পিডিই সমাধান করার সময় স্থানীয় সংরক্ষণ কেন গুরুত্বপূর্ণ?

30

ইঞ্জিনিয়াররা প্রায়শই স্থানীয়ভাবে রক্ষণশীল পদ্ধতি যেমন পিডিইগুলি সমাধানের জন্য সীমাবদ্ধ ভলিউম, রক্ষণশীল সসীম পার্থক্য, বা বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন পদ্ধতি ব্যবহার করার জন্য জোর দিয়ে থাকেন।

স্থানীয়ভাবে রক্ষণশীল নয় এমন কোনও পদ্ধতি ব্যবহার করার সময় কী ভুল হতে পারে?

ঠিক আছে, তাই স্থানীয় সংরক্ষণ হাইপারবোলিক পিডিইগুলির জন্য গুরুত্বপূর্ণ, উপবৃত্তাকার পিডিই সম্পর্কে কী বলা যায়?

pde hyperbolic-pde fluid-dynamics

— জেড ব্রাউন
সূত্র

30

ননলাইনার হাইপারবারিক পিডিইগুলির সমাধানে, প্রাথমিক অবস্থা মসৃণ হওয়া সত্ত্বেও বিচ্ছিন্নতা ("শক") উপস্থিত হয়। বিযুক্তির উপস্থিতিতে, সমাধানের ধারণাটি কেবল দুর্বল অর্থে সংজ্ঞায়িত করা যায়। একটি শকের সংখ্যার বেগটি সঠিকভাবে র্যাঙ্কাইন-হুগনিওট শর্ত আরোপিত হওয়ার উপর নির্ভর করে, যা স্থানীয়ভাবে সংহত সংরক্ষণ আইনকে সংখ্যাসূচকভাবে সন্তুষ্ট করার উপর নির্ভর করে। Lax-Wendroff উপপাদ্য গ্যারান্টী বা নিশ্চয়তা দিচ্ছে যে একটি কেন্দ্রমুখী সংখ্যাসূচক পদ্ধতি হাইপারবোলিক সংরক্ষণ আইনের একটি দুর্বল সমাধান বিন্দুতে মিলিত হবে শুধুমাত্র যদি পদ্ধতি রক্ষণশীল হয়।

কেবল আপনাকে রক্ষণশীল পদ্ধতি ব্যবহার করার দরকার নেই, আসলে আপনাকে এমন একটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে যা সঠিক পরিমাণ সংরক্ষণ করবে। লেভেকের "হাইপারবোলিক সমস্যাগুলির জন্য সীমাবদ্ধ ভলিউম পদ্ধতি", বিভাগ 11.12 এবং বিভাগ 12.9 এ এটি ব্যাখ্যা করার জন্য একটি দুর্দান্ত উদাহরণ রয়েছে। আপনি যদি বার্গার সমীকরণকে বিবেচনা করেন

u_{t} + 1 / 2 (u^{2})_{x} = 0

$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$

ধারাবাহিক বিবেচনার মাধ্যমে

U_{i}^{n + 1} = U_{i}^{n} - \frac{Δ t}{Δ x} U_{i}^{n} (U_{i}^{n} - U_{i - 1}^{n})

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$

আপনি পর্যবেক্ষণ করবেন যে ধাক্কাগুলি ভুল গতিতে চলেছে, আপনি গ্রিডটিকে কতটা পরিমার্জন করুন। অর্থাত, সংখ্যার দ্রবণটি প্রকৃত সমাধানে রূপান্তরিত করবে না । আপনি যদি পরিবর্তে রক্ষণশীল বিবেচনা ব্যবহার করেন

U_{i}^{n + 1} = U_{i}^{n} - \frac{Δ t}{2 Δ x} ((U_{i}^{n})^{2} - (U_{i - 1}^{n})^{2})

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$

ফ্লাক্স-ডিফারেন্সিংয়ের ভিত্তিতে, ধাক্কা সঠিক গতিতে চলে যাবে (যা এই সমীকরণের জন্য রাজ্যের গড় বাম এবং শকের ডানদিকে)। আমার লেখা আইপিথন নোটবুকটিতে এই উদাহরণটি চিত্রিত হয়েছে ।

লিনিয়ার হাইপারবোলিক পিডিইগুলির জন্য, এবং অন্যান্য ধরণের পিডিইগুলির জন্য যা সাধারণত মসৃণ সমাধান করে, স্থানীয় সংরক্ষণ কনভার্সনের জন্য প্রয়োজনীয় উপাদান নয়। তবে এটি অন্যান্য কারণেও গুরুত্বপূর্ণ হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, মোট ভর যদি আগ্রহের পরিমাণ হয়)।

