মতলব / অক্টেভের একটি বৃহত ম্যাট্রিক্সের শর্ত সংখ্যা গণনা করার জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম

9

শর্ত সংখ্যার সংজ্ঞা থেকে মনে হয় এটি গণনা করার জন্য একটি ম্যাট্রিক্স বিপরীতের প্রয়োজন, আমি ভাবছি যে জেনেরিক বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য (বা আরও ভাল প্রতিসম পজিটিভ সুনির্দিষ্ট হলে) কোনও শর্ত সংখ্যা গণনা করার জন্য কিছু ম্যাট্রিক্স পচনের কাজে লাগানো সম্ভব কিনা? দ্রুত উপায়

linear-algebra matrix condition-number

— linello
সূত্র

7

শর্ত সংখ্যাটি গণনা করা (এমনকি এটি 2 টির ফ্যাক্টরের অভ্যন্তরেও প্রায়) এটির জটিলতা গণনা করার মতোই জটিল বলে মনে হচ্ছে, যদিও এই দিকটিতে কোনও উপপাদ্য নেই।

একটি বিরল Cholesky ফ্যাক্টর থেকে $R$ একটি প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স, বা একটি বিরল থেকে $QR$ অনুষঙ্গীকরণ (অন্তর্নিহিত সহ) $Q$ ) সাধারণ বর্গক্ষেত্রের ম্যাট্রিক্সের, পৃথক বিপরীতমুখী উপসেটটি গণনা করে কেউ ফ্রোবিনিয়াস রীতিতে শর্ত সংখ্যা অর্জন করতে পারে $(R^TR)^{-1}$ , যা সম্পূর্ণ বিপরীত গণনার চেয়ে অনেক দ্রুত। (এটি সম্পর্কিত আমার কাগজটি: হাইব্রিড নিয়ম এবং ওভারডেট্রাইমিন্ডড লিনিয়ার সিস্টেমের সীমানা, লিনিয়ার বীজগণিত অ্যাপল। 216 (1995), 257-266 http:// http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf )

সম্পাদনা: যদি $A=QR$ তারপরে কোনও এককভাবে আক্রমণকারী নর্নকে সম্মান করে

c o n d (A) = c o n d (R) = \sqrt{c o n d (R^{T} R)} .

$cond(A)=cond(R)=\sqrt{cond(R^TR)}.$ স্পারস কিউআর ফ্যাক্টরিফিকেশনগুলির গণনার জন্য দেখুন, যেমন,
http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408 ।
স্পার্স বিপরীত গণনার জন্য, দেখুন, যেমন, আমার কাগজ: বিচ্ছিন্ন রৈখিক মডেলগুলিতে সমবায় সম্পর্কিত সর্বাধিক সম্ভাবনা অনুমান, জিনেটিক্স নির্বাচন বিবর্তন 30 (1998), 1-24।
https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/reml.pdf গুণমানের জন্য ব্যয় ব্যয় প্রায় 3 গুণ।

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র

সুতরাং আপনি নীচের পরামর্শ দিচ্ছেন: একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে

A

$\mathbf{A}$ এটির ফর্মের কিউআর গণনা করুন

A = Q R

$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}$ কোথায়

R

$\mathbf{R}$ একটি উচ্চতর ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স এবং

Q

$\mathbf{Q}$ একটি orthogonal ম্যাট্রিক্স এবং তারপরে শর্ত নম্বর দ্বারা দেওয়া হয়

cond (A) = | | A | | | | A^{- 1} | | (R^{T} R)^{- 1}

$\textrm{cond}(\mathbf{A})=||A|| ||A^{-1}|| (\mathbf{R}^T\mathbf{R})^{-1}$ এখানে বক্তব্যটি কীভাবে একটি QR ফ্যাক্টেরাইজেশন গণনা করার জন্য একটি দ্রুত পদ্ধতিটি সন্ধান করতে হয়। আমি কি সঠিক?

— লাইনলো

@ লাইনলো: বেশ নয়; আমার সম্পাদনা দেখুন।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

ধন্যবাদ! আমি এটি যাচ্ছি, বিটিডব্লিউ এই পদক্ষেপের দাম কত?

— লাইনলো

@ লাইনলো: পুরো ম্যাট্রিক্সের জন্য,

O (n^{3})

$O(n^3)$ ; একটি বিরল ম্যাট্রিক্সের জন্য, এটি স্পারসিটি স্ট্রাকচারের উপর অনেক নির্ভর করে।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

4

শর্তের সংখ্যা গণনা করার জন্য একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সাধারণ ইগেনভ্যালু / ইগেনভেেক্টর পচন বা সাধারণ ম্যাট্রিক্সের এসভিডি ব্যবহার করা অবশ্যই সহজ, তবে এগুলি এগিয়ে যাওয়ার বিশেষ উপায় নয়।

পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদম রয়েছে যা শর্ত সংখ্যার একটি অনুমান গণনা করতে পারে যা কম্পিউটিংয়ের সমস্ত কাজ না করে বেশিরভাগ উদ্দেশ্যে কার্যকর is $A^{-1}$ । উদাহরণস্বরূপ condestম্যাটল্যাবে ফাংশনটি দেখুন ।

— ব্রায়ান বোর্চার্স
সূত্র

তবে অনুমানটি কখনও কখনও উল্লেখযোগ্যভাবে খুব ছোট হয়। শর্ত সংখ্যাটি গণনা করা (এমনকি এটি 2 টির ফ্যাক্টরের অভ্যন্তরেও প্রায়) এটির জটিলতা গণনা করার মতোই জটিল বলে মনে হচ্ছে, যদিও এই দিকটিতে কোনও উপপাদ্য নেই।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

1

বিরল হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্সের জন্য $H$ , আপনি এর আইজভ্যালুগুলি গণনা করতে ল্যাঙ্কজোস অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন। যদি $H$ হার্মিটিয়ান নয়, আপনি এর একক মানগুলি গণনার মাধ্যমে এর একক মানগুলি গণনা করতে পারেন $H^TH$ ।

যেহেতু বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ইগেনভ্যালু / সিঙ্গুলারালুগুলি খুব দ্রুত পাওয়া যায় (ট্রাইডিয়োনালাইজেশন সম্পূর্ণ হওয়ার অনেক আগে), ল্যানকসোস পদ্ধতিটি শর্ত সংখ্যাটি গণনা করতে বিশেষভাবে কার্যকর।

— chaohuang
সূত্র

আমি সর্বদা ভাবছিলাম কোথায় ল্যানকজোস পুনরাবৃত্তির জন্য একটি পঠনযোগ্য মাতলাব কোডটি কোথায় পাওয়া যাবে যা স্পষ্ট করে যে কীভাবে সবচেয়ে ছোট বা বৃহত্তম এগেনালু পাবেন। আপনি কি আমাকে একটি পরামর্শ দিতে পারেন?

— লাইনলো

ল্যাঙ্কজোস অ্যালগরিদমের জন্য আমার কাছে ম্যাটল্যাব কোড নেই।

— চাহুয়াং