"তরঙ্গ সমীকরণ", বৈশিষ্ট্য পদ্ধতি জন্য সসীম পার্থক্য প্রকল্প

নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন যেখানে জোর করে শব্দটি আপনার উপর নির্ভর করে ( সূত্রের জন্য নীচে সম্পাদনা দেখুন 1 ) এবং এবং এর প্রথম ডেরাইভেটিভস। এটি 1 + 1 মাত্রিক তরঙ্গ সমীকরণ। আমরা প্রতিনিয়ত নির্ধারিত প্রাথমিক তথ্য আছে ।

{ওয়াট}_{তোমার দর্শন লগ করা বনাম} = এফ

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

আমি একটি অন্তরালের নির্ভরতা domain of এর ডোমেনের অভ্যন্তরের সমাধানটিতে আগ্রহী এবং নীচের সীমাবদ্ধ পার্থক্য স্কিম বিবেচনা করছি।

{তোমার দর্শন লগ করা + + বনাম = 0, তোমার দর্শন লগ করা \in [- {তোমার দর্শন লগ করা}_{এম}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{এম}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

লক্ষ্য অভিব্যক্ত হয় দ্বারা এবং একইভাবে । এই স্কিমটি সেই অর্থে যে তাই আমি করতে পারেন ধারাবাহিকভাবে কম্পিউট ঊর্ধ্বমুখী একীভূত দ্বারা প্রাথমিক তথ্য থেকে; অত: পর আমি শুধুমাত্র সত্যিই বিবর্তন সমীকরণ তাকান প্রয়োজন এবং । $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $ওয়াট (তোমার দর্শন লগ করা, বনাম) + + {ওয়াট}_{তোমার দর্শন লগ করা} (তোমার দর্শন লগ করা, বনাম) + + {ওয়াট}_{বনাম} (তোমার দর্শন লগ করা + + 1, বনাম) = ওয়াট (তোমার দর্শন লগ করা + + 1, বনাম + + 1) = ওয়াট (তোমার দর্শন লগ করা, বনাম) + + {ওয়াট}_{বনাম} (তোমার দর্শন লগ করা, বনাম) + + {ওয়াট}_{তোমার দর্শন লগ করা} (তোমার দর্শন লগ করা, বনাম + + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
প্রাথমিক তথ্য জন্য, আমরা সামঞ্জস্য শর্ত প্রয়োজন । যা প্রস্তাব দেয় যে আমি অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার বিন্দুতে প্রদত্ত এর মানগুলির সাথে প্রাথমিক সময়ে এর ফরোয়ার্ড ( ) সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করে প্রাথমিক ডেটা গণনা করতে পারি । $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

প্রশ্ন :

এটি কি একটি সুপরিচিত স্কিম? বিশেষত, আমি কোথায় এই প্রকল্পের বিশ্লেষণ পেতে পারি?
আমার কাছে সুস্পষ্ট কোন বিষয় খুঁজে পাওয়া উচিত?

পটভূমি : ভান করি আমি কিছুই জানিনা (যা সম্ভবত সত্য, কারণ আমি একজন খাঁটি গণিতজ্ঞ, যা কিছুটা গণনা যন্ত্রপাতি শিখতে চাইছি)।

সম্পাদনা 1 : কেবল স্পষ্ট করার জন্য (কিছু মন্তব্যকে করার জন্য): স্থানাঙ্কের সমীকরণটি হবে এবং এবং ullnull স্থানাঙ্ক- দেওয়া হয়েছে (কিছু পুনর্নির্মাণের কারণ পর্যন্ত) 2) এবং । এ প্রাথমিক তথ্য এত আসলে এ । $x$ $t$

{ওয়াট}_{টি টি} - {ওয়াট}_{এক্স এক্স} = এফ

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

সুতরাং অভিযোজিত জালের পরিবর্তে আমি সাথে মানিয়ে নেওয়া জালটিকে বিবেচনা করি যা 45 ডিগ্রি অঙ্কিত হয় ¨ তুলনায় যেখানে পূর্ণসংখ্যার মান নেয়, সেখানে মেশকে অতিরিক্ত পয়েন্ট থাকা হিসাবে ভাবা যায় যেখানে উভয় (তবে কেবল একটি নয়) এবং অর্ধ-পূর্ণসংখ্যার মান গ্রহণ করে। $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— উইলি ওয়াং
সূত্র

