হ্যামিলটোনীয় ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স সূচকীয়

যাক বাস্তব, বর্গাকার, ঘন ম্যাট্রিক্স হও। এবং প্রতিসম হয়। দিন $A, G, Q$ $G$ $Q$

এইচ = [\begin{matrix} একজন & - জি \\ - প্রশ্নঃ & - {একজন}^{টি} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

হ্যামিলটোনীয় ম্যাট্রিক্স হও আমি ম্যাট্রিক্স সূচক গণনা করতে চাই । আমার সম্পূর্ণ ম্যাট্রিক্স সূচকীয়, , কেবল ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর নয়। হ্যামিলটোনীয় ম্যাট্রিক্সের সূচক গণনা করার জন্য কি কোনও বিশেষায়িত অ্যালগরিদম বা গ্রন্থাগার রয়েছে? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— ম্যাক্স বেহর
সূত্র

আপনি নিজেই ম্যাট্রিক্স সূচকটি চান, বা আপনি কি সত্যিই কেবল ODE DE সমাধান করতে চান ?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— ড্যানিয়েল শাপেরো

আমার নিজের দরকার ম্যাট্রিক্স এক্সপেনসিয়াল। তবে সমানভাবে আমি ODE ।

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— ম্যাক্স বেহর

আইগনসলভারগুলি সংরক্ষণ করে বেনারের কাঠামো ম্যাট্রিক্স এক্সফোনেনশিয়াল কম্পিউটাইটনকে স্বাচ্ছন্দ্যের সাথে মিলের রূপান্তরকে মোকাবেলা করতে পারে।

— পার্কাস

@ রিচার্ডজ্যাং নৃশংসতম উপায়টি কিউজেড পচন। আরও তথ্যের জন্য লিঙ্ক.স্প্রিংগার.আর্টিকাল.আর্টিকাল ১০.১০০7/s002110050315 থেকে শুরু করে উদাহরণস্বরূপ পরীক্ষা করুন।

— পেরকুস

কাগজ 19 কম্পিউট ম্যাট্রিক্স এর সূচকীয় করার সন্দেহজনক উপায়, 25 বছর আগের অনেক খারাপ (এবং কয়েক ভাল) উপায়ে গনা ম্যাট্রিক্স সূচকীয় জুড়ে। এটি হ্যামিলটোনীয় সমস্যার সাথে সুনির্দিষ্ট নয় তবে আপনি যদি এই ধরণের সমস্যায় কাজ করছেন তবে তা অবশ্যই মূল্যবান।

— ড্যানিয়েল শাপেরো

উত্তর:

খুব দ্রুত উত্তর ...

হ্যামিলটোনীয় ম্যাট্রিক্সের ক্ষতিকারকটি হ'ল লক্ষণমূলক, এমন একটি সম্পত্তি যা আপনি সম্ভবত সংরক্ষণ করতে চান, অন্যথায় আপনি কেবল একটি কাঠামো-সংরক্ষণের পদ্ধতি ব্যবহার করবেন না। প্রকৃতপক্ষে, কাঠামোগত পদ্ধতিটি ব্যবহারের ক্ষেত্রে কোনও আসল গতির সুবিধা নেই, কেবল কাঠামো সংরক্ষণ servation

আপনার সমস্যা সমাধানের একটি সম্ভাব্য উপায় নিম্নলিখিতটি। প্রথম একটি symplectic ম্যাট্রিক্স যেমন যে উপরের ত্রিদলীয় ব্লক হ্যামিল্টনিয়ান এবং, এবং বাম অর্ধেক সমতলে eigenvalues হয়েছে। আপনি উদাহরণস্বরূপ নিয়ে এই ম্যাট্রিক্সটি পান , যেখানে সম্পর্কিত রিক্যাটি সমীকরণকে সমাধান করে $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ , বা (এটি অরথোগোনাল হওয়ার পরে আরও স্থিতিশীল) এর শুর পচনকে পুনরায় সাজিয়ে এবং লাউব ট্রিক প্রয়োগ করে (অর্থাত্, এককীয় শুর ফ্যাক্টর পরিবর্তে )। হ্যামিলটোনীয়দের যদি কাল্পনিক অক্ষের সাথে মতলব থাকে তবে এটি করতে আপনার সমস্যা হতে পারে তবে এটি একটি দীর্ঘ গল্প এবং আপাতত আমি মনে করব এটি আপনার সমস্যাতে ঘটে না। $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

একবার আপনি আছে , আপনি , এবং আপনি গনা করতে যেখানে একটি নির্দিষ্ট Lyapunov সমীকরণ solves, আমি ভালো কিছু বিশ্বাস $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

মেপুঃ (\hat{এইচ}) = [\begin{matrix} মেপুঃ (\hat{একজন}) & এক্স \\ 0 & মেপুঃ (- {\hat{একজন}}^{টি}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

(লক্ষণ ভুল হতে পারে; আরোপ

এবং ব্লক প্রসারিত সঠিক সমীকরণ জন্য। এই কৌশলটির রেফারেন্সের জন্য "শুর-পারলেট পদ্ধতি" সন্ধান করুন)।

\hat{একজন} এক্স + + এক্স {\hat{একজন}}^{টি} = - মেপুঃ (\hat{একজন}) \hat{জি} - \hat{জি} মেপুঃ (- {\hat{একজন}}^{টি})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

তারপরে তিনটি বিষয় হুবহু সহনশীল are কেবল এগুলি পৃথকভাবে ব্যবহার করুন: পণ্যটি গণনা করবেন না বা আপনি এই সম্পত্তিটি সংখ্যাগতভাবে হারাবেন।

— ফেডেরিকো পোলোনি
সূত্র

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ একটি অবিচ্ছেদ্য সমীকরণ থেকে আসে যা তাদের ঘন কাঠামো এবং সংকোচনের সম্ভাবনা (কার্নেলের উপর নির্ভর করে) ব্যাখ্যা করবে।

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

এই পদ্ধতির ডাউনসাইডস:

দক্ষ উপস্থাপনার উপর নির্ভর করে $A$ $G$ $Q$
হ্যামিলটোনীয় কাঠামোর সুবিধা নেয় না

পজিটিভ:

ম্যাট্রিক্স এক্সফেনশিয়ালের সংকীর্ণ উপস্থাপনা, যদিও এটি এখনও ম্যাট্রিক্স, কেবল এমভিপি করার উপায় নয়
লিনিয়ার-লোগারিথমিক জটিলতা (নিম্ন স্তরের অনুমানটি সেখানে রয়েছে)
গ্রন্থাগারটি ব্লকগুলিতে স্থানান্তর এবং প্রতিসারণের সুযোগ নিতে পারে

— আন্তন মেনশভ
সূত্র