নিউটন-রাফসনের বাইরে অ-রৈখিক অ্যাডভেকশন-প্রসারণ সিস্টেমগুলি সমাধান করার পদ্ধতিগুলি?

আমি এমন একটি প্রকল্পে কাজ করছি যেখানে আমার নিজ নিজ উত্স শর্তাদির মাধ্যমে দুটি অ্যাড-ডিফ মিলিত ডোমেন রয়েছে (একটি ডোমেন ভর যোগ করে, অন্যজনকে বিয়োগ করে)। বংশবৃদ্ধির জন্য, আমি তাদের স্থির অবস্থায় মডেলিং করছি। সমীকরণগুলি হ'ল উত্স শর্তাবলীর সাথে আপনার মানক অ্যাডভেকশন-প্রসারণ পরিবহন সমীকরণ:

\frac{\partial c_{1}}{\partial t} = 0 = F_{1} + Q_{1} (c_{1}, c_{2}) \frac{\partial c_{2}}{\partial t} = 0 = F_{2} + Q_{2} (c_{1}, c_{2})

$\frac{\partial c_1}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_1 + \mathcal{Q}_1(c_1,c_2) \\ \frac{\partial c_2}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_2 + \mathcal{Q}_2(c_1,c_2)$

কোথায় $\mathcal{F}_i$ এটি প্রজাতির জন্য বিবিধ এবং অ্যাডভেটিভ ফ্লাক্স $i$ , এবং $\mathcal{Q}_i$ প্রজাতির জন্য উত্স শব্দ $i$ ।

আমি নিউটন-র‌্যাফসন পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আমার সমস্যার সমাধান করতে সক্ষম হয়েছি এবং ব্লক মাস ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে দুটি ডোমেন সম্পূর্ণরূপে মিলিয়েছি, যেমন:

F_{c o u p l e d} = [\begin{array}{cc} A_{1} & 0 \\ 0 & A_{2} \end{array}] \underset{x_{i}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} c_{1, i} \\ c_{2, i} \end{matrix}]}} - [\begin{matrix} b_{1} (c_{1, i}, c_{2, i}) \\ b_{2} (c_{1, i}, c_{2, i}) \end{matrix}]

$F_{coupled} = \left[\begin{array}{c c} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \\ \end{array}\right]\underbrace{ \left[\begin{array}{c} c_{1,i} \\ c_{2,i} \\ \end{array}\right] }_{x_i} - \left[\begin{array}{c} b_1(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ b_2(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ \end{array}\right]$

শব্দটি $F_{coupled}$ জ্যাকবীয় ম্যাট্রিক্স নির্ধারণ এবং উভয় আপডেট করতে ব্যবহৃত হয় $c_1$ এবং $c_2$ :

J (x_{i}) [x_{i + 1} - x_{i}] = - F_{c o u p l e d}

$\mathcal{J}(x_i) \left[x_{i+1} - x_i \right] = -\mathcal{F}_{coupled}$

অথবা

x_{i + 1} = x_{i} - {(J (x_{i}))}^{- 1} F_{c o u p l e d}

$x_{i+1} = x_i - \left(\mathcal{J}(x_i)\right)^{-1} \mathcal{F}_{coupled}$

জিনিসগুলির গতি বাড়ানোর জন্য, আমি প্রতিটি পুনরাবৃত্তিকে জ্যাকবিয়ান গণনা করি না - এই মুহূর্তে আমি প্রতি পাঁচটি পুনরাবৃত্তির সাথে খেলছি, যা দেখে মনে হচ্ছে যথেষ্ট ভাল কাজ করেছে এবং সমাধানটি অবিচ্ছিন্নভাবে বজায় রেখেছে।

সমস্যাটি হ'ল: আমি একটি বৃহত সিস্টেমে চলে যেতে যাচ্ছি যেখানে দুটি ডোমেন 2D / 2.5D তে রয়েছে এবং জ্যাকবীয় ম্যাট্রিক্স গণনা করা আমার কম্পিউটারে উপলব্ধ কম্পিউটার সংস্থানগুলি দ্রুত হ্রাস করতে চলেছে। আমি এই মডেলটি পরবর্তীতে অপ্টিমাইজেশন সেটিংয়ে ব্যবহার করার জন্য তৈরি করছি, তাই আমিও স্যাঁতসেঁতে ফ্যাক্টর ইত্যাদির সুরে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে চাকার পিছনে থাকতে পারি না ..

