এমন কোনও মাল্টিগ্রিড অ্যালগরিদম রয়েছে যা নিউমান সমস্যা সমাধান করে এবং সংক্রমণের হার স্তরের সংখ্যার চেয়ে পৃথক?

Question

মাল্টিগ্রিড পদ্ধতিগুলি সাধারণত স্তরে ডিরিচলেট সমস্যাগুলি সমাধান করে (যেমন পয়েন্ট জ্যাকোবি বা গাউস-সিডেল)। অবিচ্ছিন্ন সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি ব্যবহার করার সময়, ছোট ডিরিচলেট সমস্যাগুলিকে একত্রিত করার চেয়ে ছোট নিউমানের সমস্যাগুলি একত্রিত করা খুব কম ব্যয়বহুল। নন-ওভারল্যাপিং ডোমেন পচন পদ্ধতি যেমন বিডিডিসি (FETI-DP এর মতো) মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা স্তরে "পিনড" নিউম্যান সমস্যা সমাধান করে। দুর্ভাগ্যক্রমে, মাল্টিলেভেল বিডিডিসির আকারের জন্য শর্ত নম্বর

$$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$$

যেখানে স্তরগুলির সংখ্যা এবং এইচ /$L$$H/h$ coarsening অনুপাত। বিপরীতে, ডিরিচলেট সমস্যার উপর ভিত্তি করে স্মুথারগুলির সাথে মাল্টিগ্রিড পদ্ধতির শর্ত সংখ্যা স্তরের সংখ্যার চেয়ে আলাদা একটি শর্ত নম্বর রয়েছে।

স্তর-স্বাধীনতা না হারিয়ে "পিনড" নিউম্যান সমস্যা সমাধানের কোনও উপায় আছে কি?

Comments

দ্রষ্টব্য: এটি একটি উন্মুক্ত গবেষণা প্রশ্ন, এটি এখানে একটি চ্যালেঞ্জ হিসাবে পোস্ট করা হয়েছে কারণ এটি ব্যবহারিক উদ্বেগ যা এই অঞ্চলে কাজ করা অনেক বিশ্লেষককে উপেক্ষা করে বলে মনে হচ্ছে।

— জেদ ব্রাউন

একটি মাল্টিগ্রিড প্রসঙ্গে "পিনড নিউম্যান" ব্লক স্মুথারের ঠিক সমান কি তা বলা শক্ত, কমপক্ষে আপনি যদি ডিডি প্রসঙ্গে এটির ভূমিকা গ্রহণ করার প্রত্যাশা করেন তবে। আপনি কি কোনও কালি পাতাগুলি বিশদভাবে বলতে পারেন এটি কী হবে?

— পিটার ব্রুন

Answer 1

আমি নিশ্চিত না যে এটি বিডিডিসির থেকে কতটা আলাদা, এবং এটি খুব ভালভাবে বিশ্লেষণ করা হয়নি, তবে আমি এটি পড়ার আগে আকর্ষণীয় বলে মনে হয়েছিল:

বড় গ্রিডে তরল সিমুলেশনের জন্য একটি সমান্তরাল মাল্টিগ্রিড পোইসন সলভার

Comments

এই কাগজটিতে সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, যার জন্য স্থানীয় ডিরিচলেট সমস্যাগুলি তৈরি করা স্বাভাবিক is তারা একটি স্যাঁতসেঁতে জ্যাকোবি মসৃণ ব্যবহার করে (একক পয়েন্ট ডিরিচলেট সমস্যা)। এটি স্বল্প-স্মৃতি (এই শ্রেণীর পদ্ধতিগুলির জন্য সাধারণ) এবং একটি স্তম্ভিত গ্রিড ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করে (সাধারণ নয়)। এটি একটি সূক্ষ্ম কাগজ হতে পারে (আমি এটি মনোযোগ সহকারে পড়িনি), তবে এটি এই প্রশ্নের ক্ষেত্রে অপ্রয়োজনীয়।

— জেদ ব্রাউন