ইজেনভ্যালু সমস্যায় যাচাইকরণ

আসুন আমরা ফর্মের একটি সমস্যা দিয়ে শুরু করি

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

প্রদত্ত সীমানা শর্তগুলির একটি সেট ( ডিরিচলেট , নিউম্যান , রবিন , পর্যায়ক্রমিক , ব্লচ-পর্যায়ক্রমিক )। এটি কিছু জ্যামিতির অধীনে কিছু অপারেটর জন্য ইগেনভ্যালু এবং ইগেনভেেক্টর সন্ধানের সাথে মিলে যায় । উদাহরণস্বরূপ, শাব্দিক, বৈদ্যুতিক চৌম্বকীয়তা, ইলাস্টোডায়নামিক্স, কোয়ান্টাম মেকানিক্সগুলিতে কেউ এর মতো সমস্যা অর্জন করতে পারে। $\mathcal{L}$

আমি জানি যে কেউ বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে অপারেটরকে বিচক্ষণ করতে পারে, যেমন, সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতিগুলি অর্জন করতে to

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

বা ব্যবহার করতে, সীমাবদ্ধ এলিমেন্ট পদ্ধতিগুলি পেতে

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

একটি ক্ষেত্রে ইগেনুয়ালু সমস্যা এবং অন্যটিতে জেনারেলাইজড ইগেনুয়ালু সমস্যা হচ্ছে । সমস্যার স্বতন্ত্র সংস্করণ পাওয়ার পরে কেউ ইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য সলভার ব্যবহার করে।

কিছু চিন্তা

এই ক্ষেত্রে উত্পাদিত সমাধানগুলির পদ্ধতি কার্যকর নয় কারণ সমীকরণের ভারসাম্য রক্ষার জন্য কোনও উত্সের পদ নেই।
যে কেউ ম্যাট্রিকগুলি তা যাচাই করতে পারে $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
পরিবর্তে

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
তবে এটি সমাধানকারী সমস্যাগুলি পরীক্ষা করবে না।
হতে পারে, কেউ এফইএম এবং এফডিএম এর মতো বিভিন্ন পদ্ধতির সমাধানের তুলনা করতে পারে।

প্রশ্ন

এনিজালুয়েজ সমস্যার জন্য এফইএম এবং এফডিএম এর মতো সংখ্যাগত পদ্ধতির কারণে বিবেচনামূলক স্কিমগুলির জন্য সমাধানগুলি (ইগেনভ্যালু-ইগেনভেেক্টর জোড়া) যাচাই করার উপায় কী?

— নিকোগুয়ারো
সূত্র

আপনি পরিচিত ফলাফলগুলির (স্কয়ার, কিউব, সার্কেল, গোলক) জন্য বর্ণালির সাথে তুলনা করতে পারবেন? আপনি যথাযথ নীতিমালাগুলিতে ইগেনভেেক্টর এবং ইগেনভ্যালুগুলির জন্য প্রত্যাশিত কনভার্জেনশন রেটও রয়েছে যা আপনি যাচাই করতে পারেন (যদিও এই হারগুলি ফ্রিকোয়েন্সি অনুসারে পরিবর্তিত হতে থাকে - জার্নালস.কমব্রিজ.আর.অ্যাভিশন /… দেখুন )

— জেসি চ্যান

হ্যাঁ, আপনি বিশ্লেষণাত্মক সমাধানগুলির সাথে তুলনা করতে পারেন। তবে সাধারণত এগুলি সত্যিই সাধারণ ক্ষেত্রে সরবরাহ করা হয়। প্রশ্নটি যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি কীভাবে করবেন। পদ্ধতির সাথে অনুরূপ কিছু থাকলে ওহ উত্পাদিত সমাধান। বা যদি আপনার বিশ্লেষণাত্মক সমাধানগুলির সাথে অন্যান্য সমস্যার জন্য এই পদ্ধতিটি একত্রিত করা উচিত।

— নিকোগুয়ারো

একটি মাত্রায়, যদি আপনি কাঙ্ক্ষিত দিয়ে শুরু করেন এবং , আপনি চেষ্টা করতে পারেন, যদি এ জাতীয় বিদ্যমান থাকে , এবং তারপরে । আমার ধারণা, এটি এর প্রতিসাম্য এবং অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলিকে করতে পারে I এখানে এবং রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র হওয়া উচিত এবং একই বিন্দুতে বিলীন হতে পারে না।

