ইকুই-স্পেস পয়েন্টগুলি কেন খারাপ আচরণ করে?

Question

পরীক্ষার বিবরণ:

ল্যাঞ্জরেঞ্জ দ্বিখণ্ডনে, সঠিক সমীকরণটি পয়েন্টগুলিতে নমুনা করা হয় (বহুভুজ অর্ডার ) এবং এটি 101 পয়েন্টে বিভক্ত হয়। এখানে প্রতিবার 64. 2 থেকে ভিন্নতা হয় , এবং ত্রুটি প্লট প্রস্তুত করা হয়। এটি দেখা যায় যে, যখন ফাংশনটি সমান স্থানের পয়েন্টগুলিতে নমুনা করা হয় তখন ত্রুটিটি প্রাথমিকভাবে নেমে আসে ( প্রায় 15 বা তার কম হওয়া পর্যন্ত ঘটে ) এবং তারপরে ত্রুটি আরও বৃদ্ধি পায় ।$N$$N - 1$এল 1 এল 2 এল ∞ এন $N$$L_1$$L_2$$L_\infty$$N$$N$

যদিও, প্রাথমিক নমুনাটি যদি লেজেন্ড্রে-গাউস (এলজি) পয়েন্টে (লেজেন্ড্রে বহুত্বের মূল), বা লেজেন্ড্রে-গাউস-লোবাট্টো (এলজিএল) পয়েন্টগুলি (লোবাট্টো পলিনোমিয়ালের মূল) হয় তবে ত্রুটিটি মেশিনের স্তরে নেমে যায় এবং না আরও বৃদ্ধি করা হয় যখন বৃদ্ধি।$N$

আমার প্রশ্নগুলি হ'ল,

সমতুল্য পয়েন্টগুলির ক্ষেত্রে ঠিক কী ঘটে?

বহুবচনীয় ক্রম বৃদ্ধি কেন নির্দিষ্ট পয়েন্টের পরে ত্রুটি বাড়ে?

এরও কি অর্থ হয় যে আমি WENO / ENO পুনর্নির্মাণের জন্য যদি লগ্রেঞ্জ বহুপদী ব্যবহার করি না, তবে মসৃণ অঞ্চলে আমি ত্রুটি পেতে পারি? (ভাল, এগুলি কেবল অনুমানমূলক প্রশ্ন (আমার বোঝার জন্য), ডাব্লুএনইও স্কিমের জন্য 15 বা ততোধিক ক্রমের ক্রমবিন্যাসটি পুনর্গঠন করা সত্যিই যুক্তিসঙ্গত নয়)

অতিরিক্ত তথ্য:

ফাংশন আনুমানিক:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ ,$x \in [-1, 1]$

$x$ ইকুইস্পিডেড (এবং পরে এলজি) পয়েন্টগুলিতে বিভক্ত । ফাংশনটি প্রতিবার 101 পয়েন্টে বিরক্ত হয়।$N$

ফলাফল:

1. ক) ইকুই-স্পেস পয়েন্টস ( জন্য বিরক্তি ): $N = 65$

1. খ) ইকুই-স্পেস পয়েন্টস (ত্রুটির প্লট, লগ স্কেল):

2. ক) এলজি পয়েন্টস ( জন্য ইন্টারপোলেশন ): $N = 65$

3. খ) এলজি পয়েন্ট (ত্রুটির প্লট, লগ স্কেল):

Answer 1

অবিচ্ছিন্ন পয়েন্টগুলির সাথে সমস্যাটি হ'ল আন্তঃপোলেশন ত্রুটি বহুপদী, অর্থাৎ

$$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$$

নোডের বিভিন্ন সেটের জন্য আলাদাভাবে আচরণ করে । সুস্পষ্ট পয়েন্টগুলির ক্ষেত্রে, এই বহুপদীটি প্রান্তগুলিতে ফুঁক দেয়।$x_i$