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

6

আমি মনে করি আপনার প্রশ্নের একটি উত্তর হ'ল নির্দিষ্ট সম্প্রদায়গুলি সর্বদা রক্ষণশীল পরিকল্পনাগুলি ব্যবহার করে এবং তাই এটি "এটি যেভাবে হয়েছে তার" অংশ হয়ে গেছে। কেউ এটি যুক্তি করতে পারে যে এটি করা সবচেয়ে ভাল উপায়, তবে ব্রিটিশদের ডানদিকে চালনা করতে বলার মতো ফলদায়ক কারণ এটি কেবল স্ট্যান্ডার্ড দিকের পক্ষে থাকা আরও সহজতর।

এটি বলেছিল, আমি এটির ক্ষেত্রে দরকারী দেখতে পাচ্ছি। উদাহরণস্বরূপ, দ্বি-পর্বের ছিদ্রযুক্ত মিডিয়া প্রবাহ সম্পর্কে ভাবেন। এই সমস্যাটি সাধারণত নিম্নলিখিত উপায়ে উত্থাপিত হয়: এখানে, সমস্যার একটি অংশ হ'ল মিক্সড ল্যাপ্লেসকে সমাধান করা যা প্রথম দুটি সমীকরণ তৈরি করে, যা র্যাভার্ট-টমাস উপাদান ব্যবহার করে elementsতিহ্যগতভাবে সম্পন্ন একটি কাজ। এগুলি প্রায়শই "গণ সংরক্ষণ নিশ্চিতকরণের গুরুত্ব" কারণেই নির্বাচিত হয় এবং এক অর্থে আমি বুঝতে পারি যে: আপনি যদি এমন একটি বেগের ক্ষেত্রের সাথে সমাপ্ত হন যা গণ রক্ষণশীল নয়, আপনি একটি স্যাচুরেশন সমীকরণ পাবেন যা সামগ্রিকভাবে সংরক্ষণ করে না পরিবহন তরল ভর। অবশ্যই যে তর্ক করতে পারে যে '

u + K \nabla p = 0 \nabla \cdot u = f \partial_{t} S + u \cdot \nabla S = q .

$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$

h \to 0

$h\rightarrow 0$ , তবে এই সম্পত্তিটি সীমাবদ্ধ জাল আকারের জন্যও রয়েছে তা নিশ্চিত করার জেদ কিছুটা অর্থপূর্ণ নয়।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

3

অনেক সময়, সমাধান করা সমীকরণগুলি একটি শারীরিক সংরক্ষণ আইনকে উপস্থাপন করে। উদাহরণস্বরূপ, তরল গতিবিদ্যার জন্য অয়লার সমীকরণগুলি ভর, গতি এবং শক্তি সংরক্ষণের উপস্থাপনা। আমরা যে মডেলিং করছি তার অন্তর্নিহিত বাস্তবতা রক্ষণশীল, এটি রক্ষণশীল এমন পদ্ধতিগুলি বেছে নেওয়া সুবিধাজনক Give

আপনি বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় ক্ষেত্রগুলির সাথেও অনুরূপ কিছু দেখতে পারেন। ম্যাক্সওয়েলের আইনগুলি চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের জন্য বিচ্যুতি মুক্ত শর্তকে অন্তর্ভুক্ত করে তবে ক্ষেত্রগুলির বিবর্তনে এই সমীকরণটি সর্বদা ব্যবহৃত হয় না। একটি পদ্ধতি যা এই অবস্থা সংরক্ষণ করে (উদাহরণস্বরূপ: সীমাবদ্ধ পরিবহন) বাস্তবের পদার্থবিজ্ঞানের সাথে মেলে helps

সম্পাদনা: @ হার্ডমথ উল্লেখ করেছেন যে আমি প্রশ্নের "অংশ কী ভুল হতে পারে" সম্বোধন করতে ভুলে গেছি (ধন্যবাদ!) প্রশ্নটি বিশেষত ইঞ্জিনিয়ারদের বোঝায়, তবে আমি আমার নিজের ক্ষেত্রের (অ্যাস্ট্রোফিজিক্স) কয়েকটি উদাহরণ সরবরাহ করব এবং আশা করি তারা ইঞ্জিনিয়ারিং অ্যাপ্লিকেশনটিতে কী ভুল হতে পারে তার সাধারণীকরণের জন্য যথেষ্ট ধারণাটি চিত্রিত করতে সহায়তা করবে।

