হয়? আপনি অপ্টিমাইজেশনের কথা উল্লেখ করেছেন, তাই আপনি কী PDE- সীমাবদ্ধ অপ্টিমাইজেশান সমস্যাগুলি নিয়ে ভাবছেন, বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই বা অন্য কিছু আছে?

— বিল বার্থ

পিডিই অপ্টিমাইজেশনের পাশাপাশি আমার জ্যামিতিক ভেরিয়েন্টাল সমস্যা রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ ন্যূনতম পৃষ্ঠতল) এবং ইমেজিংয়ের সমস্যাগুলি (উদাহরণস্বরূপ টিভি ডায়নাইজিং, ম্যামফোর্ড-শাহ বিভাগ) mind

— ডির্ক

Answer 1

এটি সত্য যে ধারাবাহিক সীমাতে দুর্বল অভিব্যক্তি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ $h\to 0$(উদাহরণস্বরূপ, কোনও রূপান্তর হার পর্যবেক্ষণ করতে সক্ষম না হয়ে )। কমপক্ষে হিলবার্ট স্পেসে, এটি সীমাটির অদ্বিতীয়তার সাথেও ঘনিষ্ঠভাবে আবদ্ধ এবং সুতরাং কেবলমাত্র অনুক্রমিক একীকরণ (যেমন, আপনি বিভিন্ন সীমা পয়েন্টগুলির কাছে পৌঁছানোর ক্ষেত্রে আবারও হারগুলি ধ্বংস করতে পারেন), এবং এর প্রভাবকে পৃথক করা শক্ত is অভিমুখে দুটি।

বিশেষত মধ্যে দুর্বল রূপান্তর জন্য $L^2$, আপনারও এই সত্যটি আছে যে রূপান্তরটি বিন্দুমুখী হওয়া উচিত নয় এবং এটি আপনি একটি (পর্যাপ্ত সূক্ষ্ম) বিবেচনার ভিত্তিতে পর্যবেক্ষণ করতে পারেন। মিনিমাইজারগুলির ক্রম থেকে এখানে একটি উদাহরণ$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ যে হিসাবে রূপান্তরিত $\varepsilon\to 0$ প্রতি

$$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$$ যেখানে অভিব্যক্তি দুর্বল তবে বিন্দু অনুসারে নয় $[\frac13,\frac23]$(তবে প্রায় সর্বত্র পয়েন্টওয়াইজ)। নিম্নলিখিত পরিসংখ্যানগুলি ক্রম থেকে তিনটি প্রতিনিধি উপাদান দেখায় (জন্য)$\varepsilon$ ইতিমধ্যে বেশ ছোট)।

এই ঘটনাটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য ব্যাং-ব্যাং নিয়ন্ত্রণ সমস্যার সান্নিধ্যে "চিত্তাকর্ষক" হিসাবে পরিচিত (যেমন, বাক্স সীমাবদ্ধতার সাথে সমস্যা যেখানে প্রায় সর্বত্রই সমাধান নীচের বা উপরের সীমানা অর্জন করে)।

(এই নির্দিষ্ট উদাহরণটি উপবৃত্তাকারী সিস্টেমগুলির মাল্টি-ব্যাং নিয়ন্ত্রণের বিষয়ে আমাদের কাগজ থেকে নেওয়া হয়েছে , এ্যান। হেনরি পয়েন্টার (সি) ২০১৪, ১১০৯-১১০০, মন্তব্য ৪.২।)

Comments

দুর্দান্ত উদাহরণ! তবে, দুর্বল রূপান্তরটি কী অদ্বিতীয়তার সাথে আবদ্ধ তা আমি পয়েন্টটি পাইনি। সীমাটি অনন্য হয়ে থাকে তখন সাধারণভাবে দুর্বল রূপান্তরকে শক্তিশালী রূপান্তরকরণে আপগ্রেড করা যায় না? তবে সম্মত হন, প্রায়শই একজনের দুর্বল রূপান্তর এবং অদ্বিতীয়তা উভয়ই থাকে।

