আমি কীভাবে একটি অনুচিত অবিচ্ছেদ্য আনুমানিক করতে পারি?

13

আমি একটি ফাংশন আছে যেমন যে সসীম, এবং আমি এই অবিচ্ছেদ্য আনুমানিক চাই। $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

আমি চতুর্ভুজীয় বিধি এবং মন্টে কার্লো সংহতগুলির সংমিশ্রণের সাথে পরিচিত, তবে আমি এগুলি অসীম ডোমেনে প্রয়োগ করতে কিছু অসুবিধা দেখতে পাচ্ছি। মন্টি কার্লো ক্ষেত্রে, কেউ কীভাবে অসীম অঞ্চলের নমুনা তৈরি করতে যায় (বিশেষত যদি যে অঞ্চলগুলি অখণ্ডে আরও বেশি অবদান রাখে তারা অজানা থাকে)? চতুর্ভুজ ক্ষেত্রে, আমি কীভাবে অনুকূল পয়েন্টগুলি সন্ধান করব? আমি কি কেবল উত্সকে কেন্দ্র করে একটি নির্বিচারে বৃহত অঞ্চল ঠিক করতে এবং স্পার্স চতুর্ভুজ বিধি প্রয়োগ করতে পারি? আমি কীভাবে এই অবিচ্ছেদ্য প্রায় অনুমান করতে পারি?

monte-carlo quadrature

— পল
সূত্র

20

একটি মাত্রায়, আপনি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে আপনার অসীম বিরতি একটি সীমাবদ্ধ ব্যবধানে মানচিত্র করতে পারেন, যেমন

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

যেখানে এমন কিছু ফাংশন যা কিছু সীমাবদ্ধ পরিসরে অসীমের দিকে চলে যায়, যেমন : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

এরপরে আপনি সংশোধিত, সীমাবদ্ধ ইন্টিগ্রালের জন্য যেকোন নিয়মিত সংখ্যা চতুর্ভুজ রুটিন ব্যবহার করতে পারেন।

একাধিক ভেরিয়েবল জন্য উপকল্পন একটি বিট trickier, কিন্তু বেশ ভাল বর্ণনা করা হয়েছে এখানে ।

— পেড্রো
সূত্র

এটি খুব আকর্ষণীয় ... আমি এমনকি প্রতিস্থাপনের সম্ভাবনাটি কখনই বিবেচনা করি নি! তবে ফাংশন

এর পছন্দটির কী পরিমাণের সুনির্দিষ্টতার উপর কোনও প্রভাব আছে?

u (t)

$u(t)$

— পল

@ পল: হ্যাঁ, অবশ্যই!

ফাংশনটি যথাসম্ভব মসৃণ হওয়া উচিত যেমন

যতটা সম্ভব মসৃণ রাখা, সুতরাং আরও সঠিক সংহতকরণের অনুমতি দেয়।

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— পেড্রো

এটি সত্য, তবে আমার মনে যা ছিল তা হ'ল আপনি (টি) যে হারে অনন্তে রূপান্তরিত হন? এটিও নির্ভুলতার উপর প্রভাব ফেলে?

— পল

1

@ পল: আমি জানি না আমি আপনার প্রশ্নটি সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছি কিনা, তবে ফাংশনটি একটি বা অন্য কোনও সময়ে অনন্ততায় শেষ হতে হবে। যদি এটির সময় নেয় এবং তারপরে তীব্রভাবে বৃদ্ধি পায়, তবে এটি

কিছু বড় গ্রেডিয়েন্টগুলি প্রবর্তন করবে , যা এটি সংহতকরণকে আরও কঠিন করে তোলে এবং এইভাবে নির্ভুলতার উপর প্রভাব ফেলতে পারে।

f (u (t))

$f(u(t))$

— পেড্রো

1

স্পর্শকাতর জন্য আপনার ডেরাইভেটিভ ভুল ছিল; আমি এটা ঠিক করেছি.

— জেএম

11

$f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

$R^3$ $e^{-|x|^2}$

অনলাইন সূত্রগুলি http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/ এ রয়েছে

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র

2

যদি আপনার সংখ্যার মোটামুটিভাবে এক্সপ্রেস হয় (-x) 2) তবে এটি ভাল কাজ করে। যদি আপনার সংহতটি প্রায় স্বাভাবিক হয় তবে উত্স থেকে দূরে থাকে, এই পদ্ধতিরটি খারাপভাবে কাজ করতে পারে।

— জন ডি কুক

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

7

এক-মাত্রিক চতুর্ভুজটির জন্য, আপনি কোয়াডপ্যাক বইটি (একটি সোনার প্রবীণ তবে এক-মাত্রিক চতুর্ভুজটিতে এখনও খুব প্রাসঙ্গিক) এবং অ্যালগরিদম কিএজিআইআই-তে ব্যবহৃত কৌশলগুলি অসীম পরিসরের জন্য একটি স্বয়ংক্রিয় ইন্টিগ্রেটার পরীক্ষা করতে পারেন।

আরেকটি কৌশল হ'ল ডাবল এক্সফোনেনশিয়াল চতুর্ভুজ সূত্র, ওউরার দ্বারা অসীম ব্যবধানের জন্য সুন্দরভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে ।

ঘনক্ষেত্রের জন্য, আপনি রোনাল্ড কুলের দ্বারা কিউবিটার সূত্রগুলির এনসাইক্লোপিডিয়াটি পরামর্শ করতে পারেন ।

— GertVdE
সূত্র

2

নোট করুন যে ডাবল এক্সফেনশনিয়াল চতুর্ভুজটি মূলত একটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতি; আপনি এমন একটি বিকল্প প্রতিস্থাপন করেন যা আপনার অসীম-পরিসীমা অবিচ্ছেদ্যকে অন্য অসীম-সীমার অবিচ্ছেদে রূপান্তরিত করে যার ক্ষয় হার, ভাল, ডাবল এক্সফোনেশিয়াল ...

— জেএম

1

@ জেএম সঠিক আইএমটি ট্রান্সফর্ম এবং TANH রূপান্তর হিসাবে আপনি ট্র্যাপিজয়েড নিয়মের জন্য ইউরার-ম্যাক্লাউরিন সামিট ফর্মুলার সর্বোত্তমভাবে বেরিয়ে আসার জন্য এটি করেন। প্রতিষ্ঠাতা পিতাদের একজন রচিত ডিই এর ইতিহাসের একটি সুন্দর কাগজ এখানে

— GertVdE

6

$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

4

আপনি যদি মন্টি কার্লো ইন্টিগ্রেশনটি ব্যবহার করতে চান তবে আপনি একটি নমুনার সাথে গুরুত্বের নমুনা ব্যবহার করে সূচনা করতে পারেন যা আপনার সংখ্যার প্রায় কাছাকাছি। আপনার নমুনাটি আপনার ইন্টিগ্রেন্ডের সাথে আরও ভাল মিলবে, আপনার অবিচ্ছেদ্য প্রাক্কলনের তুলনায় কম বৈকল্পিক। যতক্ষণ না আপনার নমুনাটির একই ডোমেন থাকে ততক্ষণ আপনার ডোমেন অসীম হওয়ার চেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নয়।

— জন ডি কুক
সূত্র