মাল্টিফিজিক্স পিডিইগুলির জন্য অপারেটর বিভক্ত করার পদ্ধতিগুলি রয়েছে যা উচ্চ অর্ডার কনভার্সেন্স অর্জন করে?

Question

একটি বিবর্তন পিডিই দেওয়া হয়েছে

$$u_t = Au + Bu$$

যেখানে (সম্ভবত অ-রৈখিক) ডিফারেনশাল অপারেটরগুলি যাতায়াত করে না, সেখানে একটি সাধারণ সংখ্যার পদ্ধতির সমাধানের মধ্যে বিকল্প হয়$A,B$

$$u_t = Au$$

এবং

$$u_t = Bu.$$

এর সহজ প্রয়োগটি গডুনভ বিভাজন হিসাবে পরিচিত এবং এটি 1 ম-অর্ডার সঠিক। আরেকটি সুপরিচিত পদ্ধতির, স্ট্র্যাং বিভাজন হিসাবে পরিচিত, এটি ২ য় অর্ডার সঠিক। উচ্চতর অর্ডার অপারেটর বিভাজন পদ্ধতি (বা বিকল্প মাল্টিফিজিকস বিচক্ষণতা পদ্ধতির) কি বিদ্যমান?

Comments

পদগুলি কি কঠোর বা অ-কঠোর? আপনার কি A এবং B প্রযোজ্য কোনও ফাংশন রয়েছে, বা আপনার কাছে কেবল একটি অ্যালগরিদম আছে যা রাজ্যটিকে থেকে t n + 1 এ অগ্রসর করে ? এক ক্ষেত্রে যেখানে কঠোর এবং একটি অ-কঠোর, সেখানে অনেক আকর্ষণীয় পদ্ধতি রয়েছে। $t^n$$t^{n+1}$

— জেড ব্রাউন

Answer 1

এটি আমার বোঝা ছিল যে বিসিএইচ সূত্রটি দুটি অ-পরিবহনের ম্যাট্রিক্সের ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনসিয়ালের আনুমানিক একটি পদ্ধতিগত উপায় ছিল।

Comments

কিন্তু পিডিই বাস্তব হওয়ার পরেও কী জটিল পদগুলিতে নেতৃত্ব দেয় না? লোকেরা কি এটি ২ য় অর্ডারের চেয়ে বেশি বিবেচনার জন্য ব্যবহার করে?

— ডেভিড কেচসন

আমার স্মৃতি থেকে নয় (বা ওয়েবপৃষ্ঠা)। এটি প্রচুর ভ্রমণকারীদের দিকে নিয়ে যায়। কোয়ান্টাম বহুদেহে, এই অভিব্যক্তিগুলি সরল করার দুর্দান্ত উপায় রয়েছে।

— ম্যাট নিপলি

Answer 2

আপনি যদি সাধারণ অপারেটরগুলি এ এবং বি বিবেচনা করেন এবং যদি আপনি কেবল ইতিবাচক সময়ের পদক্ষেপগুলি করতে চান (যা সাধারণত প্যারাবলিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় আপনার প্রয়োজন হয়), সেখানে 2 এর অর্ডার বাধা রয়েছে, কোনও ধরণের বিভাজন ব্যবহার করে, আপনি প্রাপ্ত করতে পারবেন না দুইয়ের চেয়ে বেশি কনভার্জেন্সের হার। এস ব্লেনস এবং এফ ক্যাসাস, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf দ্বারা একটি সাম্প্রতিক কাগজে একটি প্রাথমিক প্রমাণ দেওয়া হয়েছে ।

তবে আপনার সমস্যা সম্পর্কে যদি আপনি কিছুটা আরও জানেন তবে বাইরে বেরোনোর ​​বেশ কয়েকটি উপায় রয়েছে:

• ধরে নিন যে আপনি আপনার সমীকরণগুলি সময়ের সাথে সাথে পিছনে পিছনে সমাধান করতে পারেন (যার জন্য সাধারণ, যেমন, শ্রাদিনগার সমীকরণ), তারপরে অনেকগুলি বিভাজন পাওয়া যায়, হায়ারার, লুবিচ এবং ওয়ানার রচিত "জ্যামিতিক সংখ্যাসঙ্গিক একীকরণ" বইটি দেখুন।
• যদি আপনার অপারেটরগুলি বিশ্লেষণাত্মক সেমিগ্রুপ উত্পন্ন করে, অর্থাত্, আপনি টির জন্য জটিল মান সন্নিবেশ করতে পারেন (প্যারাবলিক সমীকরণের জন্য আদর্শ), এটি সম্প্রতি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছিল যে জটিল প্লেনটিতে গিয়ে আপনি উচ্চতর অর্ডার স্প্লিটেশনগুলি অর্জন করতে পারেন। এই দিকের প্রথম নিবন্ধগুলি হলেন হানসেন এবং এ। ওস্টারম্যান, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , এবং এফ ক্যাস্তেলা, পি। চারটিয়ার , এস। ডেসকোম্বেস, এবং জি। ভিলমার্ট। কিছু জটিল অর্থে "অনুকূল" জটিল জটিল বিভাজনের পছন্দটি বর্তমান গবেষণার বিষয়, আপনি আর্ক্সিভ সম্পর্কিত বেশ কয়েকটি কাগজপত্র পেতে পারেন।

সংমিশ্রণ: আপনি যদি নিজের সমস্যার উপর কিছু অনুমান স্থাপন করেন তবে আপনি কিছু পেতে পারেন, তবে তা না হলে, অর্ডার 2 সর্বাধিক।

পিএস .: স্প্যাম প্রতিরোধের কারণে আমাকে ক্যাস্তেলা এট আল-পেপারের লিঙ্কটি নিতে হয়েছিল, তবে আপনি এটি গুগলে সহজেই খুঁজে পেতে পারেন।

Answer 3

এলবিএনএল- এর সিসিএসই গ্রুপটি সম্প্রতি জটিল রসায়ন সহ লো ম্যাক সংখ্যার প্রবাহে স্পেকট্রাল ডিফার্ড কারেকশন (এসডিসি) পদ্ধতি ব্যবহার করেছে। তারা এসডিসির ফলাফলগুলিকে স্ট্র্যাং বিভাজনের সাথে তুলনা করে এবং ফলাফলগুলি খুব আশাব্যঞ্জক।

বিশদ সহ একটি খসড়া কাগজ এখানে দেওয়া হয়েছে: কমপ্লেক্স কেমিস্ট্রি সহ লো ম্যাচ নম্বর প্রবাহের জন্য একটি ডিফার্ড কারেকশন কপলিং কৌশল

নোট করুন যে এসডিসি স্কিমটি একটি পুনরাবৃত্তি স্কিম যা একটি উচ্চ-অর্ডার নির্ভুল সংঘাতের সমাধানে রূপান্তর করে তবে এটি প্রথম অর্ডার পদ্ধতি থেকে তৈরি।

Answer 4

বিভক্ত ত্রুটি, অন্তত নীতিগতভাবে বর্ণালী স্থগিত সংশোধন পদ্ধতি দ্বারা হ্রাস করা যেতে পারে। তবে এটি সক্রিয় গবেষণার ক্ষেত্র বলে মনে হচ্ছে এবং সাধারণ ব্যবহারের জন্য প্রস্তুত কিছু নয়।

Answer 5

উচ্চ-অর্ডার বিভক্তকরণ স্কিমগুলির জন্য একটি নতুন সংস্থান যা এখানে বেশ কয়েকটিকে তালিকাবদ্ধ করে এখানে পাওয়া যাবে:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/