আমি কি আমার সমস্যার জন্য আরও শক্তিশালী এবং অ্যালগরিদমের জন্য অন্য কোথাও সন্ধান করা ঠিকই করছি, বা এটি যতটা পেয়েছে তেমন ভাল? আমি কোয়াসি-রৈখিককরণের দিকে কিছুটা নজর রেখেছি, তবে আমার সিস্টেমে এটি কতটা প্রযোজ্য তা নিশ্চিত নয়।

অন্য যে কোন স্মার্ট অ্যালগরিদম আমি মিস করেছি যে জ্যাকবিয়ানকে অফেন হিসাবে পুনরায় গণনা না করে অবলম্বনীয় সমীকরণের একটি সিস্টেমকে সমাধান করতে পারে?

— cbcoutinho
সূত্র

আপনি কি এএমজি - বীজগণিতযুক্ত মাল্টিগ্রিড পদ্ধতিগুলির মতো পুনরাবৃত্ত সমাধানকারীদের বিবেচনা করেছেন? আপনার পদার্থবিজ্ঞান ভিত্তিক ভাল পূর্বশর্তগুলি নিয়ে আসতে হবে।

— নেমরেকস

আপনি কি এমন কোনও কম্পিউটিং ক্লাস্টারে অ্যাক্সেস পেতে পারেন যেখানে আপনি সমান্তরাল লিনিয়ার বীজগণিত প্যাকেজ ব্যবহার করে জ্যাকবীয় গঠন এবং সমাধান বিতরণ করতে পারেন?

— বিল বার্থ

না, আমি এএমজি বিবেচনা করি নি, আমি ভেবেছিলাম সেগুলি কেবলমাত্র প্রতিসম সিস্টেমের জন্য এবং সংবহন-প্রভাবিত সমস্যায় ব্যবহার করা যায় না। আমি আবার এএমজির জন্য সাহিত্যে দেখব।

— cbcoutinho

সমান্তরাল গণনাগুলি কঠিন কারণ এই প্রকল্পটি এমন সহকর্মীদের জন্য একক প্রয়োগ হিসাবে বিকাশ করা হচ্ছে যাদের এই ধরণের সংস্থানগুলিতে অ্যাক্সেস নেই। আমি আমার নিজের জন্য প্রকল্পে এমপিআই বিকাশ বিবেচনা করেছি, তবে এটি অন্যের প্রবেশের বাধা বাড়িয়ে তুলবে, যা প্রথম স্থানে ছিল সম্পূর্ণ পয়েন্ট ..

— সিবিসিআউটিনহো

জ্যাকবীয়দের গণনা এত সমস্যাযুক্ত কেন? যদি আপনি সসীম পার্থক্য / ভলিউম / উপাদানগুলি ব্যবহার করে থাকেন তবে এর একটি বিচ্ছিন্ন অংশ থাকা উচিত যা সর্বদা একই এবং একটি তির্যক অংশ যা পরিবর্তিত হয় তবে গণনা করার ক্ষেত্রে তুচ্ছ।

— ডেভিড কেচসন

উত্তর:

আমি 2D এর সীমাবদ্ধতাটি ধরে নিচ্ছি এবং 3 ডি জ্যাকবিয়ানদের সংরক্ষণ করছে।

একটি বিকল্প হ'ল সময় ডেরাইভেটিভগুলি ধরে রাখা এবং স্থির অবস্থায় পুনরাবৃত্তি করতে একটি স্পষ্ট "সিউডো" সময়-পদক্ষেপ ব্যবহার করা use সাধারণত আপনার ছড়িয়ে পড়া এবং প্রতিক্রিয়াশীল সিস্টেমগুলির জন্য আপনার প্রয়োজন সিএফএল নম্বরটি খুব কমই পেতে পারে। আপনি একত্রিতকরণের গতি বাড়ানোর জন্য ননলাইনার মাল্টিগ্রিড (একে ফুল অ্যাক্সিমেশন স্টোরেজ মাল্টিগ্রিডও বলে) এবং স্থানীয় সময়-পদক্ষেপ চেষ্টা করতে পারেন।