আপনি যদি গাউস-লেজেন্ড্রে পয়েন্টগুলি ব্যবহার করেন তবে ত্রুটি বহুত্বপূর্ণভাবে উল্লেখযোগ্যভাবে ভাল আচরণ করা হয়, অর্থাত্ এটি প্রান্তগুলিতে ফুরিয়ে যায় না। যদি আপনি চেবিশেভ নোডগুলি ব্যবহার করেন তবে এই বহুপদী ইকুইসিসিলেট এবং ইন্টারপোলেশন ত্রুটিটি ন্যূনতম।

Comments

জন পি। বয়েড চ্যাবিশেভ এবং ফুরিয়ার স্পেকট্রাল পদ্ধতিগুলির বইটিতে যথেষ্ট বিশদ বিবরণ রয়েছে , যেখানে পেড্রোর আন্তঃব্যবস্থা ত্রুটির বহুত্ববৃত্তিকেও খুব সুন্দরভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে (অধ্যায় 4.2 পৃষ্ঠা 85)।

— বোর্ট

ধন্যবাদ. এছাড়াও উল্লিখিত পছন্দগুলির জন্য লেবেসগু ধ্রুবকটি ভিন্ন আচরণ করে। ইক্যুয়েস-স্পেস পয়েন্টগুলির জন্য, লেবেসগু ধ্রুবক তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পায় যখন এলজি, এলজিএল, চেবিশেভের জন্য এটি এক ধরণের স্যাচুরেট ক্রমবর্ধমান এন। en.wikedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation ) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf , তবে সংখ্যা বাস্তবায়নের বিষয়ে প্রশ্ন এখনও রয়ে গেছে ...

— সুবোধ

দুঃখিত, আমি ENO / WENO সম্পর্কে বেশি কিছু জানি না। তবে আমি কম অর্ডার বিভক্তকরণের জন্য মসৃণ অঞ্চলে সমস্যাগুলি আশা করব না, যদিও চতুষ্পদ নোডগুলি স্পষ্টত কারণে স্পষ্টতই ভাল পছন্দ।

— বোর্ট

Answer 2

এটি একটি সত্যিই আকর্ষণীয় প্রশ্ন এবং এর সম্ভাব্য ব্যাখ্যা রয়েছে are যদি আমরা বহুবর্ষীয় ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করার চেষ্টা করে যাচ্ছি, তবে নোট করুন যে বহুপথটি নিম্নলিখিত বিরক্তিকর বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে

একটি বহুপদী দেওয়া অনধিক ডিগ্রী এন আমরা আছে$P$$N$

$$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$$

প্রতি । এটি বার্নস্টেইনের অসমতা হিসাবে পরিচিত , এই বৈষম্যের এককত্ব নোট করুন। এটি মার্কভ বৈষম্য দ্বারা আবদ্ধ হতে পারে$x \in (-1,1)$

$$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$$

এবং মনে রাখবেন যে চেবিশেভ বহুবর্ষগুলি এটিকে একটি সমীকরণ করে তোলে সেই অর্থে এটি তীক্ষ্ণ । সুতরাং অন্য কথায় আমরা নিম্নলিখিত সম্মিলিত আবদ্ধ আছে।

$$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$$

এর অর্থ কী: অন্তর্ভুক্ত সীমানার ছোট ছোট পাড়া ব্যতীত বহুলোকের গ্রেডিয়েন্টগুলি সর্বত্র তাদের ক্রমে লম্বাভাবে বৃদ্ধি পায়। সীমানায় তারা মতো আরও বৃদ্ধি পায় । এটি কোনও দুর্ঘটনা নয় যে স্থিতিশীল ইন্টারপোলেশন নোডগুলির সীমানার কাছে 1 / N 2 ক্লাস্টারিং থাকে। ক্লাস্টারিং ভিত্তির গ্রেডিয়েন্টগুলি নিয়ন্ত্রণ করার জন্য প্রয়োজনীয়, যেখানে মিডপয়েন্টের কাছাকাছি থেকে আরও কিছুটা স্বচ্ছন্দ হতে পারে।$N^2$$1/{N^2}$

