বিশাল ঘন লিনিয়ার সিস্টেম সমাধান করছেন?

Question

পুনরুক্তি পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত লিনিয়ার সিস্টেমটি দক্ষতার সাথে সমাধান করার কোনও আশা আছে কি?

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

সঙ্গে

$A=(\Delta - K)$ , যেখানে$\Delta$ ল্যাপলস অপারেটরের বিবেচনার ফলে উদ্ভূত কয়েকটি তির্যক সহ একটি খুব স্পর্শযুক্ত ম্যাট্রিক্স। এটির মূল তির্যকটিতে রয়েছে$-6$ এবং এরসাথে 1 টি সহ$6$ অন্যান্য তির্যক রয়েছে।$1$

$K$ একটি সম্পূর্ণ$\mathbb{R}^{n \times n}$ ম্যাট্রিক্স যা সম্পূর্ণরূপে সমন্বিত।

সমাধান করা গাউস-সিডেলের মতো পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলির সাথে সূক্ষ্মভাবে কাজ করে, কারণ এটি একটি বিচ্ছিন্ন তির্যক প্রভাবশালী ম্যাট্রিক্স। আমি সন্দেহ করি যে A = ( Δ - K ) সমস্যাটি বেশিরভাগ N এর জন্য দক্ষতার সাথে সমাধান করা বেশ অসম্ভব তবে কে এর কাঠামোটি শোষণ করে সম্ভবত এটি সমাধান করার কোনও কৌশল আছে কি ?$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

সম্পাদনা: ভালো কিছু করতে হবে

// গ কে -সিডেলের সাথে এক্স কে + 1 এর সমাধান করুন$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$$x^{k+1}$

সঠিক সমাধানে রূপান্তর? আমি পড়তে যে এই ধরনের বিভাজন পদ্ধতি এগোয় যদি , যেখানে ρ ভুতুড়ে আদর্শ নেই। আমি ম্যানুয়ালি n এর কিছু পৃথক ছোট মানগুলির জন্য Δ - 1 কে এর ইজেনভ্যালুগুলি গণনা করেছি এবং এটির মান খুব ভাল negativeণাত্মক মান ব্যতীত সমস্ত শূন্য। ( এন = 256 এর জন্য প্রায় 500 ডলার ) সুতরাং আমি অনুমান করি যে এটি কার্যকর হবে না।$\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

সম্পাদনা করুন: সম্পর্কে আরো তথ্য $\Delta$ :

প্রতিসম এবং এটি নেতিবাচক সুনির্দিষ্ট এবং তির্যকভাবে প্রভাবশালী।$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$

এটি মাতলাব নিম্নলিখিত পদ্ধতিতে তৈরি করা হয়

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

Comments

আপনি আরও তথ্য প্রদান করতে পারেন প্লিজ? প্রতিসম? চূড়ান্ত না, অর্ধ-নির্দিষ্ট, না? $\Delta$

— স্টেফানো এম

প্রতিসম এবং নেতিবাচক নির্দিষ্ট। $\Delta$

— ইয়োন

কে নিম্ন-পদমর্যাদার হওয়ায় উডবারি ম্যাট্রিক্স পরিচয়টি কী আপনাকে সাহায্য করবে?

— অরন আহমদিয়া

Answer 1

দুটি বিকল্প রয়েছে যা আপনি যদি যুক্তিসঙ্গত ডেটা স্ট্রাকচার ব্যবহার করেন তবে ল্যাপটপে এবং একটি সুপার কম্পিউটারে এন ≈ 10 12 দিয়ে সমস্যার সমাধান করতে পারবেন । লক্ষ্য করুন দক্ষতা জন্য, আপনার সাথে সমাধান করতে multigrid ব্যবহার করা উচিত Δ । উভয় ক্ষেত্রে খরচ একটি ছোট ফ্যাক্টর অধিক মাত্র সঙ্গে সমাধানে চেয়ে ব্যয়বহুল হতে হবে Δ । দুটি পন্থা একটি শুর পরিপূরক যুক্তির মাধ্যমে সমতুল্য, তবে আমি এগুলি আলাদাভাবে বর্ণনা করি কারণ বাস্তবায়ন আলাদা।$n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• সীমান্তবর্তী সিস্টেমটি ব্যবহার করুন

$$\newcommand\ee{\mathbf{e}} M = \begin{pmatrix} \Delta & \ee \\ \ee^T & 1 \end{pmatrix}$$

যেখানে হ'ল একটি কলাম ভেক্টর যার সমন্বয় রয়েছে এবং সিস্টেমটি সমাধান করে$\ee$

$$M \begin{pmatrix} \mathbf{x} \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{b} \\ 0 \end{pmatrix}$$

একটি পুনরাবৃত্তি বা সরাসরি solver ব্যবহার।

• একটি Krylov পদ্ধতি ব্যবহার করুন এবং ম্যাট্রিক্স প্রয়োগ হিসাবে Δ - ই ই$A$$\Delta - \ee \ee^T$ । (অর্থাত বিক্ষিপ্ত ম্যাট্রিক্স প্লাস র্যাঙ্ক -1 সংশোধন ব্যবহার করুন আপনার বিদ্যমান preconditioner , বা, বিশেষ করে যদি আপনার সাথে একটি সরাসরি সমাধান ব্যবহার করতে চেয়েছিলেন Δ , শেরম্যান-মরিসন সূত্র দিয়ে এটি আপডেট করুন ।$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$

Comments

আমি ভাবতে চাই যে আপনি দ্বিতীয় পদ্ধতির সাথে আরও ভাল off মুল বক্তব্যটি হ'ল আপনি ম্যাট্রিক্স মেমোরিতে সঞ্চয় করার চেষ্টা করবেন না বা এটির সাথে কোনও ম্যাট্রিক্স ভেক্টর পণ্য করার চেষ্টা করবেন না। বরং প্রতিবার আপনার পুনরুক্তি প্রকল্পে ভেক্টরের z এর সাথে A এর গুণক করতে হবে, আপনি h = Δ z এবং তারপরে y = h গণনা করুন$K$$A$$z$$h = \Delta z$গুণান । প্রথম বন্ধনীতে এই শব্দটি z এর প্রবেশের যোগফলএবং আপনি এটি একবারই গণনা করেন। জেড ইতিমধ্যে এটি ভালভাবে ব্যাখ্যা করেছে তবে আমি অপারেশনগুলির ক্রমের উপরে জোর দিতে চেয়েছিলাম। $y = h - \mathbf e (\mathbf e^T z)$$z$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