অন্য বিকল্পটি হ'ল আপনি এখন যেমন করছেন তেমন একটি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত স্কিম ব্যবহার করুন তবে বৈশ্বিক জ্যাকবিয়ান সংরক্ষণ করবেন না। আপনি একটি ম্যাট্রিক্স-বিনামূল্যে অন্তর্নিহিত স্কিম ব্যবহার করতে পারেন।

D F (u^{n}) δ u^{n} = - F (u^{n})

$DF(u^n)\, \delta u^n = -F(u^n)$ (কোথায়

D F

$DF$ জ্যাকবীয় কি) জিআরআরইএস এবং বিসিজিস্ট্যাবের মতো ক্রিলোভ সাবস্পেস সলভারের সাথে এই সমস্যাটি সমাধান করে সমাধান করা যেতে পারে that

ডি এফ ({তোমার দর্শন লগ করা}^{এন}) δ তোমার দর্শন লগ করা \approx \frac{এফ ({তোমার দর্শন লগ করা}^{এন} + + ε \frac{δ তোমার দর্শন লগ করা}{‖ δ তোমার দর্শন লগ করা ‖}) - এফ ({তোমার দর্শন লগ করা}^{এন})}{ε} ।

$DF(u^n)\, \delta u \approx \frac{F(u^n+\epsilon\frac{\delta u}{\Vert\delta u\Vert}) - F(u^n)}{\epsilon}.$ এর কারণ হল GMRES এবং BiCGStab একটি LHS ম্যাট্রিক্স প্রয়োজন হয় না হয় তারা কেবল তার পণ্য গনা সক্ষম হতে হবে দেওয়া একটি ভেক্টর ।

A

$A$

A x

$Ax$

x

$x$

এখন যথাযথ মান সহ (সাধারণত ডাবল-স্পেসিফিক ফ্লোটের জন্য প্রায় )) আপনি জ্যাকবীয়িয়ানকে কখনই গণনা বা সংরক্ষণ না করে নিউটন লুপটি নির্বাহ করতে পারেন। আমি এই বাস্তবতার জন্য জানি যে এই কৌশলটি গণ্য তরল গতিবিদ্যায় কিছু অ-তুচ্ছ ঘটনা সমাধান করার জন্য ব্যবহৃত হয়। নোট, তবে, ক্রিয়াকলাপের মূল্যায়নের সংখ্যাটি ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর পণ্যটির পরিবর্তে ম্যাট্রিক্স-স্টোরেজ টেকনিকের চেয়ে বেশি হবে। $\epsilon$ $10^{-7}$ $F$

আরেকটি বিষয় লক্ষণীয় হ'ল যদি আপনার সিস্টেমটি এমন হয় যে শক্তিশালী পূর্বশর্ত প্রয়োজন (যেমন: জ্যাকোবি বা ব্লক-জ্যাকোবি যথেষ্ট হবে না), আপনি মাল্টিগ্রিড স্কিমের জন্য মসৃণ হিসাবে উপরে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারেন। আপনি যদি কোনও বিন্দু- বা ব্লক-জ্যাকবাকি পূর্বশর্ত চেষ্টা করতে চান তবে আপনি কেবল জ্যাকবীয়ের তির্যক উপাদান বা তির্যক ব্লকগুলি গণনা করতে এবং সংরক্ষণ করতে পারেন যা খুব বেশি নয়। আমি আরও উল্লেখ করব যে কোনও গাউস-সিডেল বা এসএসওআর পূর্বশর্তক স্পষ্টভাবে কোনও জ্যাকবিয়ান সংরক্ষণ না করে প্রয়োগ করা সম্ভব। এই কাগজটি গণনা তরল গতিবিদ্যার প্রসঙ্গে ম্যাট্রিক্সমুক্ত প্রতিসাম্য গাউস-সিডেলের সাথে পূর্ব শর্তযুক্ত ম্যাট্রিক্সমুক্ত জিএমআরইএসের বাস্তবায়ন বর্ণনা করে।

