সরাসরি পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় অসুস্থতার লক্ষণগুলি কী কী?

মনে করুন আমাদের একটি লিনিয়ার সিস্টেম রয়েছে এবং আমরা এর কন্ডিশনার সম্পর্কে কিছুই জানি না এবং সমাধান সম্পর্কে প্রাথমিক কোনও তথ্য নেই। আমরা অন্ধভাবে গাউসিয়ান নির্মূল প্রয়োগ করি এবং কিছু সমাধান $x$ । এই সমাধানটি ম্যাট্রিক্সের প্রাথমিক প্রাথমিক বিশ্লেষণ ছাড়াই বিশ্বাসযোগ্য (অর্থাত্ সিস্টেমটি ভালভাবে কন্ডিশনারযুক্ত) কিনা তা নির্ধারণ করা সম্ভব ? পিভটসের পরিমাণ কী নির্ভরযোগ্য তথ্য দেয়?

এবং সাধারণত, "উড়ানের দিকে" অসুস্থতা সনাক্ত করার জন্য প্রধান নির্দেশিকা কী?

linear-solver condition-number conditioning

— faleichik
সূত্র

উত্তর:

কখন ম্যাট্রিক্স অসুস্থ হয় ? এটি আপনি যে সমাধানটির সন্ধান করছেন তার নির্ভুলতার উপর নির্ভর করে, যতটা "সৌন্দর্য দর্শকের চোখে পড়ে" ...

আপনার প্রশ্নটি কি আরও ভালভাবে পুনঃব্যবস্থা করা উচিত কারণ ফ্যাক্টেরাইজেশনের ভিত্তিতে সস্তা এবং শক্তিশালী শর্ত নম্বর অনুমানকারী রয়েছে ? $LU$

ধরে নিই যে আপনি দ্বৈত নির্ভুল গাণিতিক ক্ষেত্রে আসল সাধারণ (ঘন, প্রতিসামগ্রী) সমস্যাটিতে আগ্রহী আমি আপনাকে সুপারিশ করব ল্যাপাক বিশেষজ্ঞ সলভার ডিজিইএসভিএক্স ব্যবহার করুন যা এর পারস্পরিক আকারে একটি শর্তের প্রাক্কলন সরবরাহ করে, । বোনাস হিসাবে আপনার কাছে অন্যান্য জিনিস যেমন সমীকরণ ভারসাম্য / ভারসাম্য, পুনরুদ্ধার সংশোধন, এগিয়ে এবং পিছনের ত্রুটি সীমা রয়েছে। উপায় দ্বারা, প্যাথলজিকাল অসুস্থ কন্ডিশনার ( ) দ্বারা ত্রুটি হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে । $\text{RCOND}\approx 1/\kappa(A)$ $\kappa(A) > 1/\epsilon$ INFO>0

(বা আরো বিস্তারিত যাবার আগে LAPACK 1-আদর্শ মধ্যে শর্ত সংখ্যা অনুমান আপনি সমাধান করছে -norm এর মাধ্যমে) DGECON । অন্তর্নিহিত অ্যালগরিদম লন 36-তে বর্ণিত হয়েছে: "শর্ত অনুমানের জন্য শক্তসমর্থ ত্রিভুজাকার সমাধান" । $\infty$ $A^T x = b$

আমাকে স্বীকার করতে হবে যে আমি এই অঞ্চলের বিশেষজ্ঞ নই, তবে আমার দর্শনটি হ'ল: "এটি যদি ল্যাপাকের পক্ষে যথেষ্ট ভাল হয় তবে তা আমার পক্ষে"।

— স্টেফানো এম
সূত্র

আদর্শ 1 এর ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি শর্তাধীন শর্তযুক্ত সমীকরণের সমাধানের ক্ষেত্রে আদর্শ 1 এর এলোমেলো ডান হাতের শর্ত সংখ্যাটির ক্রমটির একটি উচ্চতর সম্ভাবনা থাকবে। এই জাতীয় কয়েকটি সমাধানের গণনা করা আপনাকে কী ঘটছে তা বলবে।

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র

ফলাফলটি সর্বাধিকীকরণের জন্য অনুসন্ধানের দিকটি পুনরায় সংশোধন করার জন্য এবং কাস্টম ত্রিভুজাকার সলভার (বিএলএএস নয়) ব্যবহার করে যাতে জিনিসগুলি আনুমানিক ত্রুটি দ্বারা আঁকানো না যায় সেজন্য ডিজিজোন এটি করছে indeed ডিজিজোনের গণনা ব্যয়টি আপনার সাধারণ পরীক্ষার সাথে তুলনীয়। ম্যাট্রিক্স নীতি এবং শর্ত সংখ্যাটির সহজ অর্থ আমাদের মনে রাখার জন্য +1। এটি আবিষ্কার করা আকর্ষণীয় হওয়া উচিত যে ডিজিজন একটি সাধারণ এলোমেলো চেকের সত্যই বেশি শক্তিশালী কিনা।

— স্টেফানো এম

একাউন্টে গ্রহণ যে সমাধানে অবস্থার সংখ্যা

কম্পিউটিং অবস্থার সংখ্যা সঙ্গে সমানুপাতিক

এটা শুধু প্রকৃত সমাধান পরিবর্তে ঐ র্যান্ডম ভেক্টর দিয়ে মাপা যায়না ম্যাট্রিক্স গুন যথেষ্ট নয়

