আমার মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি বা এ সম্পর্কে কিছু সাহিত্যের সহজ ব্যাখ্যা দরকার।
আমি বিসিজিস্ট্যাব, সিজি, জিএস, জ্যাকোবি এবং পূর্ব শর্তাদি সহ পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলির সাথে পরিচিত, তবে আমি মাল্টিগ্রিড পদ্ধতিতে একটি শিক্ষানবিস।
কেউ কি এটিকে বিশদভাবে ব্যাখ্যা করতে পারেন বা খুব কম প্রাথমিকের জন্য ভাল সাহিত্য সহ এমনকি কমপক্ষে স্পষ্টভাবে সিউডোকোড বা উত্স কোড সরবরাহ করতে পারেন? ধন্যবাদ!
উত্তর:
মাল্টিগ্রিডের পিছনে মূল ধারণাটি হ'ল প্রক্ষেপণ। আমি এটি সম্পর্কে নিম্নলিখিতভাবে চিন্তা করার চেষ্টা করি:
ধরুন আমি অনেকগুলি নির্ভুলতার সাথে একটি পিডিই সমাধান করতে চাই, তাই আমি প্রচুর এবং প্রচুর পয়েন্ট সহ একটি খুব সূক্ষ্ম গ্রিডে ডোমেনটিকে (চূড়ান্ত পার্থক্য পদ্ধতি ব্যবহার করে বলি) অগ্রাহ্য করি। শেষ পর্যন্ত, আমি আমার সমীকরণের সিস্টেমটি সেটআপ করি এবং আমি এটি সমাধানের জন্য প্রস্তুত। আমি আমার প্রিয় পুনরাবৃত্তি সমাধানকারী (জ্যাকোবি, গস সিডেল, কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট, ইত্যাদি ...) ব্যবহার করার চেষ্টা করছি। আমি এক দিনেরও বেশি অপেক্ষা করতে পেরেছি এবং বুঝতে পারি আমার কম্পিউটারটি এখনও উত্তরটি গণনা করার চেষ্টা করছে !!!
এই পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলি দ্রুত কাজ না করার কারণ হ'ল কারণ (সাধারণত) আপনি যখন এই জাতীয় সমীকরণের একটি বৃহত সিস্টেম সেটআপ করেন, তখন ম্যাট্রিক্সের নিজেই খুব সহজেই ইগেনভ্যালু থাকে 1. এই বিষয়টি কেন আসে? কারণ অনেক পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির রূপান্তর হার বিপরীতভাবে বৃহত্তম ইগেনুয়ালু সম্পর্কিত (ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসনের লিঙ্কটি ব্রিগের মাল্টিগ্রিড টিউটোরিয়াল স্লাইডগুলির অংশ 1, পৃষ্ঠা 27) এর সাথে সম্পর্কিত। সুতরাং, বৃহত্তম ইজেনভ্যালুটি 1 এর কাছাকাছি, পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিটি ধীর। (দ্রষ্টব্য: এটি জিনিসগুলিকে কিছুটা ওভারসিম্লিফিক করছে, তবে এটি মাল্টিগ্রিডের প্রয়োজনকে উদ্বুদ্ধ করতে সহায়তা করে)।
স্পষ্টতই, কম অজানা থাকলে (যেমন কম গ্রিডপয়েন্ট সহ একটি মোটা গ্রিডে) সমস্যাটি সমাধান করা সর্বদা দ্রুত হয়। তবে আরও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, একটি মোটা গ্রিডের সমাধান (বা আনুমানিক সমাধান) একটি সূক্ষ্ম গ্রিডে সমস্যা সমাধানের জন্য একটি ভাল সূচনা পয়েন্ট। এটি বেশিরভাগ (সমস্ত না থাকলে) মাল্টিগ্রিড পদ্ধতির পিছনে মূল ধারণা। কেন এই ক্ষেত্রে? স্বজ্ঞাতভাবে, এটি বোধগম্য হয়, তবে এটি প্রমাণ করার জন্য একটি গাণিতিকভাবে কঠোর উপায় রয়েছে way
আসুন একটি পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিতে ত্রুটির ফুরিয়ার মোডগুলি দেখি (যুক্তিগুলির জন্য, আসুন জ্যাকোবি বা গাউস সিডেল বলি) আসল সূক্ষ্ম গ্রিড সমস্যার জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে। আমরা দেখতে পাব যে প্রথম কয়েকটি পুনরাবৃত্তির মধ্যে বেশিরভাগ উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি (অত্যন্ত দোলক) ত্রুটি মুছে ফেলা হয়! এটি দুর্দান্ত, তবে কম ফ্রিকোয়েন্সি (কম দোলনযুক্ত) ত্রুটি রয়েছে যা এখনও থেকে যায় এবং দ্রুত চলে যায় না। প্রকৃতপক্ষে, এটি নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি ত্রুটি যা কোনও মানক পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিটিকে দ্রুত রূপান্তরিত হতে বাধা দেয়।
