শক্তিশালী বনাম পিডিইগুলির দুর্বল সমাধান

PDE এর শক্তিশালী ফর্মটির জন্য প্রয়োজন যে অজানা সমাধানটি । তবে দুর্বল ফর্মটির জন্য কেবল অজানা সমাধান অন্তর্গত । $H^2$ $H^1$

আপনি কীভাবে এই মিলন করবেন?

pde weak-solution

— মোহাম্মদ চাদ্দাদি
সূত্র

দুর্বল সমাধানের শ্রেণি শক্তিশালী সমাধানগুলির শ্রেণীর চেয়ে বড় (প্রতিটি শক্তিশালী সমাধানটিও একটি দুর্বল সমাধান, তবে প্রতিটি দুর্বল সমাধানও একটি শক্তিশালী সমাধান নয়)।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

তবে এর একটাই সমাধান রয়েছে।

— মোহাম্মদ চাদ্দাদি

প্রতিটি (উপযুক্ত) ডান হাতের কার্যকারিতা বা (উপযুক্ত) সীমানা অবস্থার সেট করার জন্য একটি সমাধান রয়েছে। উপযুক্ত আরএইচএস বা বিসি-র স্থানগুলি শক্তিশালীগুলির চেয়ে দুর্বল সমাধানের জন্য বড়।

— বিল বার্থ

পয়সন এর সমীকরণ সহজ ক্ষেত্রে এ আসুন বর্ণন

\begin{matrix} (1) & - Δ u = f \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$ কোনো ডোমেনে

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$ একসঙ্গে সজাতি Dirichlet অবস্থার সঙ্গে

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$ সীমানা উপর

\partial Ω

$\partial\Omega$ এর

Ω

$\Omega$ । আমরা এখন জন্য অনুমান যে

\partial Ω

$\partial\Omega$ যত আমরা চাই (যেমন, একটি দ্বারা parametrized যাবে মসৃণ

C^{\infty}

$C^\infty$ ফাংশন) - পরে গুরুত্বপূর্ণ হবে।

এখন প্রশ্নটি হল কিভাবে (খাঁটি ফর্মাল) পিডিই $(1)$ । সাধারণত, কিভাবে এই ব্যুৎপন্ন ব্যাখ্যা করা পরিপ্রেক্ষিতে উত্তর $\Delta$ , কিন্তু আমাদের উদ্দেশ্যে এটি উত্তম ব্যাখ্যা কিভাবে উপর ফোকাস করার সমীকরণ ।

PDE $(1)$ হোল্ড অধিকৃত হয় যে জন্য pointwise $x\in\Omega$ । এই জানার জন্য জন্য, ডান দিকে $f$ একটানা হতে হবে, অন্যথায় আমরা pointwise মান সম্পর্কে কথা বলতে পারে না $f(x)$ । এই উপায়ে সমাধান দ্বিতীয় (শাস্ত্রীয়) ডেরাইভেটিভস যে $u$ একটানা হতে হবে, অর্থাত, আমরা জন্য সন্ধান আছে $u\in C^2(\Omega)$ ।

একটি ফাংশন $u\in C^2(\Omega)$ মাফিক $(1)$ সীমানা শর্তের সাথে একত্রে $(2)$ পয়েন্টওয়াইসাসকে একটি শাস্ত্রীয় সমাধান (কখনও কখনও, দুর্ভাগ্যক্রমে, দৃ strong় সমাধান )ও বলা হয়।
$f$ ক্রমাগত যে প্রয়োজনীয়তা ব্যবহারিক অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য অনেক বেশি সীমাবদ্ধ। যদি আমরা কেবল $(1)$ প্রায় প্রতিটি $x\in \Omega$ (যেমন, লেবেসগু পরিমাপ শূন্যের সেট ব্যতীত সর্বত্র জন্য পয়েন্টওয়াইস ধরে রাখি তবে আমরা $f\in L^2(\Omega)$ দিয়ে দূরে যেতে পারি । এর অর্থ হ'ল দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভগুলি $L^2$ ফাংশনগুলি রয়েছে , যার অর্থ যদি আমরা দুর্বল ডেরিভেটিভস গ্রহণ করি এবং তাই $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ । (মনে রাখবেন যে কাজগুলির জন্য $u$ যে একটানা নয়, আমরা সীমানা শর্ত গ্রহণ করতে পারেন $(2)$ pointwise। যেহেতু $\partial \Omega$ শূন্য Lebesgue পরিমাপ একটি উপসেট যেমন হয়েছে $\bar\Omega$ , pointwise প্রায় সর্বত্র অর্থে দেখা যায় না পারেন।)

একটি ফাংশন $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ যা প্রায় $(1)$ পয়েন্টওয়াস্তেসন্তুষ্ট করেতাকে প্রায়শক্তিশালী সমাধান বলে। মনে রাখবেন যে এই জাতীয় সমাধান বিদ্যমান এবং অনন্য (এটি উদাহরণস্বরূপ ক্ষেত্রে এটি) এটি প্রদর্শন করার জন্য এটি সাধারণভাবে প্রয়োজনীয় এবং তুচ্ছ নয়।
$f$ $(1)$ $H^{-1}(\Omega)$ $H^1_0(\Omega)$ $f\in H^{-1}(\Omega)$ $L^2(\Omega)$ $(1)$
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) d x = \int_{Ω} f (x) v (x) d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
$u\in H^1_0(\Omega)$ $(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

$(3)$ $u\in H^2(\Omega)$ $f\in L^2(\Omega)$ $H^{-1}(\Omega)$ $n=2$ $H^2(\Omega)$ $C(\bar\Omega)$ $\partial\Omega$
$f\in L^2(\Omega)$
$H^1_0(\Omega)$ $H^2(\Omega)$ , বা আরও জটিল, অবৈধ, সমীকরণ; দেখুন, যেমন, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ ।)

— খ্রিস্টান ক্লাসন
সূত্র

আমি এই উত্তরটি সত্যিই দরকারী বলে মনে করেছি। আপনি কি আপনার উত্তরের শেষ অংশের একটি রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারেন? আমি একটি উদাহরণ দেখতে চাই যেখানে পিডিইর একটি অনন্য শক্তিশালী সমাধান রয়েছে তবে একাধিক দুর্বল সমাধানের অনুমতি দেয়। ধন্যবাদ!

— আনয়ন