রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার পদ্ধতি কীভাবে চয়ন করবেন

Question

আমার জ্ঞান অনুসারে, রৈখিক সমীকরণের একটি পদ্ধতি সমাধানের জন্য 4 টি উপায় রয়েছে (যদি আরও থাকে তবে আমাকে সংশোধন করুন):

1. যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স একটি পূর্ণ-র‌্যাঙ্ক বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় তবে আপনি ক্র্যামারস বিধি ব্যবহার করতে পারেন;
2. সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বা সিউডোইনভার গণনা করুন;
3. ম্যাট্রিক্স পচানোর পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করুন (গাউসিয়ান বা গাউস-জর্ডান নির্মূলকরণকে এলইউ পচন হিসাবে বিবেচনা করা হয়);
4. পুনরুক্তি পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করুন, যেমন কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি।

আসলে, আপনি প্রায়শই ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে বা বিপরীত বা সিউডোয়েন্টার গণনা করে বিশেষত উচ্চ মাত্রিক ম্যাট্রিক্সের জন্য সমীকরণগুলি সমাধান করতে চান না, তাই প্রথম প্রশ্নটি যথাক্রমে পচন পদ্ধতি এবং পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলি কখন ব্যবহার করবেন। আমার ধারণা এটি সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের আকার এবং বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে।

দ্বিতীয় প্রশ্নটি হল আপনার জ্ঞানের কাছে, সংখ্যার স্থায়িত্ব এবং দক্ষতার দিক থেকে নির্দিষ্ট সিস্টেমের ম্যাট্রিক্সের জন্য কোন ধরণের পচন পদ্ধতি বা পুনরুক্তি পদ্ধতিগুলি সবচেয়ে উপযুক্ত।

উদাহরণস্বরূপ, অনুবন্ধী গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি সমীকরণ যেখানে ম্যাট্রিক্স প্রতিসম এবং ইতিবাচক নির্দিষ্ট হয় সমাধানের জন্য, যদিও এটি যে কোনো রৈখিক সমীকরণ প্রয়োগ করা যেতে পারে রূপান্তর দ্বারা ব্যবহৃত হয় জন্য একটি টি একটি এক্স = একটি টি খ । ইতিবাচক সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের জন্যও আপনি সমাধানের জন্য চলেস্কি পচন পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। তবে কখন সিজি পদ্ধতি বেছে নেবেন এবং কখন কোলেস্কি পচা বেছে নেবেন তা আমি জানি না। আমার অনুভূতি হ'ল আমরা বড় ম্যাট্রিক্সের জন্য আরও ভালভাবে সিজি পদ্ধতি ব্যবহার করব।$\mathbf{A}x=b$$\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{A}x=\mathbf{A}^{\rm T}b$

আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের জন্য, আমরা হয় কিউআর পচন বা এসভিডি ব্যবহার করতে পারি তবে আবার সেগুলির মধ্যে কীভাবে চয়ন করতে হয় তা আমি জানি না।

অন্যান্য ম্যাট্রিক্সের জন্য, এখন আমি কীভাবে উপযুক্ত দ্রাবক বাছাই করতে পারি না, যেমন হার্মিটিয়ান / প্রতিসম ম্যাট্রিক্স, স্পারস ম্যাট্রিক্স, ব্যান্ড ম্যাট্রিকেস ইত্যাদি

Comments

হাই @ চাওহুয়াং, এবং সায়িকম্পে স্বাগতম! আপনি এই আলোচনাটি দেখতে চাইতে পারেন: scicomp.stackexchange.com/questions/81/…

— পল

হাই @ পল, আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ, সেই থ্রেডটি কি কেবল বিরল ম্যাট্রিক্স বা কোনও ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে?

— চৌহুয়াং

আপনার প্রশ্নের ব্যাপক সুযোগ রয়েছে এবং স্ট্যাকেক্সচেঞ্জে আমরা এখানে থাকা প্রশ্নোত্তর বিন্যাসের জন্য কিছুটা বিস্তৃত হতে পারি ... আপনি কি আগ্রহী ম্যাট্রিক্স সিস্টেমের কোনও নির্দিষ্ট শ্রেণি আছে?

