পরিবর্তনশীল বেগের সাথে অ্যাডভেশন সমীকরণটি কি রক্ষণশীল হতে পারে?

আমি পরিবর্তনশীল বেগ সহগের সাথে অ্যাডভেশন সমীকরণটি আরও কিছুটা ভাল করে বোঝার চেষ্টা করছি। বিশেষত আমি বুঝতে পারি না যে সমীকরণটি রক্ষণশীল কীভাবে হতে পারে।

Advection সমীকরণ ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

আসুন কে কিছু শারীরিক প্রজাতির ঘনত্ব ( ) বা কিছু অন্যান্য শারীরিক পরিমাণ হিসাবে বর্ণনা করেন যা তৈরি বা ধ্বংস করা যায় না। যদি আমরা আমাদের ডোমেনের উপর একীভূত তবে আমাদের ধ্রুব হওয়া উচিত, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(এটি আমি রক্ষণশীল হয়ে বোঝাতে চাইছি))

যদি আমরা এখন বেগকে স্থান (এবং সময়), একটি ফাংশন হতে দিই , তবে শৃঙ্খলা বিধি অবশ্যই প্রয়োগ করতে হবে, $\boldsymbol{v}(x,t)$

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

চূড়ান্ত শব্দটি উত্স শব্দটির মতো "দেখায়" এবং এটিই আমি বিভ্রান্তিকর বলে মনে করি। এটা তোলে বৃদ্ধি অথবা পরিমাণ লাঘব হবে বেগ ক্ষেত্রের বিকিরণ উপর নির্ভর করে। $u$

এই প্রশ্ন অনুসরণ করে , আমি জানি যে কীভাবে সংরক্ষণের সীমানা শর্ত আরোপ করতে হয়। যাইহোক, পরিবর্তনশীল বেগ অ্যাডভেকশন সমীকরণের জন্য আমি বুঝতে পারি না যে চেইন বিধি প্রয়োগ করে প্রযোজিত অতিরিক্ত "উত্স শব্দ" এর কারণে সংরক্ষণ সীমানা পরিস্থিতি কীভাবে প্রাপ্ত করা যায়। এই সমীকরণটি কি রক্ষণশীল হতে পারে? যদি তা হয় তবে কীভাবে সঠিক সীমানা শর্ত প্রয়োগ করা যেতে পারে?

advection conservation

— boyfarrell
সূত্র

$\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

$\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

যেখানে ডানদিকে শব্দটি বাম এবং ডান সীমানার মধ্যে প্রবাহের মধ্যে পার্থক্য মাত্র।

$\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— জেড ব্রাউন
সূত্র

সত্যিই সুস্পষ্ট উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, আবারও, জেড! আমি মনে করি এটি সম্পর্কে আমি একটি ফলো-আপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করব, তবে প্রথমে আপনার পরামর্শটি বাস্তবায়নের চেষ্টা করা উচিত।

— বয়ফ্যারেল