অগমেন্টেড ল্যাংরজিয়ামের জন্য দক্ষ পূর্বশর্ত

আমি অ-রৈখিক সাম্যতার সীমাবদ্ধতার সাথে একটি অ-রৈখিক সমস্যা সমাধান করতে চাই এবং আমি একটি জরিমানা নিয়মিতকরণ শব্দটির সাথে একটি বর্ধিত ল্যাঙ্গরিয়ান ব্যবহার করছি যা আমার লিনিয়ারাইজড সিস্টেমগুলির শর্ত সংখ্যাটি নষ্ট করে দেয় (প্রতিটি নিউটনের পুনরাবৃত্তিতে আমি বলতে চাইছি) । পেনাল্টি শব্দটি যত বড়, শর্ত সংখ্যাটি তত খারাপ। নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে এই খারাপ কন্ডিশনিং থেকে মুক্তি পাওয়ার কার্যকর উপায় কি কেউ জানতে পারবেন?

আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমি ক্লাসিকাল অ্যাগমেন্টেড ল্যাঙ্গাঞ্জিয়ান ব্যবহার করছি কারণ আমার প্রচুর প্রতিবন্ধকতা রয়েছে যা সাধারণত অনর্থক হতে পারে। তাই অন্ধভাবে আড়ম্বরপূর্ণ দিকগুলিকে প্রাথমিক ভেরিয়েবলগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করা খুব সুবিধাজনক। আমি সরাসরি KKT সিস্টেমে পরিবর্তনশীল নির্মূলকরণ বা দক্ষ পূর্বশর্তীদের উপর ভিত্তি করে আরও পরিশীলিত পদ্ধতির চেষ্টা করেছি তবে, সীমাবদ্ধতার কারণে আমার কিছুটা সমস্যা রয়েছে।

ভেরিয়েবল সম্পর্কিত সমস্যাটি আমার ল্যাংরিজিয়ানকে রূপ হিসাবে অনুসরণ করে তৈরি করা হয়েছে $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

L (u, λ) := W (u) + ρ λ^{T} c (u) + \frac{ρ}{2} c^{2} (u)

$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$

সুতরাং সাধারণত প্রতিটি নিউটনের পুনরাবৃত্তির লক্ষ্য হ'ল ফর্মের একটি সমস্যা সমাধান করা (আমরা সীমাবদ্ধতার হেসিয়ান ছেড়ে দেই) এবং

A Δ u = b

$A \Delta u = b$

A (u, ρ) := \nabla_{u}^{2} W (u) + ρ C^{T} (u) C (u)

$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$

এবং মূলধন

জন্য বোঝানো হয়

।

b (u, ρ) := - (\nabla_{u} W (u) + (ρ + λ^{T} c (u)) \nabla_{u} (u))

$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$

C

$C$

C (u) := \nabla_{u} c (u)

$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

ধন্যবাদ.

linear-solver preconditioning constrained-optimization

— টম
সূত্র

হাই টম. Scicomp স্বাগতম। আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে আমাদের সহায়তা করার জন্য, আপনি যে সমীকরণগুলি সমাধান করার চেষ্টা করছেন তা কি লিখতে পারেন?

— পল

A Δ u = b

$A\Delta u=b$

ওহো দুঃখিত. হ্যাঁ, নিশ্চিত

— টম

উত্তর:

সমস্যা কাঠামোর উপর নির্ভর করে, আপনি সরাসরি শর্তযুক্ত অগমেন্টেড ল্যাঙ্গরজিয়ান সিস্টেমটি সমাধান করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, বিডিডিসি / এফইটিআই-ডিপি পয়েসন রেশিও (সাবডোমেনের উপর টুকরোয়া ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে চলে যায়) পোইসন রেশিও থেকে আলাদা এক রূপান্তর হারের সাথে প্রাথমিক আকারে প্রায়-সংকোচনের স্থিতিস্থাপকতা সমাধান করতে পারে। একইভাবে, মাল্টিগ্রিড পদ্ধতিগুলি যা ভলিউম্যাট্রিক মোডের পুনরুত্পাদন করে তার এই সম্পত্তি থাকতে পারে। এই জাতীয় পদ্ধতিগুলি সমস্যা-নির্দিষ্ট এবং সাধারণভাবে, বড় জরিমানার ফলে এমন শর্তাদি আসে যা পূর্বশর্ত করা কঠিন।

