একটি একক রৈখিক ODE এর ইগেনসিস্টেম সন্ধানের জন্য সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতির যথার্থতা আপনি কীভাবে উন্নত করবেন?

Question

আমি এই ধরণের একটি সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করছি:

$\left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x)$

ক্ষুদ্রতম ইগ্যালভ্যালু এবং ইগেনভেেক্টরগুলির জন্য যেখানে এর তে একটি সাধারণ মেরু রয়েছে । সীমানা শর্তগুলি: এবং , এবং আমি কেবল ফাংশনটি দেখছি ।$f(x)$$0$$N$$\psi(0) = 0$$\psi(R)=0$$(0,R]$

তবে, আমি যদি খুব সাধারণ, সমান দূরত্বে সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতিটি করি তবে ক্ষুদ্রতম এগেনুয়ালুটি খুব সঠিক নয়, (কখনও কখনও এমন একটি "ভুয়া" ইগ্যালুয়ালু থাকে যা আমি জানি তার চেয়ে বেশি নেতিবাচকতার কয়েকটি অর্ডার রয়েছে, সেখানে আসল হওয়া উচিত "প্রথম ইগন্যাল্যু" দ্বিতীয় হয়, তবে এখনও এটি দুর্বল)।

এ জাতীয় সীমাবদ্ধ পার্থক্য প্রকল্পের যথার্থতা কী প্রভাবিত করে? আমি ধরে নিয়েছি যে একাকীত্বই সমস্যা সৃষ্টি করছে, এবং একটি অসম ফাঁকা গ্রিড জিনিসগুলিকে উল্লেখযোগ্যভাবে উন্নতি করবে, এমন কোনও কাগজপত্র রয়েছে যা আমাকে ভাল অ-ইউনিফর্ম সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতির দিকে নির্দেশ করতে পারে? তবে সম্ভবত কোনও উচ্চতর অর্ডার ডিফারেন্স স্কিম আরও উন্নত করবে? আপনি কীভাবে সিদ্ধান্ত নেবেন (বা এটি কেবল "উভয় চেষ্টা করে দেখুন")

দ্রষ্টব্য: আমার সসীম পার্থক্য স্কিমটি প্রতিসম ত্রিভুজাকৃতির যেখানে 3 টি কর্ণ রয়েছে:

$\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, \; \frac{1}{\Delta^2} - f(x), \; -\frac{1}{2 \Delta^2} \right)$

যেখানে হ'ল গ্রিড ব্যবধান। এবং আমি প্রত্যক্ষ প্রতিসাম্পিক দ্রাবক ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্স সমাধান করছি (আমি ধরে নিচ্ছি যে সমাধানকারীর দ্বারা নির্ভুলতা মারাত্মকভাবে প্রভাবিত হয় না, আমি কি ভুল?)$\Delta$

Comments

আপনার সসীম বিভিন্ন স্টেনসিল মাঝখানে শব্দটি হওয়া উচিত পরিবর্তে? $\frac{1}{\Delta^2}-f(x)$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

Answer 1

আপনি যদি সীমাবদ্ধ পার্থক্য প্রকল্পের যথার্থতা বাড়াতে চান তবে আপনি সর্বদা আপনার স্টেনসিলের ডিগ্রি বাড়ানোর চেষ্টা করতে পারেন। ন্যায়সঙ্গত পয়েন্টগুলিতে, যদিও এটি সংখ্যাসূচক প্রতিবন্ধকতা তৈরি করতে পারে। এই সমস্যাগুলি এড়াতে এবং এখনও উচ্চ নির্ভুলতা পেতে, আমি বর্ণালী পদ্ধতি ব্যবহার করার পরামর্শ দেব ।

যদি আপনার সমস্যার স্থির মেরু থাকে তবে আপনি নিজের ডোমেনকে বিভক্ত করে এবং দুটি যুগল সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে এগুলির চারপাশে যাওয়ার চেষ্টা করতে পারেন।

Chebfun সিস্টেম (দাবি পরিত্যাগ: যা আমি ডেভেলপারদের একজন), উপরে উল্লিখিত কৌশল ব্যবহার করে এবং আপনি আপনার সমস্যা দ্রুত ঘূর্ণন দিতে পারে chebguiইন্টারফেস। আমি নিজে চেষ্টা করেছিলাম, তবে আপনার ডোমেন বা কী তা আমি জানি না ।$f(x)$

আমি একটি স্ক্রিনশট সংযুক্ত করেছি chebguiছয় eigenvalues এবং eigenmodes কম্পিউটিং-এর জন্য উইন্ডো উপর [ - 1 , 1 ] ।$-u''(x) - u(x)x = \lambda u$$[-1,1]$

হালনাগাদ

আপনি যদি চেবফুনের খুব বেশি না গিয়ে এই সমস্যাটি সমাধান করতে চান তবে সমস্ত বিবরণ নিক ট্রাফথেনের বই "মাতালাবের বর্ণালী পদ্ধতি " বইয়ের 9 তম অধ্যায়ে হওয়া উচিত ।

Comments

আমি আমার আসল পোস্টটি সম্পাদনা করে এটিকে পরিষ্কার করেছিলাম যে আমি আসলে পোলের দিকে দেখছি না, এর খুব কাছেই। তথ্যের জন্য ধন্যবাদ, আমাকে চেবফুন পরীক্ষা করে দেখতে হবে।

— অ্যান্ড্রু স্পট

কোন মন্তব্য না করে ভোট দিয়েছেন? দয়া করে, সকলের সুবিধার্থে, আপনি কীভাবে উত্তরটি আরও উন্নত করতে পারেন তা উল্লেখ করতে পারেন?

— পেড্রো

Answer 2

$\Delta x$$f(x)\psi(x)$$f(x)$$f(x_i)$$\int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x) \varphi_i(x)$$\varphi_i(x)$$x_i$$f(x)$

অবশ্যই, আপনি যদি ইতিমধ্যে সীমাবদ্ধ উপাদানগুলি করেন, তবে আপনি উচ্চতর অর্ডার উপাদানগুলি ব্যবহার করতেও বিনিয়োগ করতে পারেন যা 1 ডি-তে খুব বেশি কঠিন নয়।