সহজেই বোধগম্য যুক্তি যে সাধারণ রানেজ – কোত্তা পদ্ধতিগুলি এসডিইগুলিতে সাধারণীকরণ করা যায় না?

স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ (এসডিই) হ্রাস করার একটি নির্দোষ দৃষ্টিভঙ্গি হ'ল:

নিয়মিত মাল্টি-স্টেপ রঞ্জ – কত্তা পদ্ধতি গ্রহণ করুন,
অন্তর্নিহিত উইনার প্রক্রিয়াটির পর্যাপ্ত সূক্ষ্ম ছদ্মবেশ ব্যবহার করুন,
রানার each কত্তা পদ্ধতির প্রতিটি পদক্ষেপ একটি এলিউর – মারুয়ামার সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ করুন।

এখন, এটি একাধিক স্তরে ব্যর্থ হয়েছে এবং আমি বুঝতে পারি কেন। যাইহোক, এখন আমাকে এই সত্যের লোকদের বোঝানোর জন্য দায়িত্ব দেওয়া হয়েছে যাদের কাছে রানেজ – কত্তা পদ্ধতিগুলি এবং স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সূচনা খুব কম। আমি যে সমস্ত যুক্তি সম্পর্কে অবগত রয়েছি তা হ'ল আমি প্রদত্ত প্রসঙ্গে ভালভাবে যোগাযোগ করতে পারি না। অতএব, আমি একটি সহজেই বোধগম্য যুক্তির সন্ধান করছি যে উপরোক্ত পদ্ধতির বিনাশ হয়।

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
সূত্র

@ বিশ্বজিৎ ব্যানার্জি: আমি এটি সম্পর্কে সচেতন এবং আমি সত্যিই দাবি করি না যে আমি এটি গভীরতম সম্ভাব্য পরিমাণে বুঝতে পেরেছি। তবুও আমি ভাবি না যে এখানে সমস্ত যুক্তি সরবরাহ করা উত্তরটির উন্নতি করবে কারণ যারা উত্তর সরবরাহ করতে পারে তারা তাদের সম্পর্কে অবহিত। তদুপরি, এই কেসটি কিছুটা বিশেষ কারণ এটি কেন কিছু কাজ করে না তা ব্যাখ্যা করার জন্য, যার জন্য স্বাভাবিকভাবেই অনেক উত্তর রয়েছে, "আমরা এটি পরীক্ষা করেছিলাম এবং এটি ব্যর্থ হয়েছিল" দিয়ে শুরু করে।

— Wrzlprmft

আমি স্টোকাস্টিক ওডিই-র বিশেষজ্ঞদের নিয়ে কথা বলছিলাম না তবে গড় পাঠক যিনি র্যান্ডম ভেরিয়েবল এবং আরকে বোঝেন যখন আমি "আমাদের" বলেছিলাম। তবে আপনি যদি আপনার চিন্তাভাবনার উদাহরণ দিতে না চান তবে আমি আপনাকে আর বিরক্ত করব না।

— বিশ্বজিৎ ব্যানার্জি

আসুন স্টোকাস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নেওয়া যাক:

X_{t} = f (t, X_{t}) d t + g (t, X_{t}) d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

এখানে কয়েকটি পৃথক যুক্তি দেওয়া হয়েছে যা উচ্চতর আদেশের পদ্ধতির পিছনে গণিত কেন প্রয়োজনীয় তা স্বজ্ঞাত বোঝার দিকে পরিচালিত করে। আমি দৃ strong় আদেশের সাথে আলোচনা করব, যা প্রদত্ত ব্রাউনিয়ান গতির পক্ষে "একই কথা" $W(t)$ , সংখ্যাগত অবিচ্ছেদ্য কতটা ভাল সমাধান করে? "

সমীকরণের নিয়মিততা

প্রথমত, আপনার প্রস্তাবিত পদ্ধতিটি বিষয়টি বিবেচনায় নিতে ব্যর্থ $X_t$ ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য নয়। প্রকৃতপক্ষে, আপনি রসেলের ফলাফলগুলি ব্যবহার করে দেখতে পারেন যে আপনি প্রস্তাবিত সাধারণ আরকে পদ্ধতিগুলি বাড়িয়ে দেওয়ার ফলে অভিভাবক পদ্ধতি দেখা দেয় তবে তাদের কেবল শক্তিশালী অর্ডার 0.5 থাকে। কারণ হ'ল এগুলি ক্যালকুলাস দিয়ে ব্যবহার করা হয়েছিল $X_t$ পার্থক্যযোগ্য এবং একটি টেলর সিরিজ হচ্ছে। ব্রাউনিয়ান গতি পৃথক নয় এবং পরিবর্তে এর ধারকটির ধারাবাহিকতা রয়েছে $\alpha < 0.5$ যেমন

