অসম নমুনাযুক্ত কার্যটি আমি কীভাবে সংখ্যায় পৃথক করতে পারি?

Question

স্ট্যান্ডার্ড সসীম পার্থক্য সূত্র সংখ্যাসূচকভাবে প্রত্যাশা আপনি ফাংশন মান আছে অধীনে একটি অমৌলিক গনা ব্যবহারযোগ্য সমানভাবে ব্যবধানে বিন্দুতে, যাতে জ ≡ এক্স ট + + 1 - এক্স ট একটি ধ্রুবক। আমি যদি অসমান ব্যবধানে আছে পয়েন্ট, যাতে জ এখন পরবর্তী সংলগ্ন পয়েন্ট এক জোড়া থেকে পরিবর্তিত হয়? স্পষ্টতই আমি এখনও f ′ ( x ) ≈ 1 হিসাবে প্রথম ডেরাইভেটিভ গণনা করতে পারি$f(x_k)$$h \equiv x_{k+1} - x_k$$h$, তবে গ্রিডের আকারের পরিবর্তনের সাথে মানিয়ে নিতে পারে এমন উচ্চতর অর্ডার এবং নির্ভুলতায় এমন কোনও সংখ্যাগত পার্থক্য সূত্র রয়েছে?$f'(x) \approx \frac{1}{h_k}[f(x_{k+1}) - f(x_k)]$

Comments

আপনি সর্বদা আপনার পয়েন্টগুলি পেরিয়ে একটি (টুকরোজ) বহুভুজ ইন্টারপোল্যান্ট তৈরি করতে পারেন এবং তারপরে পার্থক্য করতে পারেন।

— জেএম

বা, সরলকরণ ছাড়াই সীমাবদ্ধ পার্থক্য সূত্রগুলি পুনর্গঠন করতে পারেন । একত্রীকরণের জন্য প্রায়শই এটি করা উচিত, তবে সম্ভবত জেএমের পরামর্শ আরও স্থিতিশীল। $h = x_{k+1} - x_k$

— rcollyer

এটা কোন ধরণের কাজ?

— এমবিকিউ

উদাহরণ এই প্রশ্নের অনুরোধ জানানো একটি ফাংশন logarithmically ব্যবধানে মান এ নমুনা হল কিন্তু লগ-রুপান্তরিত ডেটার দ্বিতীয় ব্যুৎপন্ন গণক মজার ফলাফল দেয় এবং আমি তা উপর একটি চেক চেয়েছিলেন। প্লাস আমি অনুভব করেছি আমি যতটা সম্ভব সাধারণভাবে একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করব। $x_k = x_0 \delta^k$

— ডেভিড জেড

যতদূর আমি উদ্বিগ্ন, এমন কিছু যা কেবলমাত্র প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভসের জন্য কাজ করে তা প্রশ্নের উত্তম সূক্ষ্ম উত্তর হবে। আমি কারওর উত্তর থাকলে সাধারণ জবাব দেওয়ার অনুমতি হিসাবে আমি এই প্রশ্নটি লিখেছিলাম, তবে অবশ্যই বাস্তবে এটি প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভগুলি যা সবচেয়ে কার্যকর।

— ডেভিড জেড

Answer 1

জেএম এর মন্তব্য সঠিক: আপনি একটি ইন্টারপোলটিং বহুভুজ খুঁজে পেতে পারেন এবং এটি আলাদা করতে পারেন। এই জাতীয় সূত্রগুলি অর্জনের অন্যান্য উপায়ও রয়েছে; সাধারণত, তারা সকলেই সহগের জন্য ভ্যান ডার মন্টে সিস্টেম সমাধান করার দিকে পরিচালিত করে। সীমাবদ্ধ পার্থক্যের স্টেনসিলটিতে প্রচুর পরিমাণে পয়েন্ট অন্তর্ভুক্ত হওয়ার পরে এই পদ্ধতির সমস্যা হয় কারণ ভ্যান্ডারমনডে ম্যাট্রিকগুলি অসুস্থ অবস্থায় পরিণত হয়। আরও সংখ্যক স্থিতিশীল পন্থা ফরেনবার্গের দ্বারা তৈরি হয়েছিল এবং তার দ্বিতীয় পত্রে আরও স্পষ্টভাবে এবং সাধারণভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে ।

