হাইপারজমেট্রিক ফাংশনগুলির মূল্যায়নের জন্য দক্ষ, সঠিক অ্যালগরিদম কী কী?

16

জেনারেটেড হাইপারজেমেট্রিক ফাংশন (বা সিরিজ) মূল্যায়নের জন্য কী সংখ্যার অ্যালগোরিদম বিদ্যমান তা জানতে আগ্রহী , হিসাবে সংজ্ঞায়িত

_{পি} {এফ}_{কুই} ({একটি}_{1}, ..., {একটি}_{পি}; খ_{1}, ..., খ_{কুই}; z- র) = Σ_{ট = 0}^{\infty} \frac{({একটি}_{1})_{ট} \dots ({একটি}_{পি})_{ট}}{(খ_{1})_{ট} \dots (খ_{কুই})_{ট}} \frac{{z- র}^{ট}}{ট!}

${}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}$

সাধারণভাবে, এই সিরিজটি অগত্যা খুব দ্রুত (বা মোটেও) একত্রিত হতে চলেছে না, তাই একে একে শর্তগুলি সংমিশ্রণকে আদর্শের চেয়ে কম মনে হয়। এমন কোনও বিকল্প পদ্ধতি আছে যা আরও ভাল কাজ করে? সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমি এমন কিছু সন্ধান করছি যা গণ্যমানের যুক্তিসঙ্গত সংখ্যার সাথে 4 বা 5 সংখ্যক নির্ভুলতা দেবে।

আমি সাধারণত যে সর্বাধিক সাধারণ ব্যবহার দেখতে পাই তা এবং , তবে আমি যে বিশেষ প্রকল্পে কাজ করছি, আমার । অবশ্যই যে কোনও এবং জন্য একটি সাধারণ অ্যালগরিদম আদর্শ, তবে আমি যা পেতে পারি তা গ্রহণ করব। $p=1,q=1$ $p=2,q=1$ $p=1,q=2$ $p$ $q$

special-functions

— ডেভিড জেড
সূত্র

যদি আপনার কেসটি আব্রামউইজেটস এবং স্টেগুনের হ্যান্ডবুকে ( people.math.sfu.ca/~cbm/aands/subj.htm ) এ আচ্ছাদিত না হয় , যা না হয়, আপনি মূলত এটি নিজেরাই বের করে আনতে পারেন, আমি ' আমি ভীত ...

— যায়েম

15

একটি একক অ্যাপ্লিকেশনটিতে, সম্ভবত এটি সম্ভবত সাধারণ হাইপারজেমেট্রিক ফাংশনের সমস্ত সম্ভাবনার চরমের একটি ছোট উপসেট প্রয়োজন will এটি সর্বোপরি একটি খুব সাধারণ কাজ। এর পরিসর এবং পরামিতি সম্পর্কে ধারণা থাকলে আরও সুনির্দিষ্ট পরামর্শ দেওয়ার অনুমতি দেয়। $z$ $a_i, b_i$

সাধারণভাবে, মানক পদ্ধতি, ধরে অবশ্যই সংজ্ঞায়িত শক্তি সিরিজটি ব্যবহার করা উচিতছোট. যদি , এ্যাসিপোটিক এক্সটেনশনে স্যুইচ করা ভাল বড়, হয় টেলর সিরিজটি খুব ধীরে ধীরে ধীরে ধীরে রূপান্তরিত হয় এবং / অথবা কারণ এটি বিপর্যয়কর বাতিল হওয়ার কারণে খুব বেশি ভুল হয়ে যায়। এই অ্যালগরিদমগুলির মধ্যে সেরা কাটঅফ প্যারামিটার এবং নির্ভুলতার প্রয়োজনীয়তার উপর নির্ভর করে। $p \le q + 1$ $|z|$ $p < q + 1$ $|z|$

জন্য মধ্যে asymptotic সিরিজ দেওয়া হয় http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F2/06/02/03/ বরং ভয়ঙ্কর দেখায়, কিন্তু যদি আপনার ঠিক করা হয়েছে, আপনি পারবেন কম্পিউট সংখ্যাসূচক পূর্বে সহগের জন্য মানগুলি। সাধারণ সূত্রগুলি ডিএলএমএফটিতে পাওয়া যায়: http://dlmf.nist.gov/16.11 (নোট করুন যে সঠিক শাখার কাটগুলি নির্বাচন করার জন্য কিছু যত্ন নেওয়া প্রয়োজন।) ${}_1F_2$ $a_1, b_1, b_2$

যদি এমন কোনও পরিসীমা থাকে যেখানে টেলর সিরিজ বা অ্যাসিপটোটিক সিরিজগুলি যথেষ্ট পরিমাণে কার্যকরভাবে কাজ করে না, "এক্সপেনশনালি-উন্নত বিস্তৃতকরণ" দরকারী হতে পারে। উল্লেখ করার মতো আরেকটি সম্ভাবনা হ'ল আপনি কেবল হাইপারজিমেট্রিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে একটি সাধারণ-উদ্দেশ্যযুক্ত ওডিই সলভারে প্লাগ করতে পারেন। এটি বেশ ভালভাবে কাজ করা উচিত বিশেষত আপনার যদি কেবল 4-5 সংখ্যার প্রয়োজন হয়। এটি একটি ছোট (যেখানে পাওয়ার সিরিজ ভাল কাজ করে) থেকে বৃহত্তর পর্যন্ত বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা করতে বা অ্যাসিপটোটিক সিরিজের মাধ্যমে প্রাপ্ত কোনও মান থেকে বিপরীতে (সমস্ত কিছু পেতে আপনাকে আরও কিছু কাজ করার প্রয়োজন হতে পারে) প্রাথমিক মান হিসাবে ডেরিভেটিভস প্রয়োজন)। $z$