পূর্বশর্ত নির্বাচনের ক্ষেত্রে আরও নমনীয়তার অনুমতি দেওয়ার জন্য, আমি সুস্পষ্ট দ্বৈত ভেরিয়েবলগুলি প্রবর্তন এবং বৃহত্তর স্যাডল পয়েন্ট সিস্টেম লেখার পরামর্শ দিচ্ছি

(\begin{matrix} A & C^{T} \\ C & - ρ^{- 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$

$A - \tilde\rho C^T C$ $\tilde \rho \le \rho$ $-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$ PCFIELDSPLIT

আপনি যদি আপনার সমস্যার উত্স সম্পর্কে আরও সুনির্দিষ্ট করতে পারেন (আপনি কী হ্রাস করছেন এবং সীমাবদ্ধতাটি কী) তবে আমি আরও নির্দিষ্ট উল্লেখ উল্লেখ করতে সক্ষম হতে পারি।

— জেড ব্রাউন
সূত্র

নিয়ন্ত্রিত সিস্টেমের পূর্বশর্তীরা আমার জন্য কিছু নতুন উপায় খুলুন! তবে আমার সব কিছু হজম করার জন্য কিছুটা সময় প্রয়োজন, আপনি কিছু মনে না করলে কিছুক্ষণ পরেই আপনার কাছে ফিরে আসতে পারি your আপনার উত্তরগুলির জন্য আপনাকে উভয়কেই ধন্যবাদ।

— টম

কেটি শর্তে লুণ্ঠিত শর্তগুলির জন্য অতিরিক্ত ভেরিয়েবলগুলি উপস্থাপন করুন এবং আপনি মেট্রিক্সে পেনাল্টি ফ্যাক্টরের বিপরীত ব্যবস্থার সাথে একটি বৃহত প্রতিসম সিস্টেম খুঁজে পেতে পারেন যা সংখ্যায় ভাল আচরণ করে।

$(A+\rho C^TC)x=b~$ $\rho$ $y=\rho Cx$ $Ax+C^Ty=b$ $Cx-\rho^{-1}y=0$

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র

c (u) = 0

$c(\mathbf u) = 0$

u

$\mathbf u$

c (x_{s}, x_{1}, x_{2}) = (x_{2} - x_{1}) n

$c(x_s,x_1,x_2)= (x_2-x_1) \mathbf n$

x_{s}

$x_s$

\[x_{1}, x_{2} \]

$x_1,x_2$

— টম

@ টম: আমি ননলাইনার সমস্যাটি বোঝাতে চাইনি তবে আপনি যে শর্তসাপেক্ষ সমীকরণগুলি দিয়ে শেষ করেছেন। আপনি যে লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করতে চান তার ফর্মটি এবং কীভাবে পেনাল্টি প্যারামিটার প্রবেশ করান দয়া করে লিখুন (আপনার প্রশ্ন সম্পাদনা করে)।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

আমি অতিরিক্ত ভেরিয়েবলের পরিচয় করিয়ে দেওয়ার কৌশলটি কীভাবে আবিষ্কার করব তা বোঝার চেষ্টা করছি ... আপনি কি আমাকে একটি রেফারেন্স পাঠাতে পারবেন? আপনাকে অনেক ধন্যবাদ!

— টম

@ টম: সম্পাদিত উত্তর দেখুন।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

ρ

$\rho$

ρ^{- 1} \approx 0

$\rho^{-1} \approx 0$