এখানে একটি সরল ম্যাটল্যাব স্ক্রিপ্ট যা কোনও বিন্দু বিন্যাসের সাথে কোনও অর্ডের ডেরাইভেটিভের জন্য সীমাবদ্ধ পার্থক্য আনুমানিকের গুণাগুণ গণনা করতে ফরনবার্গের পদ্ধতি প্রয়োগ করে। একটি সুন্দর ব্যাখ্যার জন্য, সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতিতে লেভেকের পাঠ্যের অধ্যায় 1 দেখুন।

এফডি সূত্রে আরও কিছু: ধরুন আপনার কাছে 1 ডি গ্রিড রয়েছে। আপনি যদি এফডি সূত্রের একটি সেট নির্ধারণ করতে গ্রিড পয়েন্টগুলির পুরো সেটটি ব্যবহার করেন, ফলস্বরূপ পদ্ধতিটি পুরো গ্রিডের মাধ্যমে একটি ইন্টারপোলটিং বহুভুজ খুঁজে বের করার এবং এটির পার্থক্য করার সমতুল্য। এই পদ্ধতির বর্ণালী সংঘটন হিসাবে উল্লেখ করা হয়। বিকল্পভাবে, প্রতিটি গ্রিড পয়েন্টের জন্য আপনি কেবল কয়েকটি প্রতিবেশী পয়েন্ট ব্যবহার করে একটি এফডি সূত্র নির্ধারণ করতে পারেন। Traditionalতিহ্যগত সসীম পার্থক্য পদ্ধতিতে এটি করা হয়।

নীচের মন্তব্যে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, খুব উচ্চ অর্ডারের সীমাবদ্ধ পার্থক্যগুলি ব্যবহার করা হলে পয়েন্টগুলি সাবধানে না বেছে নেওয়া হলে দোলনা (দৌড়ের ঘটনা) হতে পারে।

Comments

অন্যদিকে, আপনি যখন ইন্টারপোলটিং পলিনোমিয়ালগুলি ব্যবহার করেন, আপনার ডেটাটি বিকৃতভাবে যথেষ্ট পরিমাণে কনফিগার করা থাকলে আপনার ডেটা নিয়ে সম্ভবত রানেজের ঘটনার মতো জিনিসগুলি মনে রাখতে হবে। আমি বলব টুকরোজ বহুবর্ষগুলি এর পক্ষে কম সংবেদনশীল হতে পারে ...

— জেএম

আমি ভাবছি কোয়েভের কাজ এবং ফরেনবার্গের কৌশল সম্পর্কিত কি?

— ডেভিড কেচসন

আকর্ষণীয়ভাবে যথেষ্ট, ফোর্নবার্গের সূত্রগুলির মধ্যে এবং পূর্ববর্তী সূত্রগুলি লাইনস এবং মোলার দ্বারা বর্ধিত বহুভুজ তৈরির জন্য ক্লাসিকাল নেভিল পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে তৈরি করা সূত্রগুলির মধ্যে সাদৃশ্য বলে মনে হয় । এগুলি সম্ভবত বিভিন্ন স্বরলিপিতে একই সূত্র হতে পারে তবে আমি ভাল করে পরীক্ষা করে দেখিনি।

— জেএম

বহু পয়েন্টের সাথে বহুবর্ষীয় অন্তরঙ্গকরণের জন্য বিশেষ পয়েন্ট বিতরণগুলি ভালভাবে কন্ডিশনার করা দরকার। সাধারণভাবে, অ অভিন্ন বিন্দু বিতরণের জন্য এটি দ্বি-বিভক্তকরণ এবং তারপরে ইন্টারপোলেশন বহুপদীকে আলাদা করার পরামর্শ দেওয়া হয় না কারণ এটি অত্যন্ত দোলক হতে পারে (জেএম দ্বারা উল্লিখিত "রঞ্জ ঘটনা" মনে করুন)। আপনার প্রয়োজনের উপর নির্ভর করে, কেবল ঘন স্প্লাইসগুলি ব্যবহার করা ভাল ধারণা হতে পারে যা প্রায়োগিক ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে ডেরিভেটিভগুলির প্রায় অনুমানের সমস্যাটির ভাল উত্তর সরবরাহ করতে পারে।

— অ্যালান পি। ইঞ্জিগ-কারুপ

চমৎকার উত্তর. কেবল তথ্যের জন্য, এই কাগজটি ফর্নবার্গের বিকল্প বিকল্প দেয় gives এটি একই নীতি অনুসরণ করে তবে একটি ভিন্ন অ্যালগরিদম দেয়।