— পল

@chaohuang এই বিষয় নিয়ে অসংখ্য বই রয়েছে। এই প্রশ্নটি একটি চিকিত্সক ডাক্তারকে জিজ্ঞাসার মতো যা তারা "সাধারণভাবে" চিকিত্সা কীভাবে বেছে নেয়। যদি আপনি এমন কোনও প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে চান যা সমস্যার নির্দিষ্ট শ্রেণীর সাথে সুনির্দিষ্ট নয়, আপনার ক্ষেত্রের সাথে কিছুটা সুনির্দিষ্টভাবে জিজ্ঞাসা করার জন্য পরিচিত হওয়া উচিত। অন্যথায়, আপনি যে নির্দিষ্ট সমস্যার সাথে সম্পর্কিত তা ব্যাখ্যা করুন explain

— জেড ব্রাউন

এফএকিউ থেকে: আপনি যদি এমন একটি পুরো বই কল্পনা করতে পারেন যা আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়, আপনি খুব বেশি জিজ্ঞাসা করছেন। এই প্রশ্নের সাথে যুক্ত পুরো জার্নাল এবং শত শত বই রয়েছে।

— ডেভিড কেচসন

Answer 1

আপনার প্রশ্নটি হ'ল ড্রাইভের উপর নির্ভর করে কোন স্ক্রু ড্রাইভারটি বেছে নেওয়ার জন্য জিজ্ঞাসা করার মতো (স্লট, ফিলিপস, টর্ক্স, ...): অনেক বেশি হওয়া ছাড়াও, পছন্দটিও নির্ভর করে যে আপনি কেবল একটি স্ক্রু শক্ত করতে চান বা একত্রিত করতে চান লাইব্রেরি তাক পুরো সেট। তবুও, আপনার প্রশ্নের আংশিক উত্তরে, লিনিয়ার সিস্টেম জন্য কোনও পদ্ধতি বেছে নেওয়ার সময় আপনার কয়েকটি বিষয় বিবেচনার জন্য রাখা উচিত । আমি নিজেকে বিবর্তিত ম্যাট্রিক্সের মধ্যেও সীমাবদ্ধ রাখব; অতিরিক্ত বা আন্ডারডাইটারিনাইমেড সিস্টেমগুলির কেসগুলি আলাদা বিষয় এবং সত্যই পৃথক প্রশ্ন হওয়া উচিত।$Ax=b$

যেমনটি আপনি সঠিকভাবে উল্লেখ করেছেন, বিকল্প 1 এবং 2 ঠিক আছে: বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করা এবং প্রয়োগ করা একটি অত্যন্ত খারাপ ধারণা, যেহেতু এটি অন্যান্য অ্যালগরিদমের একটির চেয়ে বেশি ব্যয়বহুল এবং প্রায়শই সংখ্যাগতভাবে কম স্থিতিশীল। এটি আপনাকে সরাসরি এবং পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির মধ্যে পছন্দ দিয়ে দেয়। প্রথমে বিবেচনা করা জিনিসটি ম্যাট্রিক্স , তবে আপনি সংখ্যাসূচক সমাধান থেকে কী আশা করছেন ˜ x :$A$$\tilde x$

1. এটি কতটা সঠিক হতে হবে? নেই , মেশিন স্পষ্টতা সিস্টেম আপ সমাধান করতে হবে বা আপনার সাথে সন্তুষ্ট ~ X পরিতৃপ্ত (বলুন) ‖ $\tilde x$$\tilde x$, যেখানেএক্স*সঠিক সমাধান?$\|\tilde x - x^*\| < 10^{-3}$$x^*$
2. আপনার কত দ্রুত দরকার? এখানে কেবলমাত্র প্রাসঙ্গিক মেট্রিক হ'ল আপনার মেশিনে ঘড়ির সময় - এমন একটি পদ্ধতি যা আপনার বিশাল আকারের ক্লাস্টারে পুরোপুরি স্কেল করে তা যদি আপনার কাছে না থাকে তবে সেরা পছন্দ নাও হতে পারে তবে সেই চকচকে নতুন টেসলা কার্ডগুলির একটি আপনার কাছে রয়েছে।