— ডার্ক

দুঃখিত, এটি খারাপভাবে বর্ণিত ছিল; আমি বোঝাতে চাইনি যে এটি সর্বদা হয়। আমার মনে সমস্যা ছিল যেখানে আপনি সাধারণত নিয়মের একত্রিত হন, সুতরাং যতক্ষণ না আপনার সম্পূর্ণ ক্রম একত্রিত হয় আপনি "দৃ ,় রূপান্তর" তে উন্নীত করতে পারেন (অর্থাত্, দৃ strong় রূপান্তরকে রোধ করতে পারে এমন একমাত্র বিষয় হ'ল) ​​পরবর্তী কনভার্ভেশন gence )।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

Answer 2

আপনি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছেন প্রায়শই তেমন ব্যবহারিক উদ্বেগের কারণ না কারণ একই মানের ক্রমগুলির জন্য একই নিয়মের দুর্বল রূপান্তর অন্য একের মধ্যে দৃ strong় রূপান্তরকে বোঝায়।

আপনাকে একটি উদাহরণ দেওয়ার জন্য, ধরে নেওয়া যাক আমরা স্ট্যান্ডার্ড সীমাবদ্ধ উপাদানগুলির সাথে উত্তল বহুভুজ ডোমেনের পর্যাপ্ত মসৃণ ডান হাত দিয়ে ল্যাপ্লেস সমীকরণটি সমাধান করি। তারপরে সমাধান$u$ ভিতরে আছে $H^2$, তবে অবশ্যই সীমাবদ্ধ উপাদান সমাধান $u_h$ শুধুমাত্র মধ্যে আছে $H^1$। আমরা এটা জানি না$u_h \rightarrow u$ দৃ both়ভাবে উভয় $L_2$ এবং $H^1$ সর্বোচ্চ জাল আকার হিসাবে নিয়ম $h\rightarrow 0$ কারণ আমাদের কাছে অগ্রাধিকারের ত্রুটির অনুমান রয়েছে $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ এবং $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$।

তবে স্পষ্টতই আমরা আশা করতে পারি না $u_h \rightarrow u$ দৃ strongly়ভাবে $H^2$ কারন $u_h$ শুধুমাত্র মধ্যে আছে $H^1$। তবে আমাদের থাকতে পারে$u_h \rightharpoonup u$ দুর্বল মধ্যে $H^2$(আসলে, আমি মনে করি এটি ধারণ করে)। এটি সম্ভবত সম্ভবত একটি বিবৃতি বোঝাতে হবে

$$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$$

মুল বক্তব্যটি হ'ল দুর্বল বনাম শক্তিশালী কনভার্জেন্সের প্রশ্নটি সাধারণত আপনি কী আদর্শকে দেখেন তা একটি প্রশ্ন এবং আপনি আপনার পদ্ধতি থেকে সমাধানের ক্রমগুলির সম্পত্তি নয় ।

Comments

এটি সত্য, তবে এক পর্যায়ে নিয়মটি ব্যবহারিকভাবে কার্যকর হওয়ার জন্য খুব দুর্বল হয়ে যায় (উদাহরণস্বরূপ, যখন আপনার কেবলমাত্র দুর্বল রূপান্তর রয়েছে $L^2$, যা নেতিবাচক সোবোলেভ নীতিগুলিতে দৃ strong় রূপান্তর বোঝায়, যা স্থানীয়করণযোগ্য নয়)।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

@ ক্রিশ্চিয়ান্সক্লাসন, আপনি যখন এই জাতীয় পদ্ধতিটি বুদ্ধিমান হয়ে যায় তখন কী তা কেমন তা বলতে পারেন। তারা কি কাজ করে? ইত্যাদি?

— বিল বার্থ

আমার মনে যে বিষয়টি ছিল তা হ'ল যখন বিচক্ষণ আদর্শটি আসলে সেই আদর্শের সান্নিধ্য হয় যেখানে কেবল দুর্বল রূপান্তর ঘটে (সাধারণত $L^2$)।

— শির্ক