আমি আপনার সাবস্ক্রিপ্টগুলি থেকে কিছুটা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি, তবে এটি আমার কাছে একরকম সীমাবদ্ধ-পার্থক্য সময়-ডোমেন গঠনের মতো বলে মনে হচ্ছে। । । সম্ভবত একটি স্থির জাল ফর্মুলেশন (অর্ধ সূচক?) দিয়ে।

— meawoppl

@ মায়োপ্পল: তিনি কেবল নিজের ভেরিয়েবলগুলিকে পরিবর্তে কল করেন সাধারণভাবে (সাধারণ সূত্রগুলিতে এগুলি বিপরীতে স্পেস-টাইম বিমানে ঘোরানো হয় তবে এটি একটি পৃথক বিষয়))

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

আমি স্পষ্ট করতে সম্পাদনা করেছি (ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথের ব্যাখ্যাটি যা আমার মনে ছিল))

— উইলি ওং

উত্তর:

এর মতো স্কিমগুলিতে অবশ্যই সাহিত্য রয়েছে। দুটি কীওয়ার্ড হ'ল

বৈশিষ্ট্যগুলির পরিবর্তিত পদ্ধতি
আধা-ল্যাঙ্গরিয়ান প্রকল্পগুলি

20 মিনিট গুগল করার পরে: কয়েকটি সম্ভাব্য গুরুত্বপূর্ণ কাগজগুলি হ'ল http://dx.doi.org/10.1137/0719063 এবং http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (সেখান থেকে এগিয়ে অনুসন্ধান করুন)। এগুলি সম্ভবত সেখানকার সেরা উল্লেখ নয় , তবে আপনাকে সঠিক সাহিত্যে নিয়ে যাওয়ার জন্য এগুলি একটি সূচনা পয়েন্ট হওয়া উচিত।

আমি এটি মাত্রিক বিভাজন সহ লাইনগুলির একটি ঘোরানো পদ্ধতি হিসাবে ভাবি think সম্ভবত আপনি আপনার সমীকরণের সমতুল্যতা এবং তরঙ্গ সমীকরণের সাধারণ রূপ রূপান্তর এর অধীনে সম্পর্কে খুব ভালভাবে অবগত আছেন আমার জন্য তরঙ্গ সমীকরণের এই traditionalতিহ্যগত ফর্মটির বিবেচনায় আপনার স্কিমটি সম্পর্কে ভাবনা দরকারী। স্কিমটি যা করে তা হ'ল প্রথমে বৈশিষ্ট্যের একটি সেট বরাবর সংহত করা হয়, তারপরে অন্যটি দিয়ে। ইন্টিগ্রেশনটি মাত্রিক বিভাজন এবং ইউলারের পদ্ধতি ব্যবহার করে সম্পন্ন করা হয়েছে , উভয়ই প্রথম অর্ডার সঠিক।

{ওয়াট}_{টি টি} - {ওয়াট}_{এক্স এক্স} = এফ

$W_{tt}-W_{xx} = F$

তোমার দর্শন লগ করা = টি + + এক্স, বনাম = টি - এক্স ।

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$

অবশ্যই আপনি যেহেতু বৈশিষ্ট্যগুলি একত্রিত করছেন তাই আপনার স্কিমটি ক্ষেত্রে সঠিক হবে । অর্থাৎ, আপনার স্কিমের সংখ্যাসূচক ত্রুটিগুলি কেবল সংখ্যাসমূহের সংশ্লেষের কারণে হবে (এটি সুস্পষ্ট হতে পারে তবে যারা বেশি traditionalতিহ্যবাহী সংখ্যাগত পদ্ধতিতে অভ্যস্ত তাদেরকে নির্দেশ করতে সম্ভবত দরকারী)। তদুপরি, আপনার স্কিম কেসের ক্ষেত্রে নিঃশর্ত স্থিতিশীল । কিছু বৈশিষ্ট্য না জেনে এর স্থায়িত্ব সম্পর্কে আরও কিছু বলা যায় না । সাধারণভাবে, স্কিমটি কেবল কিছু সীমাবদ্ধ পদক্ষেপের আকারের বিধিনিষেধের অধীনে স্থিতিশীল থাকবে (যেহেতু ইউলারের পদ্ধতিটি সুস্পষ্ট)। যদি এর জ্যাকবিয়ান হয় $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ কোনও খাঁটি কাল্পনিক ইগন্যালিউস রয়েছে, স্কিমটি অস্থির হবে।