(1) একটি সুপারনোভা অনুকরণ করার সময়, আপনার কাছে পারমাণবিক বিক্রিয়া নেটওয়ার্কের সাথে তরল গতিবিদ্যা যুক্ত রয়েছে (এবং অন্যান্য পদার্থবিজ্ঞান, তবে আমরা এটি উপেক্ষা করব)। অনেক পারমাণবিক প্রতিক্রিয়া তাপমাত্রার উপর দৃ strongly়ভাবে নির্ভর করে, যা (প্রথম অর্ডারের আনুমানিক) শক্তির কিছু পরিমাপ। আপনি যদি শক্তি সংরক্ষণ করতে ব্যর্থ হন তবে আপনার তাপমাত্রা হয় খুব বেশি হয়ে যাবে (এক্ষেত্রে আপনার প্রতিক্রিয়াগুলি খুব দ্রুত চালিত হয় এবং আপনি আরও বেশি শক্তি প্রবর্তন করেন এবং আপনি একটি পালিয়ে যেতে পারেন যা বিদ্যমান ছিল না) বা খুব কম (এই ক্ষেত্রে আপনার প্রতিক্রিয়াগুলি খুব ধীরে চালান এবং আপনি একটি সুপারনোভা শক্তি করতে পারবেন না)।

(২) বাইনারি তারার অনুকরণ করার সময়, কৌণিক গতি সংরক্ষণের জন্য আপনাকে গতির সমীকরণটি পুনরায় আটকাতে হবে। আপনি যদি কৌণিক গতি সংরক্ষণ করতে ব্যর্থ হন তবে আপনার তারকারা একে অপরকে সঠিকভাবে প্রদক্ষিণ করতে পারবেন না। যদি তারা অতিরিক্ত কৌণিক গতি অর্জন করে তবে তারা পৃথক হয় এবং সঠিকভাবে মিথস্ক্রিয়া বন্ধ করে দেয়। যদি কৌণিক গতি হারাতে থাকে তবে তারা একে অপরের সাথে ক্রাশ হয়। স্টারলার ডিস্ক সিমুলেট করার সময় অনুরূপ সমস্যাগুলি দেখা দেয়। (রৈখিক) গতির সংরক্ষণ বাঞ্ছনীয়, কারণ পদার্থবিজ্ঞানের আইনগুলি রৈখিক গতি সংরক্ষণ করে তবে কখনও কখনও আপনাকে রৈখিক গতি ত্যাগ করতে হবে এবং কৌণিক গতি সংরক্ষণ করতে হবে কারণ এটি হাতের সমস্যার জন্য আরও গুরুত্বপূর্ণ।

আমাকে স্বীকার করতে হবে, চৌম্বকীয় ক্ষেত্রগুলির বিচ্যুতি মুক্ত অবস্থার উদ্ধৃতি দেওয়ার পরেও আমি সেখানে তেমন জ্ঞানী নই। বিচ্যুতি মুক্ত অবস্থার বজায় রাখতে ব্যর্থতা চৌম্বকীয় মনোপোল তৈরি করতে পারে (যা বর্তমানে আমাদের কোনও প্রমাণ নেই), তবে আমার কাছে এমন কোনও ভাল উদাহরণ নেই যা ইস্যুগুলির জন্য সিমুলেশন তৈরি করতে পারে।

— ব্রেন্ডন
সূত্র

যে পদ্ধতিগুলি স্পষ্টভাবে বিচ্যুতি মুক্ত শর্ত চাপিয়ে দেয় না (যেমন গ্যালারকিন পদ্ধতির ট্রায়াল ফাংশনগুলিতে) প্রশ্নটি যা জিজ্ঞাসা করে তার একটি ভাল চিত্র বলে মনে হয় তবে "[ডাব্লু] টুপি" আলোচনা করতে পারে এ জাতীয় সেটিংয়ে ভুল করুন। আমি জানি অবিশ্বাস্য নাভিয়ার-স্টোকসের প্রসঙ্গে এটি সম্পর্কে কাগজপত্র রয়েছে।

— হার্ডম্যাথ

ধন্যবাদ, @ হার্ডম্যাথ যে বিষয়টি দেখানোর জন্য যে আমি প্রশ্নের "দিক দিয়ে কী ভুল হতে পারে" তা সম্বোধন করি নি। আমি সংকোচনের ন্যাভিয়ার-স্টোকস ব্যবহার করি না, তবে আমি এমন কয়েকটি উদাহরণ প্রদান করেছি যার সাথে আমি পরিচিত। উপবৃত্তাকার পিডিইগুলিতে আমার সংরক্ষণের তেমন জ্ঞান নেই, তবে আমি এখনও তা বাদ দিয়েছি।

