রূপান্তর কী সংখ্যার একীকরণে সহায়তা করে?

আমি কৌতুকপূর্ণভাবে শুনেছি যে যখন কেউ সংখ্যার সাথে ফর্মটির অবিচ্ছেদ্য কাজ করার চেষ্টা করছেন

\int_{0}^{\infty} f (x) J_{0} (x) d x

$\int_0^\infty f(x) J_0(x)\,\mathrm{d}x$

সঙ্গে মসৃণ এবং উত্তমরুপে ভদ্র (যেমন অত্যন্ত, দোদুল্যমান, nonsingular নিজেই না ইত্যাদি), তাহলে এটি সাহায্য করবে সঠিকতা যেমন পুনর্লিখন $f(x)$

\frac{1}{π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{\infty} f (x) \cos (x \sin θ) d x d θ

$\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \int_0^\infty f(x) \cos(x\sin\theta) \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}\theta$

এবং প্রথমে অভ্যন্তরীণ অবিচ্ছেদ্য সম্পাদন করুন। এটির কাজ করার জন্য আমার কোন প্রত্যাশা থাকা উচিত বলে আমি দেখতে পাচ্ছি না, তবে তারপরে আবার একটি সংখ্যা পদ্ধতির যথার্থতা খুব কমই স্পষ্ট।

অবশ্যই আমি জানি এটির সর্বোত্তম উপায়টি হ'ল এর মতো দোলনীয় ইন্টিগ্রালগুলির জন্য অনুকূলিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করা, তবে কৌতূহলের জন্য মনে করুন যে আমি নিজেকে কিছু চতুর্ভুজ বিধি ব্যবহারের মধ্যে সীমাবদ্ধ রেখেছি। এই রূপান্তরটি অখণ্ডের যথার্থতা উন্নত করতে পারে যে কেউ নিশ্চিত বা খণ্ডন করতে পারে? এবং / অথবা আমাকে এটি ব্যাখ্যা করে একটি উত্স দেখায়?

quadrature special-functions

— ডেভিড জেড
সূত্র

উপর ইন্টিগ্রেটেড ... এটা বেসেল ফাংশন অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা এক।

0 \leq θ \leq π

$0\le\theta \le\pi$

— ডেভিড জেড

তাই আপনার প্রশ্ন: প্রদত্ত জেনেরিক -point সমচতুষ্কোণতা সূত্র উপর এবং উপর

, হয়

N

$N$

Q_{\infty}^{N} [\cdot]

$Q_\infty^N[\cdot]$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

Q_{π}^{N} [\cdot]

$Q_\pi^N[\cdot]$

[0, π]

$[0,\pi]$

চেয়ে খারাপ বা আরও ভাল

Q_{\infty}^{N \cdot M} [f J_{0}]

$Q^{N\cdot M }_\infty[f\,J_0]$

।

Q_{π}^{M} [Q_{\infty}^{N} [f (x) \cos (x \sin θ)]]

$Q^M_\pi[Q_\infty^N[f(x)\,\cos(x\sin\theta)]]$

— স্টেফানো এম

@ স্টেফানোম হ্যাঁ, এটা ঠিক।

— ডেভিড জেড

এফডাব্লুআইডাব্লু, জিরোথ-অর্ডার বেসেল ফাংশনটি মূল্যায়নের জন্য সবচেয়ে কার্যকর পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হ'ল ট্র্যাপিজয়েডালাল নিয়ম, যা এক সময়সীমার মধ্যে পর্যায়ক্রমিক সংহত করার সময় খুব সঠিক ফলাফল দিতে সুপরিচিত (সাধারণ মানের চেয়ে আরও ভাল, গাউসিয়ান চতুর্ভুজ)। সুতরাং: এটি সাহায্য করতে পারে, এটি নাও পারে।

— জেএম

আমি মনে করি না যে এটি কোনও পার্থক্য করে। তোমাদের উপর অবিচ্ছেদ্য জন্য যথেষ্ট উচ্চ পাদসংস্থান চয়ন করতে যাতে এটি বেসেল ফাংশন সমান । আমি নীচের উদাহরণে অর্ডার 20 বেছে নিয়েছি, তবে আপনি সর্বদা ঠিক যে ফাংশন এবং অন্তরকে সংহত করেছেন তার সাথে সম্মতি নিয়ে অভিভাবকতা করতে হবে। তারপরে আমি সাথে একত্রিত হয়েছি , উপর ইন্টিগ্রালের গাউসিয়ান চতুর্ভুজের ক্রম । আমি বেছে নিয়েছি এবং ডোমেন , আপনি পরিবর্তন করতে পারেন $\theta$ $J_0$ $n$ $x$ $f(x) = e^{-x} x^2$ $[0, x_\text{max}]$ $x_\text{max}$ নিচে. আমি পেয়েছি:

 n      direct         rewritten
 1  0.770878284949  0.770878284949
 2  0.304480978430  0.304480978430
 3  0.356922151260  0.356922151260
 4  0.362576361509  0.362576361509
 5  0.362316789057  0.362316789057
 6  0.362314010897  0.362314010897
 7  0.362314071949  0.362314071949
 8  0.362314072182  0.362314072182
 9  0.362314072179  0.362314072179
10  0.362314072179  0.362314072179

$n=9$

কোডটি এখানে:

from scipy.integrate import fixed_quad
from scipy.special import jn
from numpy import exp, pi, sin, cos, array

def gauss(f, a, b, n):
    """Gauss quadrature"""
    return fixed_quad(f, a, b, n=n)[0]

def f(x):
    """Function f(x) to integrate"""
    return exp(-x) * x**2

xmax = 3.

print " n      direct         rewritten"
for n in range(1, 20):
    def inner(theta_array):
        return array([gauss(lambda x: f(x) * cos(x*sin(theta)), 0, xmax, n)
            for theta in theta_array])
    direct = gauss(lambda x: f(x) * jn(0, x), 0, xmax, n)
    rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi
    print "%2d  %.12f  %.12f" % (n, direct, rewritten)

xmax $[0, \infty]$ f(x)rewritten = gauss(inner, 0, pi, 20) / pi

— ওয়ান্ডেজ ইয়ার্টিক
সূত্র

আমি সন্দেহ করি যে আপনি ঠিক বলেছেন, আমার নিজের পরীক্ষাগুলিতেও একই ফলাফল দেখা গেছে।

— ডেভিড জেড