পুরো জটিল প্লেনে আপনার যদি সহ ফাংশনগুলির প্রয়োজন হয় তবে ট্রান্সফর্মেশন সূত্রগুলি ইউনিট ডিস্কের বাইরের অংশটি অভ্যন্তরে মানচিত্রের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। কিছু অভিব্যক্তির ত্বরণ অ্যালগরিদম বা অন্যান্য পদ্ধতি, যেমন ওডিই এর সংখ্যাসমূহ একীকরণ, ইউনিট বৃত্তের কাছাকাছি অবশ্যই ব্যবহার করা উচিত। যদি ব্যাসার্ধটি রূপান্তরটি শূন্য হয়, সুতরাং আপনি যে ফাংশনটি মূল্যায়ন করতে চান তা যদি এই জাতীয় রূপান্তরকারী সিরিজ দ্বারা দেওয়া হয় তবে আপনাকে এটিকে রূপান্তরকারী সিরিজে হ্রাস করার জন্য বোরেল ট্রান্সফর্ম (সংখ্যাসূচক বা প্রতীকীভাবে) প্রয়োগ করতে হবে। $p = q + 1$ $1/z$ $p > q + 1$

সম্পূর্ণ বাস্তবায়নের জন্য, অন্যান্য বিষয়গুলিও বিবেচনা করতে হবে (উদাহরণস্বরূপ, পরামিতিগুলির সাথে ডিল করা যা অত্যন্ত বড় বা নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার খুব নিকটবর্তী)। পর্যাপ্ত খারাপ পরামিতিগুলির জন্য, ডাবল নির্ভুলতার সাথে সঠিক মানগুলি পাওয়া খুব কঠিন হবে, আপনি যা-ই করেন না কেন, স্বেচ্ছাসেবী-নির্ভুলতা পাটিগণিতের প্রয়োজন হতে পারে।

আমার মনে রাখা উচিত যে আমি এমপিএমথ লাইব্রেরির জন্য সাধারণীকরণযুক্ত হাইপারজোমেট্রিক ফাংশনের প্রায় সম্পূর্ণ সংখ্যাসূচক প্রয়োগ লিখেছি (এটি বর্তমানে চেয়ে বেশি ফাংশনগুলির জন্য সিরিজ অনুপস্থিত ), যা পরীক্ষা বা অধ্যয়ন পরীক্ষা চালানোর জন্য কার্যকর হতে পারে (ধরে ) আপনার উদ্দেশ্যে ইতিমধ্যে যথেষ্ট দ্রুত নয়)। ${}_2F_3$

— ফ্রেডরিক জোহানসন
সূত্র

অসাধারণ! দুর্ভাগ্যক্রমে আমি প্যারামিটার মানগুলি সম্পর্কে আরও নির্দিষ্টভাবে জানতে পারি না কারণ বিভিন্ন মান সহ ফাংশনটি অনেক জায়গায় পপ আপ হয়। আমি অবশ্যই mpmath ব্যবহার এবং / বা আপনার বাস্তবায়ন কিছু সময়ে সন্ধান করতে আগ্রহী হবে।

— ডেভিড জেড

1

ফ্রেড্রিকের উত্তরটি সঠিক। আমি কেবল উল্লেখ করতে পারি যে, "ক" এবং "বি" সহগের বিশেষ মানের জন্য আমি যুক্তিযুক্ত আনুমানিক (ম্যাথমেটিকা থেকে) ব্যবহার করে শেষ করেছি, কারণ এটি সমস্ত বাস্তব "জেড" এর জন্য সঠিক (আমি আসল অক্ষকে অন্তরগুলিতে বিভক্ত করেছি এবং প্রতিটি উপর একটি পৃথক যুক্তিযুক্ত আনুষঙ্গিক ব্যবহৃত) এবং খুব দ্রুত। আমি ফোর্টরানে আমার ডাবল স্পষ্টতা প্রয়োগের নির্ভুলতা পরীক্ষা করতে এমপিএমথ ব্যবহার করেছি।

— ওঁদেজের্তেটক

2

সমস্ত বিশেষ ক্রিয়াকলাপের জন্য আধ্যাত্মিক রেফারেন্সটি হলেন আব্রামোভিজ এবং স্টিগান। এটি শীঘ্রই প্রায় অর্ধ শতাব্দী ধরে প্রায় একটি বই এবং এটিতে যদি আপনি কিছু খুঁজে না পান তবে "আপডেটেড দ্বিতীয় সংস্করণ" দেখুন যা প্রকৃতপক্ষে ন্যাশনাল ইনস্টিটিউট অফ স্ট্যান্ডার্ডস (এনআইএসটি) দ্বারা আয়োজিত একটি ওয়েবসাইট )। আমার কাছে সঠিক URL নেই তবে এটি খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন হওয়া উচিত নয়।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

2

একে এখন "গাণিতিক ফাংশনগুলির ডিজিটাল গ্রন্থাগার" বলা হয়; হাইপারজমেট্রিক ফাংশনগুলি অধ্যায় 15 এর বিষয় ।

— ক্রিশ্চান ক্লাসন

1

এ & s এ অধ্যায়ে অধিজ্যামিতিক ফাংশন সম্পর্কে আসলে হয় না ওপি সম্পর্কে ... জিজ্ঞাসা করা হয়

_{2} F_{1}

$_2F_1$

_{1} F_{2}

$_1F_2$

— জেইমি