কোন পদ্ধতিগুলি নিশ্চিত করতে পারে যে কোনও PDE সিমুলেশন জুড়ে শারীরিক পরিমাণগুলি ইতিবাচক থাকে?

Question

চাপ, ঘনত্ব, শক্তি, তাপমাত্রা এবং ঘনত্বের মতো শারীরিক পরিমাণগুলি সর্বদা ইতিবাচক হওয়া উচিত তবে সংখ্যার পদ্ধতিগুলি সমাধান প্রক্রিয়া চলাকালীন কখনও কখনও নেতিবাচক মানগুলি গণনা করে। এটি ঠিক নয় কারণ সমীকরণগুলি জটিল বা অসীম মানগুলি গণনা করবে (সাধারণত কোড ক্রাশ করে)। এই পরিমাণগুলি ইতিবাচক থাকার নিশ্চয়তা দিতে কোন সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে? এর মধ্যে কোন পদ্ধতিটি সবচেয়ে দক্ষ?

Comments

আপনি কী ধরণের পিডিইতে আগ্রহী তা নির্দিষ্ট করতে এটি আপনাকে সহায়তা করতে পারে below নীচের উত্তরগুলি হাইপারবোলিক পিডিইগুলির সাথে মূলত প্রাসঙ্গিক।

— ডেভিড কেচসন

Answer 1

সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হ'ল কিছু ছোট, ধনাত্মক সংখ্যায় নেতিবাচক মানগুলি পুনরায় সেট করা। অবশ্যই এটি কোনও গাণিতিক শব্দ সমাধান নয়। একটি ভাল সাধারণ পদ্ধতির যা কাজ করতে পারে এবং সহজ, আপনার সময়ের পদক্ষেপের আকার হ্রাস করা।

নেতিবাচক মানগুলি প্রায়শই হাইপারবোলিক পিডিইগুলির সমাধানে উত্থাপিত হয়, কারণ শকগুলির উপস্থিতি দোলাগুলিকে নিয়ে যেতে পারে, যা শকটির কাছাকাছি-ভ্যাকুয়াম অবস্থায় থাকলে areণাত্মক মান তৈরি করতে ঝোঁক থাকে। একটি ব্যবহার মোট প্রকরণ কমা (TVD) বা অন্যান্য অ-দোদুল্যমান ( ইনো, WENO ) পদ্ধতি এই প্রবণতা কমে যায়। এই পদ্ধতিগুলি সমাধানের ডেরাইভেটিভগুলি গণনা করার জন্য ননলাইনার সীমাবদ্ধ ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে। তবে আপনি বিভিন্ন কারণে এখনও নেতিবাচক মান পেতে পারেন :