— ডেভিডিঘ

Answer 2

http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/

এটি আপনার প্রশ্নকে সম্বোধন করে এবং দ্বিতীয় উত্পন্নকরণের জন্য আপনি যে সূত্রটি সন্ধান করছেন তা দেখায়। উচ্চ-অর্ডার ডেরাইভেটিভগুলি একই প্যাটার্ন অনুসরণ করে।

Answer 3

উপরের উত্তরগুলি আপনাকে ব্যবহারের জন্য একটি কোড দেওয়ার ক্ষেত্রে দুর্দান্ত, তবে তত্ত্বের দিক থেকে তেমন ভাল নয়। যদি আপনি আন্তঃবাহিত বহুভুজের আরও গভীরভাবে জানতে চান তবে কয়েকটি তাত্ত্বিক উদাহরণের সাথে এই তাত্ত্বিক চিকিত্সাটি দেখুন:

সিংহ, অশোক কে।, এবং বিএস ভাদৌরিয়া। "লেগ্রঞ্জের ইন্টারপোলেশন সূত্র ব্যবহার করে অসম সাব-অন্তরগুলির জন্য সীমাবদ্ধ পার্থক্য সূত্র।" আন্তর্জাতিক গণিত ও বিশ্লেষণের জার্নাল ৩.১17 (২০০৯): 815-827। ( পিডিএফ লিঙ্ক )

লেখকরা 3-পয়েন্ট, 4-পয়েন্ট এবং 5-পয়েন্ট ইন্টারপোলটিং বহুবর্ষগুলি গণনা করতে তাদের প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ডেরাইভেটিভগুলি গণনা করার জন্য লেগ্রানজিয়ান ইন্টারপোলেশন ( উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি দেখুন) ব্যবহার করেন । তাদেরও কাটা ত্রুটির জন্য প্রকাশ রয়েছে, যে কোনও সীমাবদ্ধ পার্থক্য স্কিম ব্যবহার করার সময় বিবেচনা করা গুরুত্বপূর্ণ। এন পয়েন্টগুলি ব্যবহার করে আন্তঃপলিতকরণ বহুপদী গণনা করার জন্য তাদের জেনেরিক সূত্র রয়েছে ।

ল্যাঙ্গরজিয়ান ইন্টারপোলটিং পলিনোমিয়ালগুলি দরকারী কারণ আপনি যে ডোমেনটি ইন্টারপোল্ট করছেন সেগুলিতে তারা এবং তাদের ডেরাইভেটিভগুলি খুব নির্ভুল হতে পারে এবং তারা এমনকি গ্রিডের ব্যবধানও গ্রহণ করে না। ল্যাঙ্গরজিয়ান ইন্টারপোলটিং পলিনোমিয়ালের প্রকৃতির কারণে আপনার গ্রিড পয়েন্টের চেয়ে ডেরিভেটিভসের অর্ডার আর কখনও পাবেন না।

আমি মনে করি এটি আপনার প্রশ্নের উত্তরের উত্তর দেয় কারণ আমি যে কাগজটি উদ্ধৃত করেছি তাতে ইচ্ছামত উচ্চ-অর্ডার সসীম পার্থক্য প্রকল্পের সূত্র রয়েছে যা প্রকৃতি অনুসারে অসম গ্রিডের জন্য এবং এটি কেবল আপনার স্টেনসিলের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত গ্রিড পয়েন্টগুলির সংখ্যার দ্বারা সীমাবদ্ধ। কাগজটিতে কাটা ত্রুটির একটি জেনেরিক সূত্রও রয়েছে, যা আপনাকে বিবেচনা করা হতে পারে এমন অন্যান্য স্কিমগুলির তুলনায় লাগাগঞ্জিয়ান ইন্টারপোলটিং পলিনোমিয়াল স্কিমটি মূল্যায়নে সহায়তা করবে। লেখকের কাগজে ফোরবার্গের পদ্ধতির মতোই ফলাফল দেওয়া উচিত। তাদের অবদানটি হ'ল কয়েকটি উদাহরণ সংশোধন করে ত্রুটির একটি প্রাক্কলন দিচ্ছে, যা আপনাকে দরকারী মনে হতে পারে।

আমি উদ্ধৃত কাগজ এবং ফেনবার্গের কাজ দুটিই আমার নিজের গবেষণার জন্য দরকারী বলে খুঁজে পেয়েছি।

