পরিচিত সীমানার সাথে বহু-মাত্রিক ইন্টিগ্রালের সংখ্যাসঙ্গিক সংহতকরণ

Question

আমার একটি (দ্বি-মাত্রিক) অনুপযুক্ত অবিচ্ছেদ্য আছে

$$I=\int_A \frac{W(x,y)}{F(x,y)}\,\mbox{d}x\mbox{d}y$$

যেখানে ইন্টিগ্রেশন ডোমেইনের ছোট চেয়ে এক্স = [ - 1 , 1 ] , Y = [ - 1 , 1 ] কিন্তু আরো দ্বারা সীমিত এফ ( এক্স , Y ) > 0 । যেহেতু এফ এবং ডব্লু মসৃণ এবং ডাব্লু ≠ $A$$x=[-1,1]$$y=[-1,1]$$F(x,y)>0$$F$$W$$W \ne 0$সীমানায়, পরবর্তী সম্পর্কটি বোঝায় যে সমষ্টিগুলিতে সীমানায় একক হতে পারে। যদিও সংহতটি সীমাবদ্ধ। আমি, এখনও পর্যন্ত নেস্টেড সংখ্যার একীকরণের সাথে এই অবিচ্ছেদ্যটি গণনা করি। এটি সাফল্যজনক তবে ধীর। আমি অবিচ্ছেদ্য, সম্ভবত একটি মন্টি-কার্লো পদ্ধতি সম্বোধন করার জন্য আরও উপযুক্ত (দ্রুত) পদ্ধতি অনুসন্ধান করি। তবে আমার এমন একটি দরকার যা নন-কিউবিক ডোমেন এ এর ​​সীমানায় বিন্দু রাখে না এবং ভুলভাবে অবিচ্ছেদ্যতার সীমাটি সঠিকভাবে গ্রহণ করে। এই সাধারণ অভিব্যক্তির জন্য কোনও ইন্টিগ্রাল ট্রান্সফর্মেশন কী সহায়তা করতে পারে? নোট আমি সমাধান করতে পারে জন্য Y এর কার্যকারিতা হিসেবে এক্স এবং এমনকি গনা আমি কয়েক বিশেষ ওজন কাজকর্মের জন্য ওয়াট $F(x,y)$$y$$x$$I$ ।$W(x,y)$

Comments

$F(x,y) \ne 0$$A$$F(x,y)$

জিএসএল অ্যালগরিদম কিউএজিএস: gnu.org/software/gsl/manual/html_node/… । সম্পাদনাগুলির জন্য ধন্যবাদ (সমীকরণ টাইপ করার বিকল্পটি দেখেনি)!

— highsciguy

Answer 1

দাবি অস্বীকার: আমি আমার পিএইচডি থিসিসটি অভিযোজিত চতুর্ভুজটিতে লিখেছিলাম, সুতরাং এই উত্তরটি আমার নিজের কাজের প্রতি কঠোর পক্ষপাতদুষ্ট হবে।

জিএসএল এর কিউএজিএস হ'ল পুরাতন কোয়াডপ্যাক একীকরণকারী এবং এটি সম্পূর্ণ দৃ entire় নয়, বিশেষত এককতার উপস্থিতিতে। এটি সাধারণত ব্যবহারকারীদের প্রকৃত প্রয়োজনের তুলনায় যথাযথতার চেয়ে আরও বেশি সংখ্যার অনুরোধ করে, ফলে ইন্টিগ্রেশনটি বেশ ব্যয়বহুল হয়ে যায়।

আপনি যদি জিএসএল ব্যবহার করছেন তবে আপনি এই কাগজে বর্ণিত আমার নিজস্ব কোড, সিকোয়াএডি চেষ্টা করতে চাইতে পারেন । এটি বিরতি প্রান্তে এবং ডোমেনের মধ্যে উভয়ই এককতার সাথে লড়াই করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। নোট করুন যে ত্রুটির প্রাক্কলনটি বেশ শক্তিশালী, সুতরাং আপনার প্রকৃত যতগুলি সংখ্যা প্রয়োজন কেবল তেমন অনুরোধ করুন।

মন্টি-কার্লো ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কিত, আপনি কী ধরণের নির্ভুলতা খুঁজছেন তা নির্ভর করে। এটি একাকীত্বের কাছাকাছি এটি কতটা ভাল কাজ করবে তা সম্পর্কে আমি খুব নিশ্চিত নই।

Comments

আমি অবশ্যই এটি দেখতে পাই কারণ এটি কার্যকর করা সবচেয়ে সহজ হবে। আসলে আমি অভিজ্ঞতা পেয়েছিলাম যে কিউএজিএস রুটিন এই সমস্যার জন্য অত্যন্ত স্থিতিশীল ছিল না।