যখন আমরা কোনও মোটা গ্রিডে সমস্যাটি সমাধান করি (আসুন যাক, জ্যাকোবি বা গাউস-সিডেলের মতো পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির মাধ্যমে বলা যাক) আমরা জরিমানা গ্রিডের চেয়ে কম ফ্রিকোয়েন্সি ত্রুটিগুলি আরও দ্রুত (যেমন কম পুনরাবৃত্তিতে) মুছে ফেলতে সক্ষম হয়েছি । সুতরাং, আমরা যদি কোনও মোটা গ্রিডের সমস্যাটি সমাধান করি, আমাদের একটি সমাধান রয়েছে যার নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি ত্রুটি উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস পেয়েছে। সুতরাং, এটি সূক্ষ্ম গ্রিডে পুনরাবৃত্তি পদ্ধতিটির প্রারম্ভিক পয়েন্ট হিসাবে কার্যকর হবে।
যদিও বিভিন্ন মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি রয়েছে, তাদের বেশিরভাগগুলি নিম্নলিখিত কয়েকটি পরিবর্তনের দ্বারা পরিচালিত হয়:
আমার জন্য, মাল্টিগ্রিড পদ্ধতির সবচেয়ে কঠিন অংশ হ'ল গ্রিডগুলির মধ্যে অনুমানগুলি। @ ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসনের পরামর্শ দেওয়া ব্রিগেস টিউটোরিয়ালগুলি আমার চেয়ে আরও ভাল এই বিষয়টিকে পরিচালনা করে।
সিউডোকোডের সাথে বিশদ ব্যাখ্যা জিজ্ঞাসা করার জন্য এই সাইটটি সম্ভবত খুব ভাল জায়গা নয় ( এফএকিউ-তে বলা হয়েছে , "আপনি যদি এমন একটি পুরো বই কল্পনা করতে পারেন যা আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়, আপনি খুব বেশি জিজ্ঞাসা করছেন।"), তাই আপনি চান এই বিষয়টির একটি ধ্রুপদী বইয়ের সাথে শুরু করতে (নীচে তালিকাভুক্ত) এবং আপনার যে কংক্রিটের সমস্যায় পড়েছেন তার নির্দিষ্ট প্রশ্নগুলি নিয়ে ফিরে আসুন।
ব্রিগস, মাল্টিগ্রিড টিউটোরিয়াল , সিয়াম , ২০০০ (আপনি এখানে এবং এখানে স্লাইডগুলি ডাউনলোড করতে পারেন ) এটি একটি নৈমিত্তিক উত্স, মূলত উপবৃত্তীয় সমস্যার জন্য, মাল্টিগ্রিড নীতিগুলির একটি মৃদু পরিচয় সরবরাহ করে।
ব্র্যান্ডেট, মাল্টিগ্রিড কৌশল , সংশোধিত সংস্করণ , সিয়াম ২০১১ , (বা পিডিএফ ডাউনলোড করুন )। এটি মাল্টিগ্রিড দর্শন এবং মাল্টিস্কেল মডেলিংয়ের একটি দুর্দান্ত বিকাশ এবং অন্তর্নিহিত সমাধানকারীদের সম্পর্কে আপনার চিন্তাভাবনার গভীর পরিবর্তন করার ভাল সুযোগ রয়েছে। আচি ব্র্যান্ডের ওয়েবসাইটে তার মাল্টিস্কেল বৈজ্ঞানিক গণনার 2000 টি পর্যালোচনা সহ আরও অনেক উল্লেখ রয়েছে ।
ট্রটেনবার্গ, অস্টেরলি, এবং শ্যুয়েলার, মাল্টিগ্রিড , একাডেমিক প্রেস, ২০০১ এর ব্র্যান্ড্টের চেয়ে বেশি কাজকর্মের উদাহরণ রয়েছে, বিশেষত তরল গতিবিদ্যার প্রেক্ষাপটে নির্দিষ্ট পদ্ধতির উপর অনেক পরীক্ষা-নিরীক্ষা ও বিশদ রয়েছে।
হ্যাকবশ, মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি এবং অ্যাপ্লিকেশন , স্প্রিংগার, 1985 এটি ফ্রেডহলম ইন্টিগ্রাল অপারেটরদের জন্য "দ্বিতীয় ধরণের মাল্টিগ্রিড" সহ একটি কঠোর রূপান্তর তত্ত্ব সরবরাহ করে।