Comments

দুঃখিত যে আমাকে এটি বর্ণনা করতে হবে, তবে আপনার উদ্ধৃত রেফারেন্সটি অদ্ভুত দেখাচ্ছে - এগুলি ভয়াবহ সূত্রগুলি ব্যবহার করে এবং কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে সমাধান করে। বিপরীতে, ফেনবার্গ একটি সাধারণ অ্যালগরিদম দিয়ে সাধারণ সমস্যার সমাধান করেছেন , এবং এটি ইতিমধ্যে 80 এর দশকে। এখানে

— দবিধিঘরের ২

সাধারণ সমস্যা সমাধানের জন্য অন্য একটি কাগজ এখানে রয়েছে

— দবিধিঘে

এবং এই কাগজ অসম্মান একটি শেষ মন্তব্য। "একটি দুর্দান্ত তাত্ত্বিক চিকিত্সা" তে আপনার 9 টি উল্লেখ থাকতে পারে না, যেখানে 7 আপনার নিজের কাজ এবং একটি সাধারণ সংখ্যা বিশ্লেষণ বইয়ের জন্য উল্লেখ করে। কমপক্ষে আপনি যদি এই বিষয়টি নিজের দ্বারা আবিষ্কার করেন নি, তবে সেই লেখকেরা তা করেন নি।

— দবিধিঘ

তুমি একদমই সঠিক. আমি সূত্রগুলি ভয়াবহ বলব না, যদিও সেগুলি উন্নত করা যেতে পারে। বিশেষ ক্ষেত্রেগুলি পরীক্ষাগুলি / তুলনা হিসাবে বরং দুর্দান্ত হয় এবং তারা একটি সাধারণ সূত্র দেয় যা অবশ্যই ফরেনবার্গের মতোই হতে পারে।

— jvriesem

@jvriesem দয়া করে নোট করুন যে উদ্ধৃত কাগজের সাথে ইকনে তৃতীয় মেয়াদে ভুল চিহ্ন রয়েছে। (15 বি)

— তারেক

Answer 4

অসম সাব-অন্তরগুলির সাথে সীমাবদ্ধ পার্থক্য সূত্রে এই কাগজটি পেয়েছি । আমি এটি ইন্টারপোলেশন পরিবর্তে ব্যবহার করতে যাচ্ছি। একবার আমি সমস্ত সূত্র টাইপ করলে আমি সেগুলি এখানে পোস্ট করব।

Answer 5

সীমাবদ্ধ পার্থক্য আনুমানিকতা ব্যবহার করা সবচেয়ে সহজ পদ্ধতি x

একটি সাধারণ দ্বি-পয়েন্ট অনুমান হ'ল বিন্দু (x, f (x)) এবং (x + h, f (x + h)) এর মাধ্যমে নিকটবর্তী সেকান্ট লাইনের opeাল গণনা করা [[1] অল্প সংখ্যক h নির্বাচন করা, h, x এর একটি ছোট পরিবর্তনকে উপস্থাপন করে এবং এটি ইতিবাচক বা নেতিবাচক হতে পারে। এই লাইনের opeাল হয়

$$f(x+h)-f(x)\over h$$

এই অভিব্যক্তিটি নিউটনের পার্থক্যফলক।

এই সেকান্ট লাইনের opeালটি ট্যানজেন্ট লাইনের opeাল থেকে এমন পরিমাণে পৃথক হয় যে পরিমাণটি প্রায় h এর সমানুপাতিক। এইচ শূন্যের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে সেকান্ট লাইনের opeালটি স্পর্শক রেখার opeালের কাছে চলে আসে। সুতরাং, x এ f এর আসল ডেরাইভেটিভটি হ'ল পার্থক্যফলকটির মানের সীমা যেমন সেকান্ট লাইনগুলি স্পর্শক রেখা হিসাবে কাছাকাছি ও কাছাকাছি আসে

Comments

আমি মনে করি আপনি হতাশ হচ্ছেন কারণ ডেভিড জাস্লাভস্কি বিশেষভাবে পার্থক্যটির ভাগ সূত্র উল্লেখ করেছেন এবং আরও ভাল কোনও অনুমান আছে কিনা তা প্রশ্ন করছে is

— ড্যান

এটি মূলত উত্তরের অংশ ছিল এমন স্প্যাম লিঙ্ক বাদে এটি উইকিপিডিয়া থেকে সরাসরি অনুলিপি এবং পেস্ট করার কারণে।

— ডেভিড জেড