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$

— কিরিল

@ জেসেচান, প্রস্তাবিত পড়ার জন্য ধন্যবাদ। আমার কিছুটা সময় লেগেছে তবে আমি এটি পড়েছি। আমি মনে করি না যে তারা কাঙ্ক্ষিত উদ্দেশ্যে পর্যাপ্ত তথ্য সরবরাহ করে।

— নিকোগুয়ারো

আমি নিশ্চিত হতে চাই যে আমি আপনাকে সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি। আপনি কি জানতে চান কীভাবে পৃথক অপারেটরের (গণতন্ত্র বা ম্যাট্রিক্স) গণিত ইগনপেইস এবং মসৃণ অপারেটরের জন্য সংশ্লিষ্ট ইগনপায়েরের মধ্যবর্তী দূরত্বটি নির্ধারণ করতে পারেন ? বা আপনি কি এখন চান কীভাবে নির্ভুলতা নির্ধারণ করতে পারবেন যার মাধ্যমে আপনি একটি পৃথক ইগ্যালভ্যালু সমস্যা সমাধান করেছেন?

— কার্ল খ্রিস্টান

উত্তর:

আমি বুঝতে পারি এই প্রশ্নটি পুরানো, তবে আমি এটি দেখেছি এবং এটি আকর্ষণীয় বোধ করি। অতীতে, আমি এই প্রশ্নের মন্তব্যে প্রাপ্ত পরামর্শগুলি অনুসরণ করেছি, এর সাথে মিলিয়ে আরও কিছু জটিল বিষয় যা আমি সাহিত্যের সাথে পরিচিত (অর - সোমারফিল্ড সর্বদা কার্যকর)।

যাইহোক, আমি উত্পাদিত সমাধান নির্মাণের সময় উদ্ভূত অহমজাতীয় আইজভ্যালু সমস্যাগুলির কিছু সাহিত্যের সম্পর্কেও অবগত। এখানে এই জাতীয় সমস্যাগুলি সম্পর্কে কিছু আলোচনা রয়েছে: ডিওআই: 10.1016 । এই লেখকরা এই সমস্যাটিকে পুরোপুরি এড়াতে একটি তথাকথিত পদ্ধতিযুক্ত উত্পাদিত ক্রস বিভাগগুলি (এমএক্সএস, আমি অনুমান) করার পরামর্শও দিয়েছিলেন, যা আমি এই মুহুর্তে বোঝার ভান করব না তবে এটি খুব কার্যকর হতে পারে।

— স্পেন্সার ব্রায়ঞ্জেলসন
সূত্র

তারা "অন্তঃসত্ত্বা ইজিনাল্যু সমস্যা" হিসাবে যা প্রস্তাব দেয় তা হ'ল আমি আমার মূল পোস্টে প্রস্তাব করি। যদিও আমি এখনও প্রস্তুতকৃত ক্রস বিভাগগুলির পদ্ধতিটি বোঝার চেষ্টা করছি।

— nicoguaro

আমি বুঝতে পেরেছি যে, এই জাতীয় সমস্যার জন্য কিছু সাহিত্যের উপস্থিতি রয়েছে যাতে আপনি পরামর্শ দিয়েছিলেন যে এটি কোনও মৃত পরিণতি নাও হতে পারে: "সমীকরণের ভারসাম্য বজায় রাখার কোনও উত্সের শব্দ নেই বলে এই ক্ষেত্রে উত্পাদনযুক্ত সমাধান কার্যকর হয় না।"

— স্পেন্সার ব্রায়ঞ্জেলসন

এটি আপনার পোস্টের সমালোচনা নয়। পুরোপুরি বিপরীত! আলোচনার প্রচারের জন্য রেফারেন্স পড়ার পরে আমি যা পেয়েছি তা কেবল মন্তব্য করছি।

— নিকোগুয়ারো

দ্বিতীয়-ক্রমের ডেরাইভেটিভের জন্য (এবং সাধারণ ডোমেনগুলিতে ল্যাপ্লাসিয়ান), বিচ্ছিন্ন ইগেনপেইসের (অর্থাত্ বিবেচনার পরে) এক্সপ্রেশন পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, সসীম-পার্থক্যের জন্য, ইগনপেইসগুলি এখানে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে ।

সীমাবদ্ধ-উপাদান বিবেচনার সাথে ইগেনপায়েরগুলির জন্য প্রকাশ একইভাবে পাওয়া যায় (পি 1 এবং পি 2 বিচক্ষণতার জন্য)।

— user7440
সূত্র