সংখ্যা বিশ্লেষণে নিটশের পদ্ধতির সাধারণ ধারণা কী?

আমি জানি যে নিটসের পদ্ধতিটি একটি খুব আকর্ষণীয় পদ্ধতি কারণ এটি ডিগ্রিলেট টাইপ সীমানা শর্তগুলি বিবেচনায় নিতে পারে বা ল্যাগ্রেঞ্জ গুণকগুলি ব্যবহার না করে দুর্বল উপায়ে ঘর্ষণ সীমানা অবস্থার সাথে যোগাযোগ করতে দেয়। এবং এর সুবিধা, যা একটি ডাইরিচলেট সীমানা অবস্থাটিকে একইভাবে নিউউমন সীমানা শর্ত হিসাবে দুর্বল পদে রূপান্তরিত করা হয়, বাস্তবায়নটি মডেল নির্ভর নির্ভর করে এই অর্থ প্রদান করা হয়।

তবে এটি আমার পক্ষে খুব সাধারণ বলে মনে হচ্ছে। আপনি কি আমাকে এই পদ্ধতির আরও নির্দিষ্ট ধারণা দিতে পারেন? একটি সহজ উদাহরণ প্রশংসা করা হবে।

— আনহ-থি ডিআইএনএইচ
সূত্র

আমি মনে করি না আমি আপনার প্রশ্নটি বেশ বুঝতে পেরেছি। পদ্ধতিটি কেন আবিষ্কার করা হয়েছিল তা আপনি সঠিকভাবে সনাক্ত করেছেন (দুর্বল আকারে ডেরিচলেট শর্তগুলি পরিচালনা করতে)। "তবে এটি আমার পক্ষে খুব সাধারণ বলে মনে হচ্ছে? আপনি কি আমাকে এই পদ্ধতির আরও নির্দিষ্ট ধারণা দিতে পারেন? একটি সাধারণ উদাহরণ ব্যয়বহুল।"

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

@ ওল্ফগ্যাংবাংয়ের্থ: এই ধারণার জন্য আমার একটি (সাধারণ) উদাহরণ দরকার। এটা আমার জন্য বিমূর্ত।

— আনহ-থি DINH

@ অলিভার: আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনি "প্রিয়", "মূল্যবান" হিসাবে "ব্যয়বহুল" অর্থ, "প্রশংসিত"? আমি শব্দ পরিবর্তন করার স্বাধীনতা গ্রহণ করেছি; যদি আপনি একমত না হন তবে নির্দ্বিধায় এডিটটি রোল করুন।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

নিত্সের পদ্ধতিটি বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন পদ্ধতির সাথে সম্পর্কিত (প্রকৃতপক্ষে, ওল্ফগ্যাং দেখিয়েছে যে এটি এই পদ্ধতির পূর্বসূরী), এবং একই ধরণের ফ্যাশন থেকে উদ্ভূত হতে পারে। আসুন সহজ সমস্যাটি বিবেচনা করি, পইসনের সমীকরণ: আমরা এখন একটি বৈকল্পিক গঠনের সন্ধান করছি

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} - Δ u & = f on Ω, \\ u & = g on \partial Ω . \end{aligned} \end{matrix}

$\left\{\begin{aligned} -\Delta u &= f \qquad\text{on }\Omega,\\ u &= g \qquad\text{on }\partial\Omega. \end{aligned}\right. \tag{1}$

(দুর্বল) সমাধান (যেমন, ধারাবাহিক) দ্বারা সন্তুষ্ট, $u\in H^1(\Omega)$
মধ্যে প্রতিসম হয় এবং , $u$ $v$
একটি অনন্য সমাধান স্বীকার করে (যার অর্থ বিলাইনার ফর্মটি বাধ্যতামূলক)।

আমরা যথারীতি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের শক্ত রূপটি গ্রহণ করে একটি পরীক্ষা ফাংশন দ্বারা গুণিত করে এবং অংশগুলি দ্বারা একীকরণ করে শুরু করি। ডান হাত দিয়ে শুরু করে, আমরা পাই $v\in H^1(\Omega)$ যেখানে সর্বশেষ সমীকরণে আমরাসীমানায়উত্পাদনশীল শূন্য। পৃথক রৈখিক এবং দ্বিখণ্ডিত ফর্মগুলিতে শর্তাবলী পুনরায় সাজানো এখন একটি প্রতিসৃত দ্বিখণ্ডিত ফর্মের জন্য একটি বৈকল্পিক সমীকরণ দেয় যাসমাধানের জন্য সন্তুষ্ট

\begin{aligned} (f, v) = (- Δ u, v) & = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s \\ = (\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} (u - g) \partial_{ν} v d s \end{aligned}

