বেশ কয়েকটি সুন্দর জবাব ইতিমধ্যে সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিগুলি নমনীয় এবং শক্তিশালী বলে প্রমাণ করেছে, এখানে আমি সোব্লেভ স্পেস এবং ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে এফইএম এর আরও একটি সুবিধা দেব, যে শারীরিক ধারাবাহিকতা শর্তটি উত্তরাধিকার সূত্রে সীমাবদ্ধ উপাদান স্থানের সম্ভাবনা সোবোলেভ ফাঁকা জায়গাগুলি যেখানে আসল সমাধান রয়েছে।
উদাহরণস্বরূপ, রবিয়ার্ট-টমাস বিমানের স্থিতিস্থাপকতার জন্য উপাদান উপাদান এবং প্রসারণের জন্য মিশ্র পদ্ধতি; গণনা তড়িৎ চৌম্বকীয় জন্য N fordélec প্রান্ত উপাদান।
সাধারণত একটি PDE এর সমাধান, যা "এনার্জি in ইন্টারেগ্রেবল" স্পেসে থাকা একটি ডিফারেনশিয়াল ফর্ম: ome
যেখানে হ'ল বহিরাগত ডেরাইভেটিভ, এবং আমরা এই স্থানটির চারপাশে ডি র্যাম কোহোমোলজি তৈরি করতে পারি যেখানে , যার অর্থ আমরা 3 ডি স্পেসে নীচের মতো একটি নির্দিষ্ট ডি রাহাম ক্রম তৈরি করতে পারি:kL2
HΛk={ω∈Λk:ω∈L2(Λk),dω∈L2(Λk)}
d
R3−→idH(grad,Ω)−→∇H(curl,Ω)−→−∇×H(div,Ω)−→∇⋅L2(Ω)
অপারেটরের পরিসীমা হ'ল পরবর্তী অপারেটরের নাল স্পেস, এবং এ সম্পর্কে অনেকগুলি দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে, আমরা যদি এই ডি রাহামের যথাযথ ক্রমটি অর্জন করতে একটি সীমাবদ্ধ উপাদান স্থান তৈরি করতে পারি, তবে এই সীমাবদ্ধ উপাদান স্থানের উপর ভিত্তি করে গ্যালারকিন পদ্ধতিটি হবে স্থিতিশীল হতে হবে এবং আসল সমাধানে রূপান্তরিত হবে। এবং আমরা কেবলমাত্র ডি রাহাম ক্রম থেকে আবর্তন ডায়াগ্রামের সাহায্যে ইন্টারপোলেশন অপারেটরের স্থায়িত্ব এবং আনুমানিক সম্পত্তি পেতে পারি, এবং আমরা এই ক্রমের উপর ভিত্তি করে একটি পোস্টেরিওরি ত্রুটি অনুমান এবং অভিযোজিত জাল পরিশোধন পদ্ধতি তৈরি করতে পারি।
এ সম্পর্কে আরও দয়া করে অ্যাক্টা নুমেরিকাতে ডগলাস আর্নল্ডের নিবন্ধটি দেখুন: "
সীমাবদ্ধ উপাদান বহিরাগত ক্যালকুলাস, হোমোলজিকাল কৌশল এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলি " এবং একটি স্লাইড সংক্ষেপে ধারণাটি প্রবর্তন করছে