সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের দুর্বল সূত্রটি কীভাবে পাওয়া যায়?

আমি ফিনিট এলিমেন্ট পদ্ধতির একটি প্রাথমিক ভূমিকা গ্রহণ করেছি, যা কোনও 'দুর্বল গঠনের' সম্পর্কে একটি পরিশীলিত বোঝার উপর জোর দেয়নি। আমি বুঝতে পারি যে গ্যালারকিন পদ্ধতির সাহায্যে আমরা পরীক্ষার ফাংশন দ্বারা (উপবৃত্তাকার) পিডিই এর উভয় দিককে গুণ করি এবং তারপরে (অংশে বা ডাইভারজেন উপপাদ্য দ্বারা) সংহত করি। কখনও কখনও, উপযুক্ত দুর্বল গঠনের (বইয়ের পিছনের উত্তরের ভিত্তিতে) পৌঁছানোর আগে আমার দু'বার অংশ দ্বারা সংহত করার প্রয়োজন হয়েছিল। তবে আমি যখন অন্য পিডিই'র (একইভাবে বলি যে তারা এখনও সময়-স্বতন্ত্র) একই ধারণাটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করি তখন বুঝতে পারি না যে সূত্রটি বিবেচনার জন্য উপযুক্ত কিনা recognize এমন কোনও 'লাল পতাকা' আছে যা আমাকে বলতে পারে যে এই ফর্মটি সমীকরণের রৈখিক ব্যবস্থায় আলাদা হতে পারে?

তদুপরি, আমি কীভাবে বেস ফাংশনগুলির একটি উপযুক্ত সেট চয়ন করব?

pde finite-element

— পল
সূত্র

নিজেকে নিম্নলিখিত জিজ্ঞাসা করুন:

প্রথমত, অংশগুলির দ্বারা সংহতকরণ কীভাবে সমস্যার দ্রবণীয়তা এবং সমাধানের স্থানকে প্রভাবিত করে?

দ্বিতীয়ত, কোন কার্যস্থলের জন্য আপনি প্রয়োগ করতে পারবেন এমন একটি উপ-স্থান (আনস্যাটজ ফাংশন) একটি সিরিজ তৈরি করতে পারেন?

আসুন আমরা for এর জন্য পোইসন সমস্যাটিকে বিবেচনা করি , তে , সমজাতীয় ডিরিচলেট সীমানা শর্তের সাথে বলুন। ইন্টিগ্রেশন মাধ্যমে, বাম এবং সমীকরণের ডান দিকে বেষ্টিত functionals হিসাবে গণ্য করা যেতে পারে , বলতে আছে $u'' = f$ $f \in L^2$ $[0,1]$ $L^2$ $\phi \in L^2$

$\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ এবং $\phi \mapsto \int f \phi dx$

যে কোন ফাংশন যেহেতু হতে পারে কম্প্যাক্ট সমর্থন মসৃণ ফাংশন দ্বারা -approximated, উভয় অবিচ্ছেদ্য functionals সম্পূর্ণরূপে আপনি শুধুমাত্র সমস্ত পরীক্ষা ফাংশন মান জানি পরিচিত হয়। তবে পরীক্ষার ফাংশনগুলির সাহায্যে আপনি অংশগুলি দ্বারা সংহতকরণ করতে পারেন এবং বাম-হাতটি কার্যকরীতে রূপান্তর করতে পারেন $L^2$ $L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

এটি এই হিসাবে পড়ুন: "আমি একটি পরীক্ষা ফাংশন গ্রহণ করি , এর ডিফারেনশিয়াল গণনা করি এবং এটিকে'u এর সাথে [0,1] এর সাথে একীকরণ করি এবং আপনাকে ফলাফলটি ফিরিয়ে দেব " " তবে সেই কার্যকরীটি তে সংজ্ঞায়িত এবং আবদ্ধ নয় , যেহেতু আপনি একটি স্বেচ্ছাসেবক ফাংশনটির পার্থক্য নিতে পারবেন না । এগুলি সাধারণভাবে অত্যন্ত অদ্ভুত লাগতে পারে। $\phi$ $L^2$ $L^2$