এটি দেখা যাচ্ছে যে এটি অগত্যা একটি বহুবর্ষীয় ঘটনা নয়, আমি নিম্নলিখিত কাগজটির পরামর্শ দিই:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

এটি শিথিলভাবে বলে: আপনার যদি বহুপদী ভিত্তির একই আনুপাতিক শক্তি থাকে তবে আপনি স্থিতিশীলভাবে সমান দুরত্বের পয়েন্টগুলি ব্যবহার করতে পারবেন না।

Answer 3

সমস্যাটি সমান দূরত্বের পয়েন্ট নয় । এটি সমান দূরত্বের পয়েন্টগুলির সাথে বেস ফাংশনগুলির বৈশ্বিক সমর্থন যা সমস্যা। কমপ্যাক্ট সাপোর্টের কিউবিক-বি স্প্লাইন বেস ফাংশনগুলি ব্যবহার করে সমানভাবে ব্যবধানযুক্ত পয়েন্টগুলি ব্যবহার করে একটি পুরোপুরি ভাল কন্ডিশনার ইন্টারপোল্যান্টকে ক্রেসের সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে বর্ণনা করা হয়।

Comments

নিশ্চিত, তবে তারপরে আপনার ইন্টারপোল্যান্ট বিশ্বব্যাপী মসৃণ হবে না (কেবল উদাহরণস্বরূপ )$C^2$

— GoHokies

@ গোহোকিজ: কমপ্যাক্ট সমর্থিত স্প্লাইনগুলি পুনরাবৃত্ত সমঝোতার দ্বারা পছন্দসই হিসাবে মসৃণ করা যেতে পারে। ব্যবহারের ক্ষেত্রে কী ক্ষেপক? $C^{\infty}$

— ব্যবহারকারী 14717

$C^2$$C^4$

Answer 4

সমতুল্য পয়েন্টগুলির ক্ষেত্রে ঠিক কী ঘটে?

বহুবচনীয় ক্রম বৃদ্ধি কেন নির্দিষ্ট পয়েন্টের পরে ত্রুটি বাড়ে?

এটি রঞ্জের ঘটনার সাথে সমান যেখানে ইক্যুই-স্পেস নোডের সাথে ইন্টারপোলেশন ত্রুটিটি বহিরাগত ডিগ্রি বৃদ্ধির সাথে সাথে পয়েন্টের সংখ্যার সাথে অনন্ত হয়ে যায়।

@ পেড্রো উত্তরে @ সুবোধের মন্তব্য দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে লেবেসগের ধ্রুবক থেকে এই সমস্যার একটি মূল পাওয়া যায় । এই ধ্রুবকটি সর্বাধিক সান্নিধ্যের সাথে অন্তরঙ্গকে সম্পর্কিত করে।

---

কিছু স্বরলিপি

$f \in C([a,b])$$x_k$

$$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$

বহুভুজ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে$p_n \in P_n$$(x_k, f(x_k))$$(x_k, f_k)$

$$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$$

---

$\tilde{f}_k$$\tilde{p}_n$

$$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$$

ত্রুটির অনুমানগুলি হ'ল:

$$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$$

$$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

$\Lambda_n$

$$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

এটির সাথে চূড়ান্ত অনুমানগুলি হ'ল:

$$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$$

$\infty$$L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

$\Lambda_n$

• তারিখ থেকে স্বাধীন:
• শুধুমাত্র নোড বিতরণ থেকে নির্ভর করে;
• স্থিতিশীলতার সূচক (এটি যত কম হবে তত ভাল)।

$|| \cdot||_\infty$

লেবেসগুর ধ্রুবকের সাথে ইন্টারপোলেশন ত্রুটির একটি অনুমান আমরা পেয়েছি অনুসরণের উপমাটির সাথে:

