এফইএম-তে, কেন কঠোরতার ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট?

Question

এফইএম ক্লাসে, সাধারণত এটাকে বিবেচনা করা হয় যে কঠোরতা ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট, তবে কেন আমি তা বুঝতে পারি না। কেউ কি কিছু ব্যাখ্যা দিতে পারে?

উদাহরণস্বরূপ, আমরা পোইসন সমস্যাটি বিবেচনা করতে পারি: যার কঠোরতা ম্যাট্রিক্স: যা প্রতিসম এবং ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট। প্রতিসাম্য একটি সুস্পষ্ট সম্পত্তি, তবে ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা আমার কাছে এতটা স্পষ্ট নয়।

$$-\nabla^2 u = f,$$ $$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$$

Comments

এটি আসলে আপনি সমাধান করার চেষ্টা করছেন আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের উপর নির্ভর করে। আপনি আগ্রহী একটি যুক্ত করতে পারেন?

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন

হাই, @ ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসন, আপনার মন্তব্যের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আমি এই সমস্যার একটি দৃ concrete় উদাহরণ যুক্ত করেছি।

— ব্যবহারকারী 123

ক্যাভেট: সীমানা শর্ত ছাড়াই, উপাদান ম্যাট্রিকগুলি থেকে একত্রিত হয়ে সম্পূর্ণ সিস্টেমের দৃff়তা ম্যাট্রিক্সের পূর্ণ পদ নেই, কারণ এটি কঠোর দেহের গতি শূন্য বাহিনীর সমতুল্য ম্যাপ করতে হবে। সুতরাং সম্পূর্ণ কঠোরতা ম্যাট্রিক্স সর্বোত্তম পজিটিভ সেমাইডাইফিনেট হতে পারে। যথাযথ সীমানা শর্তের সাথে, কড়া দেহের গতিগুলি অক্ষম করা হয়, এবং সীমাবদ্ধ সিস্টেমটি তখন অগণিত হয়। (অন্যথায় কেউ এটি সমাধান করতে পারেনি)। অতএব, প্রকৃত ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা পেতে, আপনাকে সীমানা শর্ত প্রয়োগের ফলে ঘনীভূত ম্যাট্রিক্সটি দেখতে হবে।

— ccorn

Answer 1

আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সম্পত্তি সম্পর্কিত সম্পত্তিটি অনুসরণ করে; এটি সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির তুলনায় যেমন সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতিগুলির অন্যতম সুবিধা।

এটি দেখতে, প্রথমে মনে রাখবেন যে সসীম উপাদান পদ্ধতিটি পোসন সমীকরণের দুর্বল রূপ থেকে শুরু হয় (আমি এখানে ডিরিচলেট সীমানা শর্ত ধরে নিচ্ছি): আপনার যেমন এখানে গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি হ'ল (এটি পইনকারির অসমতা থেকে অনুসরণ করে follows)$u\in H^1_0(\Omega)$

$$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$$ $$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$$

এখন ধ্রুপদী সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির সীমিত মাত্রার -স্থান দ্বারা অসীম-মাত্রিক স্থান প্রতিস্থাপন এবং যাতে here এখানে গুরুত্বপূর্ণ সম্পত্তি is আপনি একই ব্যবহার করছেন এবং একটি subspace (ক অনুসারী discretization); এর অর্থ এই যে আপনার এখনও $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$$u_h\in V_h$

$$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$$ $a$$V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$$

এখন শেষ ধাপে জন্য: রৈখিক সমীকরণ একটি সিস্টেম, আপনি একটি ভিত্তি বাছাই ভেরিয়েশনাল ফর্ম রুপান্তর এর , লেখ এবং সন্নিবেশ , মধ্যে । ম্যাট্রিক্স পরে (যা আপনি লিখেছেন তার সাথে মিলে যায়$\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$$V_h$$u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$$v_h=\varphi_j$$1\leq j\leq N$$(2)$$K$$K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

এখন একটি নির্বিচারে ভেক্টর নিন এবং সেট করুন । তারপর আমরা দ্বারা আছে এবং bilinearity (অর্থাত, আপনি উভয় আর্গুমেন্ট মধ্যে scalars এবং অঙ্কের স্থানান্তর করতে পারেন) যেহেতু নির্বিচারে ছিল, এর দ্বারা বোঝা যায় যে ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট।$\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$$v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$$(3)$$a$

$$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$$ $\vec v$$K$

টিএল; ডিআর: দৃ mat়তা ম্যাট্রিক্স ইতিবাচক সুনিশ্চিত কারণ এটি একটি (স্ব-স্থগিত) উপবৃত্তাকার আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অনুকরণীয় বিবেচনা থেকে আসে ।

Answer 2

যদি উপাদানটির কঠোরতা ইতিবাচক না হয় তবে সিস্টেমটি স্থিতিশীল নয়। সুতরাং মডেলটি সম্ভবত সঠিক নয়। সুরেলা দোলকের সবচেয়ে প্রাথমিক সমীকরণটি দেখুন

$$m x''(t) + k x(t) = f(t)$$

নেতিবাচক হলে সমাধানটি অস্থির হয় (চরিত্রগত সমীকরণের শিকড়গুলি দেখুন)। এর অর্থ সমাধানটি ফুরিয়ে যাবে। কঠোরতা একটি পুনরুদ্ধার শক্তি হতে হবে। কমপক্ষে শারীরিক বসন্তের জন্য। কঠোরতা ম্যাট্রিক্স এটিকে বিশাল সংখ্যক উপাদানগুলিতে (গ্লোবাল স্টিফনেস ম্যাট্রিক্স) পর্যন্ত প্রসারিত করে। এটাই সব। তবে এটি একই বেসিক ধারণা। কাঠামোগত বিশ্লেষণের জন্য এফইএম ভিত্তিতে কঠোরতা ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে যেখানে প্রতিটি উপাদানটির সাথে এটির সাথে দৃ a়তা যুক্ত থাকে।$k$