— ব্রেন্ডন

1

আজ আমি নাভিয়ার-স্টোকস সিমুলেশনগুলির জন্য EMAC প্রকল্প এবং প্রবন্ধের ব্লফ বডিগুলিকে প্রবাহিত করার জন্য একটি থিসিসটি পেয়েছি এবং এর বিভাগের 1.2 টি লক্ষ্য করেছি যে কমপক্ষে আংশিকভাবে ওপির প্রশ্নের উত্তর দেয়। সম্পর্কিত অংশগুলি হ'ল:

এটি গণ্য তরল গতিবিদ্যা ( সিএফডি ) সম্প্রদায়টিতে ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয় যে আরও পদার্থবিজ্ঞান বিবেচনার ভিত্তিতে তৈরি করা হয়, ততই সঠিক এবং স্থিতিশীল দ্রবণগুলি বিশেষত দীর্ঘ সময়ের ব্যবধানে। ১৯৫৯ সালে এন ফিলিপস [৪২] ব্যারোট্রপিক ননলাইনার ভার্টিসিটি সমীকরণের জন্য একটি সীমাবদ্ধতা তৈরি করেছিলেন (সসীম-পার্থক্য প্রকল্প ব্যবহার করে), যেখানে দীর্ঘ সময় কনভেশন শর্তাদির সংহতকরণের ফলে সংখ্যার সিমুলেশনগুলির যে কোনও সময়ের পদক্ষেপ ব্যর্থ হয়। ইন [4] আরাকওয়া দেখিয়েছেন যে কেউ যদি দীর্ঘকালীন সংহতকরণের সাথে অস্থিতিশীলতার সমস্যাগুলি এড়াতে পারে তবে গতিশক্তি এবং এনস্ট্রোফি (2 ডি-তে) যদি একটি বিচক্ষণতা স্কিম দ্বারা সংরক্ষণ করা হয়। …। 2004 সালে, লিউ এবং ওয়াং ত্রি-মাত্রিক প্রবাহের জন্য হেলিচিলিটি এবং শক্তি সংরক্ষণ করে এমন বিকাশ করেছিল। ইন [35] তারা axisymmetric প্রবাহ জন্য একটি শক্তি এবং helicity-সংরক্ষণের পরিকল্পনা উপস্থাপন। তারা আরও দেখায় যে তাদের দ্বৈত সংরক্ষণের স্কিমটি বৃহত ননফিজিকাল সংখ্যাসূচক সান্দ্রতার প্রয়োজনীয়তা হ্রাস করে। ...

… এটি সিএফডি-র মধ্যে কয়েক দশক ধরে জানা যায় যে, একটি শারীরিক পরিমাণগুলি একটি সীমাবদ্ধ উপাদান স্কিম দ্বারা সংরক্ষণ করা হয়, বিশেষত দীর্ঘ সময়ের ব্যবধানে ভবিষ্যদ্বাণীটি আরও নির্ভুল হয়। সুতরাং আরও শারীরিকভাবে সঠিক স্কিম দ্বারা প্রদত্ত সমাধানগুলি শারীরিকভাবে আরও প্রাসঙ্গিক। যদি কোনও সম্পূর্ণরূপে সমাধান করা জাল এবং অসীম স্বল্প সময়ের পদক্ষেপ বহন করতে পারে, তবে সমস্ত সাধারণভাবে ব্যবহৃত সীমাবদ্ধ উপাদান স্কিমগুলি একই সংখ্যাসূচক সমাধান সরবরাহ করে বলে মনে করা হয়। তবে, অনুশীলনে 3 ডি-সিমুলেশনগুলিতে সম্পূর্ণরূপে সমাধান হওয়া জাল বহন করা যায় না, বিশেষত সময়-নির্ভর সমস্যার জন্য। উদাহরণস্বরূপ ২ য় অধ্যায়ে আমাদের 50-60 হাজার সময় পদক্ষেপের প্রয়োজন, যেখানে প্রতিটি সময় পদক্ষেপে 4 মিলিয়ন অজানা সহ একটি বিচ্ছিন্ন রৈখিক ব্যবস্থা সমাধান করা প্রয়োজন। এটি প্রতিটি ২৪ টি কোর সহ 5 টি নোডের অত্যন্ত সমান্তরাল কোড সহ 2 সপ্তাহের গণ্য সময় প্রয়োজন।

— xzczd
সূত্র