• আপনি যদি লাইনগুলির পদ্ধতিটি ব্যবহার করেন এবং একটি উচ্চ-আদেশের সময় ইন্টিগ্রেটার প্রয়োগ করেন। বেশিরভাগ টিভিডি স্কিমগুলি কেবলমাত্র আধা-বিচ্ছিন্ন অর্থে বা ইউলারের পদ্ধতিতে টিভিডি হয়। উচ্চতর অর্ডার সময় ইন্টিগ্রেশনের জন্য, আপনার একটি শক্তিশালী স্থিতিশীলতা সংরক্ষণ (এসএসপি) সময় বিবেচ্যকরণ ব্যবহার করা উচিত ; এই স্কিমগুলি "সংক্রামক" বা "একঘেয়েমি সংরক্ষণ" হিসাবেও পরিচিত। সিগাল গটলিব, চি-ওয়াং শু, এবং আমি নিজেই এই বিষয়ে একটি সাম্প্রতিক বই আছে।
• যদি আপনি সমীকরণের ব্যবস্থাগুলির জন্য স্থানীয় বৈশিষ্ট্যযুক্ত পচা ব্যবহার না করেন তবে আপনার সমাধানটি টিভিডি হবে না (টিভিডি স্কিমগুলি কেবল স্কেলারের সমস্যার জন্য সেই সম্পত্তি অধিকার করে)। সুতরাং বৈশিষ্ট্যযুক্ত ভেরিয়েবলগুলিতে পুনর্গঠন / ইন্টারপোল্ট করা ভাল।
• আপনার যদি একটি অলৈখিক সিস্টেম থাকে, আপনি স্থানীয় বৈশিষ্ট্যযুক্ত পচন ব্যবহার করলেও নেতিবাচক মানগুলি উত্থাপিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, অগভীর জলের সমীকরণ বা ইউলারের সমীকরণের জন্য কোনও লিনিয়ারাইজড রিমন সলভার (যেমন কোনও রো সলভার) যথেষ্ট চ্যালেঞ্জিং অবস্থায় নেতিবাচক মান উত্পন্ন করতে দেখানো যেতে পারে। একটি সমাধান হ'ল এইচএলএল সলভার (বা এইচএলএল একটি বৈকল্পিক) ব্যবহার করা; এর মধ্যে কিছু ইতিবাচক হয়।
• টিভিডি স্কিমগুলি কেবল দ্বিতীয় আদেশ; WENO এর মতো উচ্চতর অর্ডার অ-দোলক প্রকল্পগুলি কঠোরভাবে টিভিডি বা সর্বোচ্চ নীতিগুলি পূরণ করে না satis তবে এই উচ্চ-আদেশের স্কিমগুলিতে একটি নতুন পরিবর্তন ঘটেছে; এটি সাম্প্রতিক কয়েকটি গবেষণাপত্রে জিয়াংজিওং জাং (চি-ওয়াং শু-এর এক শিক্ষার্থী) দ্বারা তৈরি করা হয়েছে।

অবশ্যই নির্দিষ্ট সমীকরণের জন্য আরও অনেক বিশেষায়িত পন্থা রয়েছে যেমন ডেভিড জর্জের জিওক্ল্যাও কোডে, যা ইতিবাচকতা প্রয়োগের জন্য অতিরিক্ত অ-শারীরিক তরঙ্গ সহ একটি রিমন সলভার ব্যবহার করে।

Answer 2

ধরে নিই যে আমরা কোনও উত্সের শর্ত ছাড়াই হাইপারবোলিক সমীকরণগুলি সমাধান করছি এবং ধরে নিচ্ছি যে আমরা শারীরিক প্রাথমিক শর্ত সরবরাহ করছি, এটি নিশ্চিত করে যে আমরা যে সংখ্যাগত স্কিমটি ব্যবহার করি তা মোট ভ্যারিয়েশন হ্রাস হ'ল গণনাযুক্ত সমাধানের "দৈহিকতা" নিশ্চিত করার একটি ভাল উপায়। যেহেতু একটি টিভিডি স্কিম একঘেয়েমি সংরক্ষণ করে, তাই কোনও নতুন মিনিমা বা ম্যাক্সিমা তৈরি করা হবে না এবং সমাধানটি প্রাথমিক মানগুলির সাথে আবদ্ধ থাকবে যা আমরা আশা করি সঠিকভাবে সেট করেছি। অবশ্যই বিষয়টি টিডিডি স্কিমগুলি সর্বাধিক সুস্পষ্ট নয়। লিনিয়ার স্কিমগুলির মধ্যে কেবল প্রথম অর্ডার স্কিমগুলি হ'ল টিভিডি (গডুনভ 1954)। সুতরাং 50 এর দশক থেকে হাইপারবোলিক সমীকরণের সমাধানের জন্য উচ্চ-নির্ভুলতা এবং একঘেয়েতাকে একত্রিত করার জন্য বিভিন্ন নন-লিনিয়ার টিভিডি স্কিমগুলি তৈরি করা হয়েছে।

