যখন আমরা প্রয়োগে বার্নস্টেইন বহুবচন ব্যবহার করি

9

যখন কেবলমাত্র নিম্নলিখিত প্রাথমিক সংখ্যা বিশ্লেষণ পদ্ধতিগুলি ব্যবহার না করে একটি ধ্রুবক ক্রিয়াকলাপটিকে অনুমান করার জন্য বার্নস্টেইন বহুবচনগুলি ব্যবহার করা ভাল। "ল্যাঞ্জরেঞ্জ পলিনোমিয়ালস", "সরল সীমাবদ্ধ পার্থক্য অপারেটর"।

প্রশ্নটি এই পদ্ধতির তুলনা সম্পর্কে।

finite-element finite-difference interpolation

— আমিরহসেইন সাদেঘিমানেশ
সূত্র

2

বার্নস্টেইন কেন মূলধন করা হয়? এটি কি কোনও নির্দিষ্ট সফ্টওয়্যার প্যাকেজের রেফারেন্সে রয়েছে?

3

আমার প্রশ্নের একটি দিক আপনার প্রশ্নের প্রায় নিকটবর্তী ছিল, আমি দেখতে চাই যে এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করার মতো কোনও বিশেষত্ব এমনকি খুব বিশেষ ক্ষেত্রেও উল্লেখ করা হয়নি? বার্নস্টেইন বহুবচনগুলি নিজেরাই দুর্দান্ত এবং প্রচুর বৈশিষ্ট্য রয়েছে তবে কম্পিউটার প্রোগ্রাম বা অন্যান্য পরিস্থিতিতেও উদাহরণস্বরূপ ব্যবহার করা কি ভাল?

7

বার্নস্টেইন বহুভুজ এবং ল্যাঞ্জারেঞ্জ বহুভুজ উভয়ই একই স্থান জুড়ে। সুতরাং সম্ভাব্য ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে কেউ প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, একটি বা অন্য ব্যবহার করে কোনও তফাত হয় না। তবে, যদি আপনি এই সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি বা একটি অন্তঃসংশ্লিষ্ট সমস্যার ভিত্তিতে ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করার কথা ভাবছেন, তবে আপনি যে লিনিয়ার অপারেটরের বর্ণালী বৈশিষ্ট্যগুলি তৈরি করেছেন তা ভিত্তি হিসাবে আপনি যে বহুবচন ব্যবহার করেছেন তার উপর নির্ভর করবে। এটি পুনরাবৃত্তকারী solvers এর রূপান্তর মধ্যে পার্থক্য হতে পারে। তবে লিনিয়ার বীজগণিত ত্রুটির অভাবে আপনি উভয় ভিত্তিতে একই উত্তরটি পাবেন answer

সীমাবদ্ধ পার্থক্য অপারেটরগুলির সাথে এটির তুলনা করা আলাদা গল্প। পলিনোমিয়ালগুলি ব্যবহার করা আপনাকে অবিচ্ছিন্ন নিয়মের উপর ত্রুটির অনুমান দেয়। আমি সীমাবদ্ধ পার্থক্য সম্পর্কে পারদর্শী নই, তবে আমার বোঝা হল যে আপনি যে জায়গাগুলি বিবেচনার জন্য বেছে নিয়েছেন কেবল সেখানেই আপনি একটি ত্রুটির অনুমান পাবেন। এই বিষয়গুলির মধ্যে কী ঘটে তা পরিষ্কার নয়।

— নাথান কলিয়ার
সূত্র

7

আমি ওডিইডি এবং পিডিই এর সীমানা মান সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সংঘর্ষ পদ্ধতিতে বার্নস্টেইন বহুবচন ব্যবহার করি। তারা বেশ আকর্ষণীয়।

কিছু লিনিয়ার বিভিপি-র জন্য রূপান্তরটি তাত্পর্যপূর্ণ ছিল, তবে চেবিশেভ সংঘর্ষ, লেজেন্ড্রে গ্যালারকিন এবং তাউয়ের তুলনায় সামান্য ধীর ছিল।

কিছু শেবিশেভ বর্ণালী পদ্ধতির সাথে রূপান্তর হারের তুলনা করার চিত্রটি এখানে। উদাহরণস্বরূপ সমস্যাটি লিনিয়ার বিভিপি:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

সমজাতীয় ডারিখলেট বিসি সহ, এবং সি একটি ধ্রুবক $C=-4e/(1+e)^2$ ।

এখানে চিত্র বর্ণনা লিখুন

আমি এই চিত্রটি ফিগারের সাথেও আপলোড করেছি ।

আপনি যদি চান তবে আপনি যে কোডটি লিখছেন তা পরীক্ষা করে দেখতে পারেন:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