$\begin{aligned} (f ,v) = (-\Delta u,v)&=(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds \\ &= (\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} (u-g)\partial_\nu v\,ds \end{aligned}$

0 = u - g

$0=u-g$

u \in H^{1} (Ω)

$u\in H^1(\Omega)$ যা

এর ।

(1)

$(1)$

$u=v$ $c\|v\|_{H^1}^2$ $v\in H^1(\Omega)$ $L^2$ কিছু বৃহৎ যথেষ্ট। এটি (প্রতিসম, ধারাবাহিক, জবরদস্তি) দুর্বল গঠনের দিকে পরিচালিত করে: যেমন $\eta\int_{\partial\Omega} (u-g)v\,ds$ $\eta>0$ $u\in H^1(\Omega)$

(\nabla u, \nabla v) - \int_{\partial Ω} \partial_{ν} u v d s - \int_{\partial Ω} u \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} u v d s = - \int_{\partial Ω} g \partial_{ν} v d s + η \int_{\partial Ω} g v d s + \int_{Ω} f v d x for all v \in H^{1} (Ω) .

$(\nabla u,\nabla v) - \int_{\partial\Omega} \partial_\nu u v\,ds - \int_{\partial\Omega} u\partial_\nu v\,ds +\eta\int_{\partial\Omega} u v\,ds = -\int_{\partial\Omega} g\partial_\nu v\,ds + \eta\int_{\partial\Omega} g v\,ds + \int_\Omega f v\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1(\Omega).$

$u,v\in H^1(\Omega)$ discrete approximations $u_h,v_h\in V_h\subset H^1(\Omega)$ yields the usual Galerkin approximation. Note that since it's non-conforming due to the boundary conditions (we are looking for the discrete solution in a space that is larger than the one we sought the continuous solution in), one cannot deduce well-posedness of the discrete problem from that of the continuous problem. Nitsche now showed that if $\eta$ is chosen as $ch^{-1}$ for $c>0$ sufficiently large, the discrete problem is in fact stable (with respect to a suitable mesh-dependent norm).

(This is not Nitsche's original derivation, which predates discontinuous Galerkin methods and starts from an equivalent minimization problem. In fact, his original paper does not mention the corresponding bilinear form at all, but you can find it in, e.g., Freund and Stenberg, On weakly imposed boundary conditions for second-order problems, Proceedings of the Ninth Int. Conf. Finite Elements in Fluids, Venice 1995. M. Morandi Cecchi et al., Eds. pp. 327-336.)

— Christian Clason
সূত্র

Your first sentence is not wrong, but historically inaccurate: Nitsche's idea came first and inspired the development of discontinuous Galerkin methods. That said, this doesn't take away from the otherwise excellent answer.

— Wolfgang Bangerth

@WolfgangBangerth You are of course correct; no causality was implied, only correlation. But it is important to give proper attribution, especially to people who otherwise get short-shifted. I'll edit to make that clear.

— Christian Clason

Questions: 1. Could you elaborate more on the coercivity issue prior to adding the additional boundary term? 2. What does "non-conforming" here mean? 3. I thought I read that stability is an automatic result of coercivity of the bilinear form..? Though this explanation is quite good (the only explanation I've been able to find in fact), can anyone link to another overall explanation of the method (and/or its derivation) just for comparison? Even if I could locate the original paper, not sure it would be much help. The Freund and Stenberg paper only gives a short synopsis and a couple specific

— Nights

Nonconformity: the discrete solution space

V_{h}

$V_h$ is not a subspace of the continuous solution space

H_{g}^{1} (Ω)

$H_g^1(\Omega)$ - because the Dirichlet boundary conditions are enforced only in a weak sense. Here is a potentially useful link.

— GoHokies

@Nights I have edited the answer to address your points (except that in your second paragraph, obviously).

— Christian Clason