স্বায়ত্তশাসিত হলে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সংখ্যাসমূহ অনুসারে সিস্টেমের শর্টকাটগুলি রয়েছে?

Question

ওডিইএস হ্যান্ডেল ফাংশনগুলি হ্রাস করার জন্য বিদ্যমান অ্যালগরিদমগুলি , যেখানে । তবে অনেকগুলি শারীরিক ব্যবস্থায়, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি স্বায়ত্তশাসিত, সুতরাং , , বাদ দিয়ে। এই সরলকরণ অনুমানের সাথে, বিদ্যমান সংখ্যা পদ্ধতিতে কোন উন্নতি দেখা যায়? উদাহরণস্বরূপ, যদি তবে সমস্যাটি into তে রূপান্তরিত হয় এবং আমরা এক-মাত্রিক ইন্টিগ্রালগুলি একীকরণের জন্য সম্পূর্ণ ভিন্ন শ্রেণীর অ্যালগরিদমের দিকে ঘুরে দেখি। জন্য , সর্বোচ্চ সম্ভব উন্নতির মাত্রা হ্রাস করা হয়$\frac{dy}{dt} = f(y, t)$$y \in \mathbb R^n$$\frac{dy}{dt} = f(y)$$y \in \mathbb R^n$$t$$n=1$$t = \int \frac{dy}{f(y)}$$n>1$$y$1, কারণ সময় নির্ভর ক্ষেত্রে সংযোজন করে কৃত্রিম হতে পারে থেকে , ডোমেইনের পরিবর্তন থেকে করার ।$t$$y$$y$$\mathbb R^n$$\mathbb R^{n+1}$

Answer 1

আমি বলব একটি উল্লেখযোগ্য উন্নতি হ'ল সময়-পদক্ষেপের ক্ষেত্রগুলিতে, যেখানে আপনি $y_n \rightarrow y_{n+1}=\mathcal{U}(y_n)$ সমাধান ম্যাপ $\mathcal{U}$ ব্যবহার করে আপনি প্রচারক (বা কমপক্ষে কিছু অংশ নির্ধারণ করতে পারেন) এটি) একবার এবং তারপরে এটি প্রতিবার পদক্ষেপে পুনরায় ব্যবহার করুন।

উদাহরণস্বরূপ, লিনিয়ার ক্ষেত্রে আপনার $\partial_t y = A y$ , যেখানে $A$ ম্যাট্রিক্স। সমাধান অপারেটর $\mathcal{U}(y) = \exp(A \Delta t)y$ মূলত একটি ম্যাট্রিক্স এক্সফেনশিয়াল নিয়ে গঠিত। স্বায়ত্তশাসিত সিস্টেমগুলির জন্য, এই ব্যয়বহুল ম্যাট্রিক্স সূচকীয় মূল্যায়ন কেবল একবারে সম্পূর্ণ বংশবিস্তারের জন্য প্রয়োজন - সময় নির্ভর নির্ভর ব্যবস্থার বিপরীতে, যেখানে আপনাকে প্রতিবার ধাপে এই মূল্যায়ন করতে হয়।

ননলাইনার সিস্টেমগুলির জন্য এটি এত সহজ নয়, তবে অ্যালগরিদমের উপর নির্ভর করে কিছু ব্যয়বহুল মূল্যায়নগুলি পুনরায় ব্যবহার করা যেতে পারে।