এবং এখানে আর্শিভ পেপারটি আমি বার্নস্টেইন বহুবর্ষীয় সংঘটন ব্যবহার করে একটি স্কোয়ারে উপবৃত্তাকার বিভিপিগুলি সমাধান করার বিষয়ে লিখেছিলাম ।

গত বছর তারা বার্নস্টেইন বহুবর্ষের শতবর্ষ উদযাপন করেছিল - আরও একটি আকর্ষণীয় ঘটনা।

— জন ট্রাভোল্টা
সূত্র

1

শতবর্ষ সম্পর্কে, রিদা টি ফারুকি, বার্নস্টেইন বহুত্বের ভিত্তি দেখুন: একটি শতবর্ষ পূর্বে, কম্পিউটার এডেড জ্যামিতিক ডিজাইন , খণ্ড ২৯, সংখ্যা 6, আগস্ট 2012, পৃষ্ঠা 379-419, ডিওআই: 10.1016 / জে সিএজিডি 06.03.001 ।

— lhf

2

এছাড়াও আকর্ষণীয়: নির্ভরযোগ্য কম্পিউটিং - বিশ্বস্ত কম্পিউটিং মধ্যে বার্নস্টেন Polynomials ব্যবহারের উপর বিশেষ বিষয়: একটি Centennial বার্ষিকী interval.louisiana.edu/reliable-computing-journal/...

— Johntra পশ্চিমী

2

একটি কোলকোশন পদ্ধতিতে বার্নস্টেইন বহুপদী ব্যবহারের জন্য কিছু তত্ত্ব রয়েছে। আপনি যখন একাধিক স্প্যান (উপাদান) এ যান আপনার কমপক্ষে ব্যবহার করা উচিত use

C^{1}

$C^1$ বি-splines। ফলিত বিজ্ঞান বিভাগের আইএসওজিওমেট্রিক ক্লোকেশন মেথডস এফ। আরিচিও, এল। বেয়ারিও ডিএ ভিয়েগা, টিজেআর হিউজেস, এ। রিয়ালি এবং জি.গঙ্গালি, গাণিতিক মডেলগুলি এবং পদ্ধতিগুলি দেখুন 2020 11, 2075-2107

— নাথন কলিয়ার

6

নীচের কাগজটি দেখায় যে বার্নস্টেইন ফর্মের বহুবর্ষের প্রতিনিধিত্ব করলে অনেক ক্ষেত্রে সংখ্যার স্থিতিশীল অ্যালগরিদম বাড়ে:

আরটি ফারৌকি, ভিটি রাজন, বার্নস্টেইন ফর্মের বহুবর্ষের সংখ্যাগত শর্তে, কম্পিউটার এডেড জ্যামিতিক ডিজাইন , খণ্ড 4, সংখ্যা 3, 1987, পৃষ্ঠা 191-216, ডিওআই: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

— lhf
সূত্র

2

একটি বেজিয়ার বক্ররেখার নিয়ন্ত্রণ পয়েন্টগুলি বক্ররেখার কাছাকাছি থাকে তবে বক্ররেখাতে অগত্যা হয় না। বার্নস্টেইন বহুবর্ষের কাছাকাছি সময়ে এটি ঠিক একই পরিস্থিতি এবং বাস্তবে বার্নস্টেইন বহুত্ববাদগুলিই বেজিয়ার বক্ররেখার ভিত্তি। আপনি কোলাহল পয়েন্ট দ্বারা প্রদত্ত একটি বক্ররেখা দিয়ে একটি মসৃণ রেখা আঁকতে একটি হাই অর্ডার বেজিয়ার বক্ররেখা ব্যবহার করতে পারেন, উচ্চ গণনামূলক প্রচেষ্টার কারণে কেউ এই কাজটি করবে না। প্রকৃতপক্ষে, উচ্চ আদেশের বহুবর্ষীয় অন্তরোলন কেবলমাত্র সেই কারণেই খুব কমই ব্যবহৃত হয়, কেবল চেবিশেভ দোলন মাঝে মধ্যে সেই নিয়ম থেকে ব্যতিক্রম।

তবে যদি আমরা কেবল নিম্ন-অর্ডার বহুত্বক ইন্টারপোলেশন সম্পর্কেই কথা বলি, তবে নিয়ন্ত্রণ পয়েন্টগুলির মাধ্যমে বাজিয়ার বক্ররেখার স্বজ্ঞাত স্পেসিফিকেশনটি অন্যান্য পদ্ধতির চেয়ে সুস্পষ্ট সুবিধা। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে NURBS আরও ভাল, তবে কমপক্ষে একটি বেজিয়ার বক্ররেখা একটি NURBS এর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এবং বার্নস্টেইন বহুবর্ষগুলিও NURBS এর একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান।

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র