— আদিত্য কাশী
সূত্র

নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলির সাথে আমার অভিজ্ঞতা থেকে, কেউ পুরোপুরি অন্তর্নিহিত স্কিম ছাড়া খুব ভাল করতে পারে।

সময়ের বিবর্তনের সমাধানের জন্য যদি আপনি কেবল দ্রুত সংখ্যাসূচক স্কিম চান তবে আইএমএক্স (অন্তর্নিহিত-স্পষ্ট) স্কিমগুলি একবার দেখুন; উদাহরণস্বরূপ দেখুন সময় নির্ভরশীল আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য অ্যাশচার, রুথ, স্পিটারি ইম্পিপ্লেস -স্পষ্ট স্পষ্ট রানেজ- কত্তা পদ্ধতিগুলির এই কাগজটি দেখুন ।

আপনি এমনকি ধাপের আকার নিয়ন্ত্রণের (মতলবের মতো ODE45) একটি সুস্পষ্ট উচ্চ-অর্ডার সময় ইন্টিগ্রেশন স্কিম ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারেন । যাইহোক, আপনি আপনার সিস্টেমের কঠোরতার কারণে সমস্যার মধ্যে পড়ে যেতে পারেন, যা বিচ্ছিন্ন অংশ থেকে আসে। ভাগ্যক্রমে, বিচ্ছিন্ন অংশটি লিনিয়ার যাতে এটি স্পষ্টভাবে চিকিত্সা করা যায় (যা আইএমএক্স স্কিমগুলির ধারণা)।

— জানুয়ারী
সূত্র

প্রথমে আমি কেবল একটি মন্তব্য যুক্ত করার জন্য বিবেচনা করেছি, তবে স্থান যথেষ্ট ছিল না, তাই আমি এই বিষয়টির সাথে আমার অভিজ্ঞতার সংক্ষিপ্ত বিবরণ যুক্ত করি।

প্রথমত, আপনার স্বরলিপিটির দিকে তাকিয়ে $F_{coupled}$ আমি মিলিত ফর্মটি দেখতে পাচ্ছি না, আমি অনুমান করি $b_1$ এবং $b_2$ উভয় উপর নির্ভরশীল হতে হবে $c_{1,i}$ এবং $c_{2,i}$ । তাছাড়াও যদি $A_1$ এবং $A_2$ এর অনুমানের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা $\mathcal{F}_1$ এবং $\mathcal{F}_2$ তবে তাদের কেবল নির্ভর করা উচিত নয় $c_i$ , তবে প্রতিবেশী মানগুলিতেও, তবে এটি আপনার স্বীকৃতি সম্পর্কে কেবল ভুল বোঝাপড়া হতে পারে।

একটি সাধারণ মন্তব্য হিসাবে আমি যোগ করতে চাই যে বিশ্লেষণাত্মক জ্যাকবিয়ান ব্যবহার করা ননলাইনারি পুনরাবৃত্ত সমাধানকারী (যেমন আপনার ক্ষেত্রে নিউটন-রাফসন সলভার) এর চতুর্ভুজ একীকরণের একমাত্র উপায় বলে মনে হয়। আপনি কি এটি আপনার ক্ষেত্রে পর্যবেক্ষণ করেছেন? এটি বেশ গুরুত্বপূর্ণ, কারণ অন্যথায় আপনার অনুমানের (লিনিয়ারাইজেশন) কিছু ভুল ধারণা থাকতে পারে।