A x = b

$Ax=b$

A x

$Ax$

A x = b

$Ax=b$

— ফালিচিক

@faleichik নিশ্চিত কোন জন্য: কৌতুক এখানে স্কেল হয়

যাতে

এবং

। অবশ্যই, এই রৈখিক বীজগণিত হচ্ছে, আপনি আসলে আকার পরিবর্তন করতে হবে না

কিন্তু শুধুমাত্র

... তবুও আপনাকে প্রথমে গনা প্রয়োজন

। আপনার বিপরীত যুক্তির জন্য প্রথমে

গণনা করা দরকার

A

$A$

‖ A ‖ = 1

$\| A \| = 1$

κ (A) = ‖ A ‖ \cdot ‖ A^{- 1} ‖ = ‖ A^{- 1} ‖

$\kappa(A) = \| A \| \cdot \| A^{-1} \| = \| A^{-1} \|$

A

$A$

A x

$Ax$

‖ A ‖

$\| A \|$

‖ A^{- 1} ‖

$\| A^{-1} \|$ যা আমরা মূল্যায়ন করার চেষ্টা করছি।

— স্টেফানো এম

আপনার সিস্টেমটি কেবলমাত্র একটি ফলাফল থেকে অসুস্থ অবস্থা কিনা তা বলা প্রায় অসম্ভব। আপনার সিস্টেমের আচরণের বিষয়ে আপনার যদি কিছুটা দূরদৃষ্টি না থাকে (তবে সমাধানটি কী হওয়া উচিত তা জেনে রাখুন), একক সমাধান থেকে আপনি বেশি কিছু বলতে পারবেন না।

এটি বলার পরে, আপনি যদি একই দিয়ে একাধিক সিস্টেম সমাধান করেন তবে আপনি আরও তথ্য অর্জন করতে পারেন । ধরুন আপনার কাছে ফর্মের একটি সিস্টেম রয়েছে । নির্দিষ্ট ক এর জন্য যা এর কন্ডিশনার সম্পর্কে আপনার পূর্বের জ্ঞান নেই, আপনি নিম্নলিখিত পরীক্ষাটি করতে পারেন: $A$ $Ax=b$

সমাধান একটি নির্দিষ্ট ডান দিকে ভেক্টর জন্য । $Ax=b$ $b$
করে আপনার ডান দিকে ভেক্টর বিমূঢ় যেখানে তুলনায় খুবই ছোট । $b_{new}=b+\mathbf{\varepsilon}$ $||\mathbf{\epsilon}||$ $||b||$
সমাধান । $Ax_{new}=b_{new}$
যদি আপনার সিস্টেমটি শীতাতপ নিয়ন্ত্রিত হয় তবে আপনার নতুন সমাধানটি আপনার পুরানো সমাধানের (যেমন ছোট হওয়া উচিত) মোটামুটি কাছাকাছি হওয়া উচিত। আপনি যদি আপনার নতুন সমাধানটিতে নাটকীয় পরিবর্তন লক্ষ্য করেন (যেমন বড়) তবে আপনার সিস্টেমটি সম্ভবত অসুস্থ is $||x-x_{new}||$ $||x-x_{new}||$

সিস্টেমটি শর্তাধীন কিনা আপনার আরও ভাল ইঙ্গিত দেওয়ার জন্য আপনার ডান হাতের বিভিন্ন ভেক্টর সহ বেশ কয়েকটি লিনিয়ার সিস্টেমগুলি সমাধান করার প্রয়োজন হতে পারে। অবশ্যই, এই প্রক্রিয়া (একটু ব্যয়বহুল প্রথম সমাধান এবং জন্য অপারেশন প্রত্যেক ক্রমানুযায়ী সমাধান জন্য অপারেশন, আপনার সরাসরি সমাধানকারী অভিমানী তার কারণের সংরক্ষণ)। আপনার ম্যাট্রিক্স এ যদি মোটামুটি ছোট হয় তবে এটি কোনও সমস্যা নয়। যদি এটি বড় হয় তবে আপনি এটি করতে চাইবেন না। পরিবর্তে, আপনি শর্ত নম্বর গণনা করা ভাল হতে পারে $\Theta(n^3)$ $\Theta(n^2)$ একটি সুবিধাজনক নিয়মে। $||A||\cdot||A^{-1}||$

— পল
সূত্র

আপনার

দাবি সত্য থেকে অত্যন্ত দূরে। এমনকি

ঘন হলেও,

একবারে

কাজের সাথে যুক্ত হতে পারে এবং তারপরে প্রতিটি সমাধানের জন্য কেবল

কাজ প্রয়োজন।

Θ (k n^{3})

$\Theta(kn^3)$

A

$A$

A

$A$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— জ্যাক পলসন

@ জ্যাকপলসন: আপনি একেবারে ঠিক বলেছেন ... আমার ধারণা আমি এ সম্পর্কে পুরোপুরি ফাঁক করে দিয়েছি। কোনও উদ্বেগ নেই :) আমি আমার উত্তর আপডেট করব

— পল

| | A x - b | |

$||Ax - b ||$

| | A | | \cdot | | x | |

$||A||\cdot||x||$ a nearly singular

A

$A$ might give a meaningful residual even if its solution is very bad.

— Reid.Atcheson

@Reid.Atcheson: Not really. The approximate solution to an ill conditioned system can still produce a small residual. This does not really doesn't give you any indication as to how far away it is from the true solution.

— Paul

May be it is more wise to explicitly state

‖ ε ‖

$\|\varepsilon\|$ very small with respect to

‖ b ‖

$\|b\|$ . Everything is relative in this area... Most readers will know, but someone could be mislead in dangerous waters.

— Stefano M