ODEs (আপনার পদ্ধতি হিসাবে) একটি সিস্টেমে PDE হ্রাস করার সাধারণ বিবেচনার পদ্ধতির লাইনের পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত। লাইনের বিচক্ষণতার যে কোনও পদ্ধতির মতো, আপনি উচ্চতর-অর্ডার ওডিই সল্ভারটি ব্যবহার করে নির্ভুলতার ক্রম বাড়িয়ে তুলতে পারেন এবং আপনি উপযুক্ত পদক্ষেপযুক্ত ওডিই সল্ভারটি ব্যবহার করে স্থায়িত্বের উন্নতি করতে পারেন (প্রতি পদক্ষেপের গুণগত ব্যয় বৃদ্ধির সাথে)।

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

"তবে গুগল আপনাকে আরও সহায়তা করবে" আসলে এটি অন্যতম বড় সমস্যা। আমি ঠিক নিশ্চিত নই কি জন্য Google এর কাছে (আমি সন্দেহ সংখ্যাসূচক সাহিত্য বিশুদ্ধ সাহিত্য থেকে কিছু বিভিন্ন পদ ব্যবহার করতে পারেন)। আপনি যদি এমন কিছু কীওয়ার্ডের পরামর্শ দিতে পারেন যা আমার সন্ধান করা উচিত তবে আমি কৃতজ্ঞ হব। ("লাইনের পদ্ধতি", উদাহরণস্বরূপ, আমাকে তথ্যের যথার্থ সম্পদের দিকে ইঙ্গিত করছে [সম্ভবত :

— উইলি ওং

@ উইলিওং - হাইপারবোলিক সমীকরণের জন্য একটি উল্লেখ যা আমরা সাধারণত উল্লেখ করি তা হ'ল হাইপারবোলিক সমস্যার জন্য লেভেকের সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতি । আমি নিশ্চিত না যে এটি আপনার পক্ষে শুরু করার জন্য সঠিক রেফারেন্স কিনা তবে এটি কমপক্ষে আপনাকে ক্ষেত্রের শর্তাদি এবং কৌশলগুলির একটি ভূমিকা সরবরাহ করবে।

— আরন আহমদিয়া

ঠিক আছে, আমি কিছু কীওয়ার্ড এবং রেফারেন্স যুক্ত করেছি। আমি আশা করি তারা সাহায্য করবে।

— ডেভিড কেচসন

রেফারেন্সের জন্য অনেক ধন্যবাদ! এটা আমার একটি ভাল শুরু হয়েছে।

— উইলি ওং

ডেভিড কেচসন তার উত্তরে আমাকে যেখানে রেখেছিলেন সেখান থেকে শুরু করে, আরও কিছুটা অনুসন্ধানে কিছু historicalতিহাসিক নোট প্রকাশিত হয়েছিল।

আমি উপরে বর্ণিত যে স্কিমটি ইতিমধ্যে ১৯০০ সালে জে ম্যাসাউ দ্বারা মোমোয়ার সুর লিন্টগ্র্যাশন গ্রাফিক ডেস অ্যাকুয়েশনস অক্স ডারিভিস পার্টিলিসে বিবেচনা করা হয়েছিল । কাজটি 1952 সালে জনাব ডেলপোর্ট, মনস দ্বারা পুনঃপ্রকাশ করেছিলেন।

এর একীকরণের প্রথম (সংক্ষিপ্ত হলেও) আধুনিক বিশ্লেষণটি কুরান্ট, ফ্রেডরিচস এবং লেভি মঠে তাদের ক্লাসিক ১৯২৮ সালের গবেষণাপত্রে দিয়েছিলেন। অ্যান।

— উইলি ওয়াং
সূত্র

বাহ, আমি বিশ্বাস করতে পারি না যে আমি বুঝতে পারিনি যে এটি সিএফএল কাগজে ছিল ...

— ডেভিড কেচসন