যাইহোক, কৌতূহল তত্ত্বের মতো, নিয়মিত পর্যাপ্ত নয় এমন প্রক্রিয়াগুলি টেলর সিরিজের ক্ষেত্রে প্রসারণযোগ্য নয়, তবে ধারক নিয়মিততার সাথে $\alpha$ শর্তাবলী সহ সেগুলি পুইসেক্স সিরিজের ক্ষেত্রে প্রসারিত হতে পারে $\alpha$ অর্থাত্ ব্রাউনিয়ান গতির পক্ষে টেলর সিরিজের ধারণার একটি প্রসার রয়েছে যা এর মতো কিছু ক্ষেত্রে প্রসারিত $\frac{1}{2}$ ডেরিভেটিভস। নিয়মিত ক্যালকুলাসের মতো প্রথম শব্দটি হ'ল "লিনিয়ার টার্ম", অর্থাৎ পরিবর্তন $dt$ প্রতি $\Delta t$ এবং $dW_t$ প্রতি $N(0,dt)$ এবং আপনি সঠিক সম্পর্কে কিছু পেতে। এই কারণেই অয়লার-মারুয়ামার মতো জিনিসগুলি সহ পদ্ধতিগুলি দৃ strong় অর্ডার 0.5 এর সাথে একত্রিত হয়: তারা টেলর সিরিজের প্রথম পদটি সঠিকভাবে পায়। যাইহোক, উচ্চতর অর্ডার শর্তাবলী যে এই জন্য সংশোধন করা প্রয়োজন $X_t$ অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথক নয়, তাই সাধারণ পদ্ধতিগুলি এটি করতে ব্যর্থ হয়।

তাত্ক্ষণিক সংশোধন এবং পৃথক সংহত

এটি একটি তাত্ক্ষণিক তাত্পর্যপূর্ণ ব্যাখ্যা, তবে এর আরও কিছুটা আছে। আসুন কয়েকটি অন্যান্য বিবরণ তাকান। একটি টেলর সিরিজটি কেবল ডেরাইভেটিভের দিক থেকে সম্প্রসারণ নয়, তবে এটি সংহত করার জন্য উচ্চতর অর্ডার শর্ত হিসাবেও ভাবা যেতে পারে। $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ একবার সংহত করা হয়। তবে আপনি যদি যোগ করুন $dt^2$ পরিভাষা, ইউনিটগুলি সঠিক পেতে আপনাকে ডাবল ইন্টিগ্রালগুলি করতে হবে। $dt^2$ দুবার সংহত করা সহজ, তবে কী $dW_t^i dW_t^j$ ? এগুলি ব্রাউনিয়ান গতির মধ্যে তাত্ক্ষণিক সম্পর্ক corre ডাবল ইন্টিগ্রাল গণনা করতে আপনার এটি জানতে হবে। আপনি যদি কেবল গড়ের দিকে তাকিয়ে থাকেন তবে আপনি এটিকে বন্ধ করে দিতে পারেন। তবে যে কোনও ট্র্যাজেক্টোরির মধ্যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ব্যবস্থার বিভিন্ন ব্রাউনিয়ান গতির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে। ধরে নিই যে ব্রাউনিয়ান গতিগুলির মধ্যে কোনও সম্পর্ক নেই তবে হস্তক্ষেপমূলক পদ্ধতিগুলির মারুয়ামা প্রসারণকে চিহ্নিত করার আরেকটি উপায়, তবে সিরিজের পরবর্তী মেয়াদটি পাওয়ার জন্য (১.০ শব্দ) আপনাকে এই অধিকারটি পেতে হবে। মিলস্টেইন সংশোধন সঠিকভাবে এই পারস্পরিক সম্পর্কের শর্তাদি যুক্ত করছে। যখন শব্দটি তির্যক হয়, এটি নিজের সাথে ছাড়া কোনও সম্পর্ক নেই বলে বোঝার সমতুল্য, তবে স্ব-স্বের সাথে পারস্পরিক সম্পর্ক কেবলমাত্র বৈকল্পিক যা $dt$ , এবং সুতরাং একটি সংশোধন করা আবশ্যক $dW_t^2$ বনাম $dt$ অর্থাৎ $dW^2 - dt$ । যখন অ-তির্যক গোলমাল হয়, তখন এই দ্বিগুণ সংহতগুলি ঘনিষ্ঠভাবে করতে হয় যাতে ব্রাউনীয় গতিগুলির তাত্ক্ষণিক পারস্পরিক সম্পর্ককে বিবেচনায় নেওয়া হয় এবং এখানে সাধারণ আনুমানিকতা হ'ল উইকটারসন আনুমানিকতা যা তত্ক্ষণাত অ-তির্যক শব্দের সিমুলেশনগুলিকে এত জটিল করে তোলে what (যেহেতু ডাবল ইন্টিগ্রালগুলির কোনও বিশ্লেষণাত্মক সমাধান নেই)।

বিস্তারের গড় প্রভাব

তবে এটি আমাদের সমস্যা সম্পর্কে চিন্তাভাবনার অন্য পথে নিয়ে যায়। মুহুর্তের ক্ষেত্রে প্রসারিত হওয়ার চিন্তাভাবনা, কিছু অর্থেবাদী অর্থে প্রথম অর্ডার শব্দ, শক্তিশালী আদেশ ১.০ বা $\mathcal{O}(\Delta t)$ পদ, গড় গতিবিধি সঠিক পেতে হবে, ডান? এখানে একটি প্রশ্ন রয়েছে: এর উদ্ভব কী $g$ সময়মতো? সবচেয়ে সহজ উত্তরটি হ'ল ডেরিভেটিভকে সাধারণ উপায়ে সংজ্ঞা দেওয়া:

কিন্তু স্থাপন করার সময় এটি আসলে সঠিক নয় $g$ এসডিই প্রসঙ্গে। আমরা যদি ডেরাইভেটিভ সম্পর্কে চিন্তা করি $g$ এটি কতটা পরিবর্তিত হয় তার পরিপ্রেক্ষিতে $X_t$ , এটি সর্বদা একই দিকে নির্দেশ করে না কারণ এটি সর্বদা এই এলোমেলো গুণক দ্বারা গুণিত হয় $dW_t$ । প্রশ্নটি হল: এটির গড় আকারটি কী? $dW_t$ ? বিস্তারের স্কেলের গড় পরিবর্তন হয় $\sqrt{\Delta t}$ , তাই বাস্তবে যে প্রভাবিত $g(t,X_t)$ আছে আরও পছন্দ

\frac{ছ (টি + + Δ টি, {এক্স}_{টি + + Δ টি}) - ছ (টি, {এক্স}_{টি})}{\sqrt{Δ টি}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

আপনি আরও কঠোরভাবে প্রদর্শন করতে পারেন যে সংখ্যাসূচক ডেরিভেটিভটি এটির সাথে হওয়া উচিত $X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ "সময়ের ভবিষ্যদ্বাণীকারী হিসাবে"

কিন্তু স্বজ্ঞাতভাবে, এটি কেবল গড় প্রভাব বোঝা যাচ্ছে $g$ এর ট্রাজেক্টরিতে আছে $X_t$ : সম্পর্কিত $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ । রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতিতে, সময়ে একটি অভ্যন্তরীণ পদক্ষেপ $c_i$ এর মানটির একটি অনুমান হিসাবে অনুমিত হয় $X_{t + c_i\Delta t}$ তবে প্রসারণ সম্পর্কে এই দ্রুত শারীরিক হিউরিস্টিক যুক্তি থেকেও আমরা দেখতে পাচ্ছি যে রান্জ-কত্তা পদ্ধতির সহজ বর্ধন গড় হিসাবে ইতিমধ্যে ভুল: এটি প্রায় ভুল $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ এটি সর্বাধিক শক্তিশালী আদেশ 0.5 কেন ব্যাখ্যা করার অন্য একটি উপায় (এটি অবাক করার মতো পদ্ধতি এখনও কার্যকর রয়েছে! তবে আপনি এটিকে দায়ী করতে পারেন যে কোনও আরকে পদ্ধতিতে পর্যায়ের যোগফল 1 হওয়া উচিত, এবং তাই এই ত্রুটিটি কিছুটা বাতিল হয়েছে আউট)। মজার বিষয় হচ্ছে, এই তাত্ত্বিক যুক্তিটি বেশ গভীরতর হয়েছে, যেহেতু উচ্চতর অর্ডার স্টোকাস্টিক রঞ্জ-কোট্টার পদ্ধতি যেমন রসলের কারণে রয়েছে তার সংশোধন রয়েছে যা স্পষ্টভাবে সম্পর্কিত are $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ ।

উপসংহার

উচ্চতর অর্ডারগুলিতে স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস জড়িত থাকতে হবে তা বোঝার জন্য এগুলি 3 টি বিভিন্ন ধর্মীয় তাত্ত্বিক উপায়। উচ্চতর আদেশগুলি অবশ্যই হোল্ডারের নিয়মিততা 1/2 হওয়া উচিত এবং এইভাবে টেলর সিরিজে অতিরিক্ত শর্তাদি রয়েছে সে বিষয়টিও গ্রাহ্য করতে হবে, তাদের অবশ্যই তাত্ক্ষণিক পারস্পরিক সম্পর্ক গ্রহণ করা উচিত, এবং তাদের কমপক্ষে বিচ্ছুরণের মেয়াদের গড় প্রভাবগুলিও ધ્યાનમાં নিতে হবে । অন্যথায় তারা সঠিক হতে না ডুম্মড হয় $\mathcal{O}(\Delta t)$ , এবং পরিবর্তে কেবলমাত্র প্রথম পদটির "রৈখিক আনুমানিকতা" সন্তুষ্ট করুন এবং পান $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$ ।

অবশ্যই কিছু পরিস্থিতিতে যথাযথ সাধারণীকরণের সন্ধান করার উপায় রয়েছে যা উচ্চতর অর্ডার পদ্ধতি দেয় তবে আমি এটি একটি ঝোলা থ্রেড হিসাবে ছেড়ে দেব কারণ এটি একটি কাগজের একটি বিন্দু যা আমি শীঘ্রই জমা দেব। আশাকরি এটা সাহায্য করবে.

— ক্রিস রাকাউকাস
সূত্র