রেভিয়ার্ট-থমাস উপাদানগুলি রেফারেন্স স্কোয়ারে

আমি রবিয়ার্ট-টমাস (আরটি) উপাদান কীভাবে কাজ করে তা শিখতে চাই। সে লক্ষ্যে আমি বিশ্লেষণাত্মকভাবে বর্ণনা করতে চাই যে রেফারেন্স স্কোয়ারের ভিত্তি ফাংশনগুলি কীভাবে দেখায়। এখানে লক্ষ্যটি নিজেকে বাস্তবায়ন করা নয়, কেবলমাত্র উপাদানটির একটি স্বজ্ঞাত জ্ঞান পাওয়ার জন্য।

আমি এখানে মূলত এখানে আলোচনা করা ত্রিভুজাকার উপাদানগুলির বাইরে এই কাজটির ভিত্তি করছি , সম্ভবত এটি চতুর্ভুজগুলিতে প্রসারিত করা নিজেই একটি ভুল।

এটি বলেছিল, আমি প্রথম আরকে উপাদান আরকে 0 এর ভিত্তি ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

জন্য

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

এর শর্তগুলি : $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

যেখানে নীচে প্রদর্শিত একক হিসাবে সাধারণ, এবং এর স্থানাংক। $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

এটি হল রেফারেন্স স্কোয়ার , সুতরাং এটি প্রতিটি ভিত্তি ফাংশনের জন্য সমীকরণের একটি সিস্টেমকে নিয়ে যায়। জন্য এটি: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

যা দিতে সমাধান করা যেতে পারে:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

অন্যান্য বেস ফাংশন একইভাবে পাওয়া যাবে।

এটি সঠিক বলে ধরে নিলে, পরবর্তী পদক্ষেপটি আরকে 1 এর জন্য ভিত্তি ফাংশনগুলি সন্ধান করা। এখানেই আমি নিজেকে সম্পর্কে কিছুটা অনিশ্চিত হয়ে যাচ্ছি। উপরের লিঙ্ক অনুসারে, আমাদের আগ্রহী স্থানটি হ'ল:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

ভিত্তি হবে $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

আমি মনে করি এর অর্থ আরকে 1 ভিত্তিক ফাংশনগুলির ফর্মটি নেওয়া উচিত:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

এটি প্রতিটি ভিত্তি ফাংশনের জন্য 10 অজানা ছেড়ে যায়। যদি আমরা আর কে0 কেসের মতো একই শর্ত প্রয়োগ করি, যথা:

, যেখানে একক হিসাবে নীচে দেখানো হয়েছে:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

এটি আমাদের 8 সমীকরণ দেয়। আমার মনে হয় অন্যান্য 2 টি কিছু মুহুর্ত থেকে পাওয়া যাবে। আমি ঠিক কিভাবে ঠিক জানি না। উপরের লিঙ্কটি ভিত্তির সাথে সংহত করার কথা বলে , তবে এর অর্থ কী তা বোঝার জন্য আমার সমস্যা হচ্ছে। আমি কি সঠিক পথে রয়েছি, বা আমি এখানে পুরোপুরি কিছু মিস করেছি? $[P_1]^2$

pde finite-element

— লুকাস বাইস্ট্রিকি
সূত্র

সাধারণভাবে, আপনি কেবল একই বহুত্বীয় ভিত্তিকে টেট্রহেড্রাল থেকে চতুর্ভুজ উপাদানগুলিতে স্থানান্তর করতে পারবেন না। ¹ বিশেষত, চতুর্ভুজ উপাদানগুলির পুরো বিন্দুটি এক-মাত্রিক বহুবর্ষের টেনসর পণ্যগুলির সাথে কাজ করা, যা তেট্রহেড্রাল উপাদানগুলির পক্ষে সম্ভব নয়।

$RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— খ্রিস্টান ক্লাসন
সূত্র

আপনার উত্তরের জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, আপনি অবশ্যই এটিতে প্রচুর প্রচেষ্টা করেছেন। আমি মনে করি এটি আমার অনেক ভুল ধারণা পরিষ্কার করে দেয়।

— লুকাস বাইস্ট্রিকি

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

ভাল লাগছে আপনি এটি সহায়ক বলে চিহ্নিত করেছেন; আপনার প্রশ্নটি আকর্ষণীয় এবং আপনি পাশাপাশি প্রচুর প্রচেষ্টা ব্যয় করেছেন। কমপ্যাক্ট সমর্থনটি এসেছে যে বহুবর্ষগুলি কেবলমাত্র রেফারেন্স উপাদানের উপর সংজ্ঞায়িত হয় - মনে করুন যে রবিয়ার্ট-থমাস হ এইচ (ডিভি) -রূপীকরণকারী উপাদান, এবং সুতরাং বিশ্বব্যাপী সসীম উপাদান স্পেসে ক্রিয়াকলাপগুলি অবিচ্ছিন্ন হওয়ার দরকার নেই।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

প্রকৃতপক্ষে, এটি কেবল স্বাধীনতার অভ্যন্তরীণ ডিগ্রিগুলির সাথে সংযুক্ত বেস ফাংশনগুলির জন্য সত্য: স্বাধীনতার প্রান্ত ডিগ্রিগুলির সাথে সংযুক্ত (বৈশ্বিক) ভিত্তিক ফাংশনগুলির প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত দুটি উপাদানগুলির (কেবল) সমর্থন রয়েছে; অন্য প্রতিটি উপাদানগুলিতে সেগুলি শূন্যে সেট করা থাকে।

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন

প্রকৃতপক্ষে: প্রান্ত উপাদানগুলির জন্য কেবল সাধারণ ট্রেসটি অবিচ্ছিন্ন হতে হবে, বহুবর্ষ নিজেই নয়, এমনকি সমর্থনটি না বাড়িয়ে স্বয়ংক্রিয়ভাবে যত্ন নেওয়া উচিত। গ্লোবাল রবিয়ার্ট-টমাস স্পেস সম্পর্কে আপনার যদি আরও বিশদ প্রয়োজন হয় তবে আমি আপনাকে আপনার প্রশ্নটি প্রসারিত করার পরামর্শ দিচ্ছি, এবং আমি আমার উত্তরটি প্রসারিত করার চেষ্টা করব।

— খ্রিস্টান ক্লাসন