সমস্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে আমি জড়িত ছিলাম (তাদের মধ্যে কিছুতে বৃহত স্কেল গণনা অন্তর্ভুক্ত ছিল) জ্যাকবীয়দের একত্রিত করার সময় ব্যয় নিয়ে আমরা কখনই ইস্যু করি নি, বেশিরভাগ সময় গ্রহণকারী সমস্যাটি সর্বদা লিনিয়ার সলভার প্রয়োগ করে applying বিশ্লেষক জ্যাকবিয়ান (যদি উপলভ্য থাকে) সর্বদা অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে থাকে তবে আমি চতুর্ভুজীয় সংমিশ্রণের কারণে পছন্দসই পছন্দ নিয়ে কাজ করছিলাম। কয়েকটি ক্ষেত্রে এই জাতীয় অলৈখিক সমাধানকারী একটি ম্যাট্রিক্স উত্পাদন করে যা পুনরাবৃত্ত লিনিয়ার সলভারটির রূপান্তরকে সমস্যা সৃষ্টি করে, তাই আমরা লিনিয়ার সলভারকে সাহায্য করার জন্য বিশ্লেষণাত্মক জ্যাকবীয়ানের চেয়ে সহজ লিনিয়ারাইজেশন ব্যবহার করার চেষ্টা করেছি tried ননলাইনার বীজগণিত সিস্টেমের লিনিয়ারীকরণের উপর নির্ভর করে ননলাইনার এবং লিনিয়ার বীজগণিত সমাধানকারী আচরণের মধ্যে এই জাতীয় বাণিজ্য সর্বদা দুরূহ ছিল এবং আমি একটি সাধারণ সুপারিশ দিতে পারিনি।

তবে আপনি ঠিক বলেছেন যে PDEs সিস্টেমের জন্য বিশ্লেষণাত্মক জ্যাকবিয়ান এর অপূর্ণতা (বা সম্পত্তি) হ'ল এটি দ্বিগুণ বীজগণিত সিস্টেম তৈরি করে, সুতরাং আপনি যদি এই পদ্ধতিটিকে কোনও উপায়ে decoupled করেন, যেমন পৃথকভাবে প্রতিটি PDE এর কাছাকাছি সমাধান করে বলুন, পুনরাবৃত্তি বিভাজন পদ্ধতি, তারপরে আপনি আবার বিশ্বব্যাপী দ্রাবকটির চতুষ্কোণ রূপান্তরটি আলগা করুন। তবে কমপক্ষে আপনি যদি প্রতিটি বিচক্ষণ (ডিউপলড) পিডিই আলাদাভাবে সমাধান করেন তবে নিউটন-রাফসন পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আপনি আবার এই বিশেষ সমস্যার সমাধানটি দ্রুত করতে পারবেন।

— পিটার ফ্রলকোভিয়াস č
সূত্র

কিভাবে পিটার, আপনি সংযোগ সম্পর্কে ঠিক বলেছেন, আমি দেখানোর মূল সমীকরণ সম্পাদনা করেছি এবং

b_{1}

$b_1$ এবং

b_{2}

$b_2$ উভয় ফাংশন

c_{1}

$c_1$ এবং

c_{2}

$c_2$ । ম্যাট্রিক্স

A_{1}

$A_1$ এবং

A_{2}

$A_2$ এক্ষেত্রে দৃ both়তা উভয় সিস্টেমই ম্যাট্রিক হয়, যা সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি ব্যবহার করে তৈরি করা হয়। এগুলি কেবল নোডের স্থানাঙ্কের কাজ, এবং রাষ্ট্রের ভেরিয়েবলগুলির নয়।

F_{1}

$F_1$ এবং

F_{2}

$F_2$ ভেক্টর, তাই এগুলি কেবলমাত্র একটি ভেরিয়েবল নয়, রাষ্ট্রীয় ভেরিয়েবলের একটি ভেক্টরের ফাংশন। সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করে আমি একটি জ্যাকবীয়কে সংখ্যায় গণনা করি। আমি এখনও পর্যন্ত কোনও বিশ্লেষক জ্যাকবিয়ান তদন্ত করি নি।

— সিবিসিউইনহো