অ্যাডভেশন সমীকরণের জন্য অন্তর্নিহিত সীমাবদ্ধ পার্থক্য স্কিম

Question

অ্যাডভেকশন সমীকরণের জন্য অসংখ্য এফডি স্কিম রয়েছে ওয়েবে আলোচনা করুন। উদাহরণস্বরূপ এখানে: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

তবে আমি এইরকম কোনও "অন্তর্নিহিত" upwind স্কিমের প্রস্তাব কাউকে দেখিনি: ।$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

আমি যে সমস্ত আপ-স্কিন স্কিম দেখেছি সেগুলি স্পেসিয়াল ডেরাইভেটিভের পূর্ববর্তী সময়-ধাপের ডেটা নিয়ে কাজ করে। এর কারণ কী? ক্লাসিকাল আপুইন্ড স্কিমটি আমি উপরে যেভাবে লিখেছি তার সাথে কীভাবে তুলনা করা যায়?

Answer 1

আপনার প্রস্তাবের অনুরূপ অন্তর্নিহিত স্কিমগুলি ব্যবহার করা গণনা তরল গতিবিদ্যায় বেশ সাধারণ। বেশী আমি জানি কম্প্যাক্ট সসীম পার্থক্য সূত্র উপর ভিত্তি করে (কেবল না প্রতিস্থাপন উপর সঙ্গে এন + + 1 বিদ্যমান স্কিম)। উদাহরণস্বরূপ, সর্বাধিক ব্যবহৃত স্কিমগুলির মধ্যে একটি লেলে 1992 সালে এই কাগজে > 2500 উদ্ধৃতি দিয়ে তৈরি করেছিলেন। এ জাতীয় প্রকল্পগুলি স্পষ্টত স্পষ্ট স্কিমগুলির চেয়ে আরও ভাল বিতরণকারী বৈশিষ্ট্যযুক্ত হতে পারে।$n$$n+1$

অন্তর্নিহিত পদ্ধতি এবং বৃহত সময়ের ধাপের আকারগুলি ব্যবহার করার সময় আপুইন্ডিং সাধারণত কম গুরুত্বপূর্ণ, কারণ বিপুল পরিমাণে ছড়িয়ে পড়া (জেরেমির দ্বারা উল্লেখ করা) মানে আপনি যে কোনওভাবেই শকগুলি সমাধান করতে পারবেন না।

আপনার প্রস্তাবিত বিশেষ প্রকল্প সম্পর্কিত:

• এটি স্থানের পিছনের পার্থক্য এবং সময়ের সাথে পিছনে (অন্তর্নিহিত) ইউলারের পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি পদ্ধতি-লাইন বিচ্ছিন্নতা থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে।
• এটা দীর্ঘ হিসাবে নিঃশর্তভাবে স্থিতিশীল যেমন (মজার ব্যাপার, এটি জন্য স্থিতিশীল এর U < 0 যদি সময় পদক্ষেপ খুব নয় ছোট$u\ge0$$u<0$ !)
• এটি traditionalতিহ্যবাহী সুস্পষ্ট upwind স্কিমের চেয়ে বেশি ক্ষয়কারী।
• সুস্পষ্ট upwind স্কিমের বিপরীতে, এটি ইউনিট সিএফএল শর্তটি পূরণ করে না (যেমন, এটি ক্ষেত্রে সঠিক নয় )। পরিবর্তে এটি বিরোধী ইউনিট সিএফএল শর্তটি পূরণ করে (এটি ঠিক যদি τ u / h = - 1 হয় )।$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

Comments

কমপ্যাক্ট স্কিমগুলি সম্পর্কে ভাল কথা, এগুলি অবশ্যই অন্তর্নিহিত প্রকল্পগুলির একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণি! এছাড়াও, অ্যান্টি-ইউনিট সিএফএল পরিস্থিতি এবং পিছিয়ে থাকা ইউলারের সঠিক হওয়ার বিষয়ে কখনও ভাবি নি ...

— জেরেমি কোজডন

$u$$x$$\rho$$T$

এটি যদি নেতিবাচক বেগের চিকিত্সা করতে পারে তবে এটি ভাল, কারণ এটি আমার সমস্যার ক্ষেত্রে হতে পারে।

— tiam

Answer 2

আপনি যা লিখেছেন তা করতে পারবেন না এমন কোনও কারণ নেই। এটি অস্বাভাবিক হওয়ার কারণগুলির মধ্যে একটি হ'ল হাইপারবোলিক (অ্যাডভেকশন) ধরণের সমস্যার জন্য নির্ভরতার ডোমেন সীমাবদ্ধ। সুতরাং একটি স্পষ্ট পদ্ধতি একটি গণনামূলক দক্ষতার অবস্থান থেকে বোঝা যায়।

আপনার লিখিত অন্তর্নিহিত স্কিমের জন্য একটি ত্রিভুজাকৃতির লিখেছেন এবং এইভাবে সমাধান করা মোটামুটি সহজ হলেও, এটি একটি রৈখিক সিস্টেম সমাধান করা প্রয়োজন। অবশ্যই আপনি যখন সিস্টেমে এবং একাধিক মাত্রায় যান, সিস্টেম সম্ভবত ত্রিভুজাকার হতে পারে না, যদিও কখনও কখনও এটি আপনার অজানা সম্পর্কিত যথাযথ অর্ডারের ফলাফল হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ কোকক এবং টেলেপি, জেসিপি 2007 এবং গুস্তাফসন এবং খালিঘি, জেএসসি, 2006) )।

কখনও কখনও বড় আকারের পদক্ষেপ নেওয়ার আশায় লোকেরা আপনার লেখার মতো অন্তর্নিহিত সময় পদক্ষেপটি ব্যবহার করবে তবে আপনাকে অবশ্যই এখানে সতর্ক থাকতে হবে। একটি অন্তর্নিহিত পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, আপনি প্রচুর পরিমাণে প্রসারণ প্রবর্তন করবেন এভাবে আপনি আপনার সমাধানটি উল্লেখযোগ্যভাবে প্রকাশ করতে পারবেন।

Comments

@ জেরেমি: সময়কালে নিখুঁত বিচক্ষণতা অতিরিক্ত বিস্তারের পরিচয় দেয় কেন? ভিতরে$x$-variable? আমি কেবল এটিই ভাবতে পারি যে upwind স্কিম = কেন্দ্রীয় বিচক্ষণতা + প্রসার, সুতরাং কেন বিভিন্ন সময় বিবেচনার ফলে এই বিস্তারে প্রভাব ফেলবে?

— কামিল