নিখরচায় দুপুরের খাবারের মতো কোনও জিনিস না থাকায় আপনাকে সাধারণত দুজনের মধ্যে বাণিজ্য-সংক্রান্ত সিদ্ধান্ত নিতে হবে। এর পরে, আপনি কোনও ভাল পদ্ধতির (বা তার পরিবর্তে, যে পদ্ধতির জন্য আপনি একটি ভাল বাস্তবায়ন পেতে পারেন) সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য ম্যাট্রিক্স (এবং আপনার হার্ডওয়্যার) সন্ধান করা শুরু করবেন। (এখানে কীভাবে আমি "সেরা" লেখাটি এড়িয়ে চললাম তা নোট করুন ...) এখানে সর্বাধিক প্রাসঙ্গিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে$A$

• গঠন : হয় প্রতিসম? এটা কি ঘন বা বিরল? ব্যাণ্ডেড?$A$
• Eigenvalues : তারা সব ইতিবাচক হয় (অর্থাত, হয় ইতিবাচক নির্দিষ্ট)? তারা ক্লাস্টার হয়? তাদের কারও কি খুব ছোট বা খুব বড় আকার রয়েছে?$A$

এটি মাথায় রেখে, আপনাকে তারপর (বিশাল) সাহিত্য ট্রল করতে হবে এবং আপনার নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য আপনি যে বিভিন্ন পদ্ধতি আবিষ্কার করেছেন তা মূল্যায়ন করতে হবে। এখানে কিছু সাধারণ মন্তব্য রয়েছে:

• আপনার সমাধানের জন্য যদি আপনার সত্যিই মেশিনের নির্ভুলতার প্রয়োজন হয় (অথবা কাছে যদি আপনার ম্যাট্রিক্স ছোট হয় (বলুন, সারি পর্যন্ত) তবে সরাসরি পদ্ধতিগুলিকে বীট করা শক্ত, বিশেষত ঘন সিস্টেমগুলির জন্য (যেহেতু এই ক্ষেত্রে, প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের গুণক) হতে হবে হে ( ঢ 2$1000$$\mathcal{O}(n^2)$$\mathcal{O}(n^3)$$A$

  এটি (বৃহত) স্পার্স ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও সত্য যদি আপনি মেমরির সমস্যায় না চলে: সাধারণভাবে স্পার্স ম্যাট্রিকগুলিতে একটি বিচ্ছুরিত LU পচন থাকে না এবং যদি উপাদানগুলি (দ্রুত) স্মৃতিতে ফিট করে না, তবে এই পদ্ধতিগুলি অকেজো হয়ে যায়।

  $A$

• $A$$A$

• আপনার যদি বার বার একই ম্যাট্রিক্স এবং বিভিন্ন ডান হাতের সাথে লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধান করার প্রয়োজন হয় তবে সরাসরি পদ্ধতিগুলি পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির তুলনায় দ্রুততর হতে পারে যেহেতু আপনাকে কেবল একবার পচন গুনতে হবে। (এটি অনুক্রমিক সমাধান গ্রহণ করে; আপনার যদি একই সাথে সমস্ত ডান পাশ থাকে তবে আপনি ব্লক ক্রিলোভ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন))

অবশ্যই, এটি কেবল খুব রুক্ষ গাইডলাইন: উপরের যে কোনও বিবৃতিতে সম্ভবত একটি ম্যাট্রিক্স উপস্থিত রয়েছে যার জন্য রূপান্তরটি সত্য ...