আমার অ্যাপ্লিকেশন, বড় চাপ / ঘনত্ব গ্রেডিয়েন্ট সঙ্গে Navier স্টোক্সের সমীকরণের সমাধানের জন্য, আমরা একটি সংকর ব্যবহার MUSCL বৃহৎ গ্রেডিয়েন্ট / সান্তরতা ক্যাপচার এবং ভাল সঠিকতা তাদের কাছ থেকে দূরে রাখা -central প্রকল্প। প্রথম এমইউএসসিএল স্কিমটি (এমওএসসিএল মনোটোন আপস্ট্রিম-কেন্দ্রিক প্রকল্পগুলির সংরক্ষণ আইনগুলির জন্য বোঝায়) 1979 সালে ভ্যান লিয়ার দ্বারা পরিকল্পনা করা হয়েছিল।

আপনি যদি এই বিষয় সম্পর্কে আরও জানতে চান তবে অনুগ্রহ করে হার্টেন, ভ্যান লির, লক্ষ, সোড এবং টোরোর কাজের পরামর্শ নিন।

Answer 3

উপরের উত্তরগুলি সময় নির্ভর সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তবে আপনি একটি সাধারণ উপবৃত্তাকারী সমীকরণেও ইতিবাচকতা দাবি করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, আপনি এটিকে ভেরিয়েবলের সীমানা প্রদান করে একটি বৈকল্পিক বৈষম্য হিসাবে তৈরি করতে পারেন ।

পিইটিএসসি তে দু'জন ষষ্ঠ সলভার রয়েছে। একটি হ্রাস-স্থান পদ্ধতি ব্যবহার করে, যেখানে সক্রিয় সীমাবদ্ধতার পরিবর্তনশীলগুলি সিস্টেম থেকে সমাধানের জন্য সরানো হয়। অন্যটি একটি আধা-মসৃণ নিউটন পদ্ধতি ব্যবহার করে ।

Answer 4

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

এই শর্তটি বিপরীত মনোোটোন সিস্টেম ম্যাট্রিক্সে প্রয়োগ করা হয় $A$ এর অর্থ এটি উপরের লিনিয়ার সমীকরণ সিস্টেমকে ধারণ করে

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ অতএব, ডান হাতের ক্ষেত্রে ক্ষেত্রে সমাধানটি নিরক্ষিত থাকে $b$আমাদের সিস্টেমের nonnegative হয়। সাধারণত এটি হয়$b\geq 0$ ননেনিজেটিভ প্রাথমিক মান এবং ননেজেটিভ সীমানা ডেটার ক্ষেত্রে।

সাধারণত, বিচ্ছিন্নকরণের স্কিমগুলি যা এম-ম্যাট্রিক্সের দিকে পরিচালিত করে তাদের মনোটোন স্কিম বলা হয় এবং এটি হ'ল প্রকল্পগুলি, যা নেতিবাচকতা সংরক্ষণ করে।

Comments

এই উত্তরটি লিনিয়ার বিচক্ষণতা ব্যবহার করে রৈখিক সমস্যার সাথে সুনির্দিষ্ট যেখানে রাষ্ট্রের পরিবর্তনশীলগুলির জন্য ইতিবাচকতা প্রয়োজন। এই শ্রেণীর মধ্যে বেশ কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ অ-অস্তিত্বের ফলাফল রয়েছে, ফলস্বরূপ রৈখিক সমস্যার জন্য এমনকি অনৈখিক স্থানিক বিবেচনার ব্যবহার সাধারণ। এটি এমনকি অনিয়মিত জালের কিছু উপবৃত্তীয় সমস্যাও অন্তর্ভুক্ত করে। এমনকি রৈখিক স্থানিক বিচ্ছিন্নতা ব্যবহার করে রৈখিক সমস্যার ক্ষেত্রেও ইতিবাচকতা আলাদা ভিত্তিতে প্রয়োজন হতে পারে, এক্ষেত্রে$M$-ম্যাট্রিক্স ইতিবাচকতা প্রয়োজনীয় বা পর্যাপ্ত নয়।

— জেদ ব্রাউন