$f$$p_n$

$$|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$$ $$d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$$

$\Lambda_n$ ছোট হয় ত্রুটি সেরা ইউনিফর্ম অনুমানের ত্রুটি থেকে খুব বেশি দূরে নয় এবং উপপাদ্যটি সংক্ষিপ্ততম ত্রুটির সাথে ইন্টারপোলেশন ত্রুটির তুলনা করে যা সেরা ইউনিফর্মের আনুমানিকতার ত্রুটি।

$\Lambda_n$$c$

$$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$$

$$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$$ আমি কিছু বিশদ বাদ দিয়েছি, তবে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বৃদ্ধিটি ক্ষুদ্রতর।

$$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$$

অন্যান্য নোড বিতরণগুলির জন্য এই নিবন্ধের টেবিল 1 উদাহরণস্বরূপ দেখুন ।

---

ইন্টারপোলেশন সম্পর্কে বইটিতে প্রচুর রেফারেন্স রয়েছে। অন-লাইন এই স্লাইডগুলি পুনঃসূচনা হিসাবে দুর্দান্ত।

এছাড়াও এই উন্মুক্ত নিবন্ধ ([1])

বিভিন্ন তুলনার জন্য ব্যবধানে বহুভুজের জন্য একটি সংখ্যা সাতটি গ্রিড ইন্টারপোলেশন তুলনা।

Answer 5

$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

$d$$0 \le d \le n$$p_i$$\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$$f$$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

$$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$$

"মিশ্রণ ফাংশন" সহ

$$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$$

এই ইন্টারপোলেন্টগুলির কয়েকটি বৈশিষ্ট্য:

• এগুলি সত্যিকারের খুঁটিবিহীন ব্যারেন্সেন্ট্রিক যুক্তিযুক্ত আন্তঃখণ্ড ;
• স্বেচ্ছাসেবী আনুমানিক অর্ডারগুলি অর্জন করুন${\cal O}(h^{d+1})$$f \in C^{d+2}[a,b]$বিন্দু বিতরণ নির্বিশেষে অর্জন করুন;
• $p_0, \ldots p_{n-d}$$\lambda$ 'মিশ্রণ ফাংশন হিসাবে অভিনয়; s
• $d$$d+1$$n-d$ বিজোড় হয়) ;
• ব্যারিসেনট্রিক আকারে লিখিত হতে পারে (ফ্লোটার এবং হরম্যানের কাগজের 4 নং বিভাগ দেখুন)।

$d$

$2 d$ $[a,b]$$f$$[a,b]$$f_0, \ldots f_n$$r_{n+2d}$$[a,b]$

$n$$d$$d$

এখানেchebfuns যেমন বর্ণনা করা হয়েছে , সমতুল্য ডেটা তৈরি করার সময় শেফফুন লাইব্রেরি এফএইচ ইন্টারপোল্যান্ট ব্যবহার করে ।

তথ্যসূত্র:

এমএস ফ্লাটার এবং কে। হরম্যান, মেরু এবং আনুমানিক উচ্চ হারের ব্যারেন্সেন্ট্রিক যুক্তিসঙ্গত প্রক্ষেপণ, নিউমারিশে ম্যাথাম্যাটিক 107 (2007)।

জি। ক্লেইন, ফ্লোরারের এক্সটেনশন B হ্যারম্যান পরিবার অফ বেরিয়েনট্রিক রেশনাল ইন্টারপোলেন্টস, গণিতের গণিত , ৮২ (২০১১) - প্রিপ্রিন্ট

এল বোস, এস ডি মার্চি, কে। হরম্যান এবং জি। ক্লেইন, আনুপাতিক নোডস, নিউমার, এ ব্যারেন্সেন্ট্রিক যৌক্তিক দ্বিখণ্ডনের লেবেসগু ধ্রুবক। ম্যাথ। 121 (2012)