যেহেতু আপনি মন্তব্যে রেফারেন্স চেয়েছিলেন, তাই আপনাকে শুরু করার জন্য এখানে কয়েকটি পাঠ্যপুস্তক এবং পর্যালোচনা পত্র রয়েছে। (এগুলির মধ্যে - বা সেটটি কোনওটিই বিস্তৃত নয়; এই প্রশ্নটি অনেক বেশি বিস্তৃত এবং আপনার নির্দিষ্ট সমস্যার উপর খুব বেশি নির্ভর করে))

• গোলুব, ভ্যান anণ: ম্যাট্রিক্স কম্পিউটেশন (এখনও ম্যাট্রিক্স অ্যালগরিদমে ক্লাসিকাল রেফারেন্স; বহু প্রসারিত চতুর্থ সংস্করণে এখন বিচ্ছিন্ন ম্যাট্রিকগুলি নিয়েও আলোচনা করা হয়েছে এবং ফোর্ট্রানের জায়গায় মতলব কোড রয়েছে পাশাপাশি একটি বিস্তৃত গ্রন্থপঞ্জি রয়েছে)
• ডেভিস: স্পারস লিনিয়ার সিস্টেমগুলির জন্য সরাসরি পদ্ধতি (স্পার্স ম্যাট্রিক্সের পচন পদ্ধতিগুলির জন্য একটি ভাল ভূমিকা)
• ডাফ: সরাসরি পদ্ধতি (পর্যালোচনা কাগজ; স্পার্স ম্যাট্রিক্সের জন্য আধুনিক "মাল্টিফ্রন্টাল" সরাসরি পদ্ধতিগুলির বিষয়ে আরও বিশদ)
• সাদ: বিচ্ছিন্ন রৈখিক সিস্টেমের জন্য Iterative পদ্ধতি (তত্ত্ব এবং - কিছুটা কম - ক্রিলোভ পদ্ধতির অনুশীলন; পূর্ব শর্তও অন্তর্ভুক্ত)

Comments

আমি আপনার স্ক্রু ড্রাইভারের সাদৃশ্য পছন্দ করি!

— পল

@ চাওহুয়াং যদি এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয় তবে আপনার এটি গ্রহণ করা উচিত। (যদি তা না হয় তবে নিখোঁজ কী নিখুঁত করুন তা নির্ধারণ করুন))

— ক্রিশ্চান ক্লাসন

@ ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসন এটি গ্রহণ করেছে। আমি অপেক্ষা করছিলাম এবং আশা করছি যে কেউ আয়তক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্সের বিষয়ে কিছুটা আলোকপাত করতে পারে। যেহেতু এটি অনেক দিন হয়ে গেছে, আমি অনুমান করি যে এর আগে কোনও উত্তর কখনও আসবে না :(

— চৌহুয়াং

@ চাওহুয়াং আপনাকে ধন্যবাদ আপনি যদি এখনও আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিকগুলিতে আগ্রহী হন, আপনার "ওভারডাইটারিনাইমড সিস্টেমগুলি সমাধানের পদ্ধতি কীভাবে চয়ন করবেন" সম্পর্কিত একটি (লিঙ্কযুক্ত) প্রশ্ন করা উচিত।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

লিনিয়ার সমীকরণের বৃহত স্পার সিস্টেমগুলিকে সমাধান করার জন্য পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলির ব্যবহার সম্পর্কে এখানে একটি রেফারেন্স।

— চাহুয়াং

Answer 2

এনএজি লাইব্রেরি ম্যানুয়াল সম্পর্কিত প্রবন্ধের ৪ র্থ বিভাগে সিদ্ধান্ত গাছ আপনার কয়েকটি প্রশ্নের উত্তর (অংশে)।

Answer 3

ইগেন লাইব্রেরি ডকুমেন্টেশনেও বিভিন্ন ম্যাট্রিক্স পচন সম্পর্কে প্রচুর তথ্য সহ একটি সুন্দর ওভারভিউ পৃষ্ঠা রয়েছে:

http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TopicLinearAlgebraDecompositions.html