তবুও আমরা লক্ষ্য করি যে এই কার্যকরীটি সোবোলেভ স্থান পর্যন্ত প্রসারিত করা যেতে পারে এবং এটি এমনকি একটি সীমাবদ্ধ কার্যকরীও । মানে, যে দেওয়া , আপনি মোটামুটিভাবে এর মান অনুমান করতে পারেন এর গুণিতক দ্বারা এর -norm । এবং তদ্ব্যতীত, কার্যকরী অবশ্যই অবশ্যই এ সংজ্ঞায়িত এবং আবদ্ধ নয়, তবে সংজ্ঞায়িত এবং আবদ্ধ । $H^1$ $H_0^1$ $\phi \in H_0^1$ $\int -u' \phi' dx$ $H_0^1$ $\phi'$ $\phi \mapsto \int f \phi dx$ $L^2$ $H_0^1$

এখন আপনি, উদাহরণস্বরূপ, লক্ষ-মিলগ্রামের লেমা প্রয়োগ করতে পারেন, এটি কোনও পিডিই-বইয়ে উপস্থাপিত হয়েছে। একটি সীমাবদ্ধ উপাদান বই যা এটি বর্ণনা করে কেবল কার্যক্ষম বিশ্লেষণ সহ, যেমন সিয়ারলেট দ্বারা ক্ল্যাসিক বা ব্রেসের পরিবর্তে নতুন বই।

লক্ষ-মিলগ্রামের লেমা পিডিই-লোকদের শুদ্ধ বিশ্লেষণের জন্য একটি দুর্দান্ত সরঞ্জাম দেয় তবে তারা তাদের উদ্দেশ্য হিসাবে অনেক অচেনা সরঞ্জাম ব্যবহার করে। তবুও, এই সরঞ্জামগুলি সংখ্যার অ্যানালিসিটগুলির জন্যও প্রাসঙ্গিক, কারণ আপনি প্রকৃতপক্ষে এই জায়গাগুলির জন্য একটি বিচক্ষণতা তৈরি করতে পারেন।

উদাহরণস্বরূপ, এর পৃথক উপসর্গ , কেবল টুপি ফাংশনগুলি গ্রহণ করুন। তাদের লাফ দেয় না এবং টুকরা দিক থেকে পৃথক হয়। তাদের পার্থক্যটি টুকরোচক ধ্রুবক ভেক্টর ক্ষেত্র। এই , যা ভাল, তবে আপনি কি এমন একটি আনস্যাটজ স্পেস নিয়ে আসতে পারেন যার কার্যক্রমে কেবল গ্রেডিয়েন্ট থাকে না (এটি দুর্দান্ত, অর্থাত্ বর্গক্ষেত্রের জন্যও), তবে এটিও কার গ্রেডিয়েন্টগুলি পরিবর্তিত হয়েছে অন্যদিকে? (আবার, বর্গ-সংহত) gra এটি সাধারণভাবে বেশ শক্ত। $H_0^1$ $d=1,2,3,...$

সুতরাং আপনি কীভাবে দুর্বল সূত্রগুলি তৈরি করেন তার সাধারণ কারণ হ'ল আপনি লক্ষ-মিলগ্রামের লেমা প্রয়োগ করতে চান এবং ফাংশনগুলি বাস্তবে বাস্তবায়িত হতে পারে এমন একটি সূত্র তৈরি করতে চান। (রেকর্ডের জন্য, -মিলগ্রাম সেই প্রসঙ্গে শেষ শব্দ নয়, বা বিচক্ষণতার শেষ শব্দটিকে ফাঁকা করে দেখছেন না, যেমন, বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন পদ্ধতিগুলি দেখুন)) $H_0^1$

মিশ্র সীমানা শর্তের ক্ষেত্রে, প্রাকৃতিক পরীক্ষার স্থানটি আপনার অনুসন্ধানের স্থান থেকে পৃথক হতে পারে (বিশ্লেষণী সেটিংয়ে), তবে বিতরণ তত্ত্বের উল্লেখ না করে কীভাবে এটি বর্ণনা করতে হবে সে সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই, তাই আমি এখানেই থামি। আমি আশা করি এই সহায়ক।

— shuhalo
সূত্র

যদিও এটি একটি দুর্দান্ত উত্তর বলে মনে হচ্ছে, আমার সাধারণ মস্তিষ্ক (অনুশীলন প্রকৌশলী) গাণিতিক কঠোরতা (এবং ব্যবহৃত শর্তাদি / লেমমাস ইত্যাদি) বুঝতে পারে না। আমি দুর্বল ফর্ম সম্পর্কে আরও সাধারণ লোকের ব্যাখ্যা চাই।

— কৃষ্ণ