— highsciguy

'GSL_EDIVERGE' এর সংঘাতকে প্রভাবিত করার কোনও উপায় আছে কি? এটি কিছু পরামিতিগুলির জন্য উপস্থিত বলে মনে হচ্ছে।

— হাইস্কিগুয়ে

@ হাইসিগুই আপনি যদি আমাকে এমন উদাহরণ দিতে পারেন যার জন্য এটি ব্যর্থ হয় তবে আমি এটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখতে পারি।

— পেড্রো

এটি একটি সাধারণ রুটিনকে বিচ্ছিন্ন করা কিছুটা কঠিন, কারণ এটি এন-ডাইমেনসিনাল ইন্টিগ্রালগুলির জন্য জেনেরিক কোডটিতে এম্বেড করা রয়েছে। আমি দেখতে পাব ... তবে স্থির y এর জন্য, 1 / স্কয়ার্ট (এফ (এক্স, ওয়াই) এর 1 / স্কয়ার্ট (এক্স) এর মতো আচরণ করা উচিত যখন এক্স (এক্স, ওয়াই) এর F (x, y) এর জিরোগুলির কাছে পৌঁছায় তারপরে এক্স-তে বহুবচন হিসাবে লেখা যেতে পারে। তবে এমন হতে পারে যে 1 / স্কয়ার্ট (এক্স) আচরণ দেরীতে শুরু হয়। এটিও হতে পারে যে সংখ্যার সংখ্যার যথোপযুক্ততা খুব ভাল নয়।

— হাইস্কিগুয়ে

@ হাইসিগিগুই: হ্যাঁ, এটি একটি খারাপ ধারণা। বেশিরভাগ চতুর্ভুজ বিধিগুলি অনুমান করে যে সংহতটির কিছুটা স্বাচ্ছন্দ্য রয়েছে, এবং আপনি যদি কিছু নির্বিচারে বিন্দু হিসাবে এটি শূন্যতে সেট করেন, আপনি একটি বিচ্ছিন্নতা প্রবর্তন করছেন। আপনি প্রকৃত ব্যবধানটি ব্যবহার করলে আপনি আরও ভাল ফলাফল পাবেন!

— পেড্রো

Answer 2

মন্টে কার্লো পদ্ধতিগুলি সাধারণত অভিযোজিত চতুর্ভুজগুলির সাথে প্রতিযোগিতা করতে পারে না যদি না আপনার উচ্চ মাত্রিক অবিচ্ছেদ্য থাকে যেখানে আপনি মাত্রার সাথে চতুর্ভুজ পয়েন্টগুলির সম্মিলিত বিস্ফোরণকে বহন করতে না পারেন।

$\int_{[0,1]^n} f(x)\; d^nx$$n$$M$$M^n$$k$$N=(kM)^n$$k$$(2k-1)$$e = {\cal O}(h^5)={\cal O}(M^{-(2k-1)})$

$$e = {\cal O}(N^{-(2k-1)/n}).$$ $$e = {\cal O}(N^{-1/2})$$ $k>n/4+1/2$

$k\le 8$$n=30$$M=1$$N=8^{30}$ইন্টিগ্রেশন পয়েন্টস, যা আপনি জীবনে কখনও মূল্যায়ন করতে পারেন তার চেয়ে অনেক বেশি। অন্য কথায়, যতক্ষণ আপনি পর্যাপ্ত ইন্টিগ্রেশন পয়েন্টগুলি মূল্যায়ন করতে পারেন ততক্ষণ আপনার ইন্টিগ্রেশন ডোমেনের সাব-ডিভিশনগুলিতে চতুর্ভুজটি সবসময় আরও কার্যকর পদ্ধতির হয়। এটি এমন একটি ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে আপনার একটি উচ্চ মাত্রিক ইন্টিগ্রাল রয়েছে যার জন্য আপনি এমনকি একটি একক মহকুমায় ইন্টিগ্রেশন পয়েন্টগুলি মূল্যায়ন করতে পারবেন না যে লোকেরা তাদের আরও খারাপ রূপান্তর ক্রম সত্ত্বেও মন্টি কার্লো পদ্ধতি ব্যবহার করে।

Answer 3

নেস্টেড ডাবল- এক্সফেনশনিয়াল চতুর্ভুজ চেষ্টা করুন ( ওউরার প্রয়োগগুলি দেখুন )। এই কৌশলটি একটি পরিবর্তনশীল রূপান্তর ব্যবহার করে যা রূপান্তরিত সংহতিকে সীমানায় খুব সুচারুভাবে আচরণ করতে সক্ষম করে এবং সীমানায় সিঙ্গুলারিটি পরিচালনা করার জন্য খুব দক্ষ। তাঁর ওয়েবসাইটে ডিএ কোয়াদ্রিটারে খুব ভাল রেফারেন্সের তালিকা রয়েছে।