সংকোচনের ন্যাভিয়ার-স্টোকসের জন্য উত্পাদিত সমাধান - ডাইভারজেন-মুক্ত বেগের ক্ষেত্রগুলি কীভাবে সন্ধান করবেন?

10

উত্পাদিত সমাধানগুলির পদ্ধতিতে (এমএমএস) এক সঠিক সমাধান পোস্ট করে, সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করে এবং সংশ্লিষ্ট উত্স শব্দটি গণনা করে। সমাধানটি কোড যাচাইকরণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

অবিস্মরণীয় নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের জন্য, এমএমএস সহজেই ধারাবাহিকতা সমীকরণের (শূন্য-অ) উত্স পদের দিকে নিয়ে যায়। তবে সমস্ত কোডই ধারাবাহিকতা সমীকরণগুলিতে উত্স শর্তাদি মঞ্জুরি দেয় না, সুতরাং এই কোডগুলির জন্য কেবল একটি বিচ্যুতি মুক্ত বেগ ক্ষেত্রগুলি সহ সমাধানগুলি প্রস্তুত করে। আমি একটি ডোমেনের জন্য এই উদাহরণটি পেয়েছি $\Omega=[0,1]^2$

\begin{aligned} u_{1} & = - \cos (π x) \sin (π y) \\ u_{2} & = \sin (π x) \cos (π y) \end{aligned}

$\begin{align} u_1 &= -\cos(\pi x) \sin(\pi y) \\ u_2 &= \sin(\pi x) \cos(\pi y) \end{align}$ সাধারণ 3 ডি ক্ষেত্রে, কেউ কীভাবে একটি বিচ্ছিন্নতা মুক্ত বেগ ক্ষেত্র তৈরি করে?

navier-stokes incompressible verification

— ক্রিস
সূত্র

7

একটি ভেক্টর স্ট্রিমফানশন ব্যবহার করুন বা দুটি গ্রেডিয়েন্টের ক্রস পণ্য নিন। উদাহরণস্বরূপ: যেখানে আপনার চয়ন করার একটি ভেক্টর ক্ষেত্র, বা যেখানে এবং আপনার পছন্দসই দুটি স্কেলার ক্ষেত্র।

u = \nabla \times A

$\boldsymbol{u}=\nabla\times\boldsymbol{A}$

A

$\boldsymbol{A}$

u = \nabla f \times \nabla g

$\boldsymbol{u}=\nabla f\times\nabla g$

f

$f$

g

$g$

উভয়ের পক্ষে বেগটি বিচ্যুতিহীন হওয়া এবং সীমানা শর্তাবলী নির্ধারণ করা শক্ত, তবে যতক্ষণ আপনার কোড আপনাকে আপনার সীমানা শর্তের জন্য স্বেচ্ছাসেবী ফাংশন সেট করতে দেয় ততক্ষণ আপনার উচিত ঠিক।

ইটিএ: অবশ্যই, আপনার গতিসম্পন্ন সমীকরণটি একটি জোর করে ফাংশনটি গ্রহণ করতে হবে, তবে আমি ধারাবাহিকতা সমীকরণের সাথে ডান-হাত যুক্ত করার চেয়ে গতি সমীকরণটি জোর করা সম্পর্কে সবসময় ভাল অনুভব করেছি।

— বিল বার্থ
সূত্র

ধন্যবাদ! (ধারাবাহিকতা সমীকরণ জোর কেবলমাত্র যতটা জানি আমি গহনা মডেলিংয়ে ঘটে)

— ক্রিস

5

এটি কোনও সাধারণ উত্তর নয়, তবে নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলির জন্য, এমন উত্পাদিত সমাধান রয়েছে যা আসল প্রবাহকে বর্ণনা করে। উদাহরণস্বরূপ, কোভাসনায়ে প্রবাহ ক্ষেত্রটি একটি জনপ্রিয় পছন্দ:

http://link.springer.com/article/10.1007/BF00948290

আসল রেফারেন্সটি হ'ল: কোভাসনে এলআইজি, "দ্বিমাত্রিক গ্রিডের পিছনে লামিনার প্রবাহ"। Proc। কেমব্রিজ ফিলোস সাকস, পৃষ্ঠা 44, 1948।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

1948 (!) আমি বুঝতে পারি নি যে এটি "আসল প্রবাহ"। এর অর্থ আপনার অর্থ এটি আসলে কোনও শারীরিক পরীক্ষায় (সংখ্যার পরীক্ষায় সিমুলেটেডের বিপরীতে) পরিমাপ করা যায়?

— ক্রিস

আমি বিশ্বাস করি, হ্যাঁ

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

না এটি গ্রিডের পিছনে একটি দূরত্বে আদর্শ প্রবাহ। গ্রিডটি দেখতে কেমন তা কেউ জানে না এবং সম্ভবত এটি "খুব নরম" উপাদান দিয়ে তৈরি করা উচিত

— Guido Kanschat

2

আমি সাধারণত তাই করি do

স্ট্রিমলাইন ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন:

Ψ = [\begin{matrix} ψ_{x} \\ ψ_{y} \\ ψ_{z} \end{matrix}]

$\Psi = \left[ \begin{array}{c} \psi_x\\ \psi_y\\ \psi_z\\ \end{array} \right]$

বেগ সমান:

u = \nabla \times Ψ = [\begin{matrix} u_{x} = \partial_{y} ψ_{z} - \partial_{z} ψ_{y} \\ u_{y} = \partial_{z} ψ_{x} - \partial_{x} ψ_{z} \\ u_{z} = \partial_{x} ψ_{y} - \partial_{y} ψ_{x} \end{matrix}] .

$\mathbf{u} = \nabla\times\Psi = \left[ \begin{array}{c} u_x =\partial_y \psi_z - \partial_z \psi_y\\ u_y =\partial_z \psi_x - \partial_x \psi_z\\ u_z =\partial_x \psi_y - \partial_y \psi_x\\ \end{array} \right].$

এখন আপনি যেকোন যুক্তিযুক্ত শূন্য-গড় চাপ বাছাই করতে পারেন এবং একটি জোর করে শব্দ তৈরি করতে পারেন।

আমি এবং একজাতীয় সীমানা শর্তের জন্য একটি সিমপাই উদাহরণ কোড পোস্ট করি , উপভোগ করুন: $\Omega = [0,1]^3$

 from sympy import *

 x,y,z = symbols('x y z')

 X = Matrix([[x],[y],[z]])

 psi = zeros(3,1)
 psi[0,0] = sin(2*pi*x)*y**2*(1-y)**2*z**2*(1-z)**2
 psi[2,0] = x**2*(1-x)**2*y**2*(1-y)**2*sin(2*pi*z)

 curl_psi = zeros(3,1)
 curl_psi[0] = diff(psi[2],X[1]) - diff(psi[1],X[2])
 curl_psi[1] = diff(psi[0],X[2]) - diff(psi[2],X[0])
 curl_psi[2] = diff(psi[1],X[0]) - diff(psi[0],X[1])

— নিকোলা কাভালিনী
সূত্র