অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন সমীকরণের জন্য প্রয়োগ করা নিউম্যান সীমানা শর্তগুলি ব্যবহার করার সময় একটি শারীরিক পরিমাণের সংরক্ষণ

Question

আমি যখন বিভিন্ন সীমানা শর্ত প্রয়োগ করি তখন আমি অ্যাডভেকশন-বিস্তারের সমীকরণের ভিন্ন আচরণ বুঝতে পারি না। আমার অনুপ্রেরণা হল প্রসারণ এবং advection অধীনে একটি বাস্তব শারীরিক পরিমাণ (কণা ঘনত্ব) এর অনুকরণ। কণার ঘনত্বটি প্রান্তগুলি থেকে প্রবাহিত না হওয়া অবধি অভ্যন্তরে সংরক্ষণ করা উচিত। এই যুক্তি অনুসারে, যদি আমি নিউম্যান সীমানা শর্তগুলি প্রয়োগ করি তবে সিস্টেমের শেষ যেমন $\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$(বাম এবং ডানদিকে) তারপর সিস্টেমটি"বন্ধ"হওয়া উচিতঅর্থাৎসীমান্তেরফ্লাক্সশূন্য হলে কোনও কণা পালাতে পারে না।

নীচের সমস্ত সিমিউলেশন জন্য, আমি advection-আশ্লেষ সমীকরণ খামখেয়াল-Nicolson discretization আবেদন করেছেন এবং সমস্ত সিমুলেশন আছে $\frac{\partial \phi}{\partial x}=0$সীমানা শর্ত। যাইহোক, ম্যাট্রিক্স (সীমাবস্থা সারি) আমি অনুমতি দেয় প্রথম ও শেষ সারির$\beta$অভ্যন্তর মান স্বাধীনভাবে পরিবর্তন করা। এটি শেষের পয়েন্টগুলি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত হতে দেয় allows

আমি নীচে 4 টি আলাদা কনফিগারেশন নিয়ে আলোচনা করব, তার মধ্যে কেবলমাত্র আমি প্রত্যাশা করেছি। শেষে আমি আমার বাস্তবায়ন নিয়ে আলোচনা করব।

বিচ্ছিন্নতা কেবল সীমাবদ্ধ

এখানে অভিগমন শর্তাবলী গতিবেগ শূন্যে সেট করে বন্ধ করা আছে।

কেবলমাত্র points বোল্ডসাইম্বল = 0.5 (ক্র্যাঙ্ক-নিসকোলসন) এর সাথে বিস্তৃতি$\boldsymbol{\beta}$

পরিমাণটি সংরক্ষণ করা হয় না যেমন ডাল অঞ্চল হ্রাস করে দেখা যায়।

শুধুমাত্র আশ্লেষ সঙ্গে 0.5 (খামখেয়াল-Niscolson) এ অভ্যন্তর পয়েন্ট =, এবং = 1 (পূর্ণ অন্তর্নিহিত) গণ্ডি এ$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

সীমানায় সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত সমীকরণ ব্যবহার করে আমি যা প্রত্যাশা করি তা অর্জন করি: কোনও কণা এড়ায় না । আপনি এটিকে অঞ্চলটি কণা বিচ্ছুরণ হিসাবে সংরক্ষণ করা দেখতে পাচ্ছেন। সীমানা পয়েন্টগুলিতে পছন্দটি কেন পরিস্থিতিটির পদার্থবিদ্যাকে প্রভাবিত করবে? এটি কি বাগ বা প্রত্যাশিত?$\beta$

বিবর্তন এবং উত্সাহ

যখন অ্যাডভেকশন শব্দটি অন্তর্ভুক্ত করা হয় তখন সীমানায় মান সমাধানটিকে প্রভাবিত করে না বলে মনে হয়। যাইহোক, সমস্ত ক্ষেত্রে যখন সীমানাগুলি "উন্মুক্ত" বলে মনে হয় অর্থাৎ কণা সীমানা থেকে বাঁচতে পারে। কেন এই ক্ষেত্রে?$\beta$

সমস্ত পয়েন্টে mb = 0.5 (ক্র্যাঙ্ক-নিকসোলসন) এর সাথে অ্যাডভিশন এবং ডিফিউশন$\boldsymbol{\beta}$

Advection এবং আশ্লেষ = 0.5 (খামখেয়াল-Niscolson) অভ্যন্তর বিন্দুতে, এবং = 1 (পূর্ণ অন্তর্নিহিত) গণ্ডি এ$\boldsymbol{\beta}$$\boldsymbol{\beta}$

অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন সমীকরণের বাস্তবায়ন

অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন সমীকরণ দিয়ে শুরু করা,

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন ব্যবহার করে লেখা দেয়,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

লক্ষ্য করুন = 0.5 খামখেয়াল-Nicolson জন্য, = 1 সম্পূর্ণরূপে অন্তর্নিহিত জন্য, এবং, সম্পূর্ণরূপে স্পষ্ট জন্য = 0।β $\beta$$\beta$$\beta$

স্বরলিপিটি সহজ করার জন্য আসুন প্রতিস্থাপন করা যাক,

$s = D\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ r = \boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2 \Delta x}$

এবং সময়ের প্রাপ্ত জ্ঞাত মান move সরান ,$\phi_{j}^{n}$

$\phi_{j}^{n+1} = \phi_{j}^{n} + s \left( 1-\beta \right) \left( \phi_{j-1}^{n} - 2\phi_{j}^{n} + \phi_{j+1}^{n} \right) + s \beta \left( \phi_{j-1}^{n+1} - 2\phi_{j}^{n+1} + \phi_{j+1}^{n+1} \right) + r \left( 1 - \beta \right) \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + r \beta \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right)$

ফ্যাক্টরিং পদ দেয়,$\phi$

$\underbrace{\beta(r - s)\phi_{j-1}^{n+1} + (1 + 2s\beta)\phi_{j}^{n+1} -\beta(s + r)\phi_{j+1}^{n+1}}_{\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}}} = \underbrace{ (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}}_{\boldsymbol{M\cdot}\boldsymbol{\phi^n}}$

যা আমরা ম্যাট্রিক্স আকারে as হিসাবে লিখতে পারি ,$\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\phi^{n+1}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{\phi^{n}}$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s\beta & -\beta(s + r) & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & \beta(r-s) & 1+2s\beta \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) \\ \end{matrix} \right)$

নিউম্যান সীমানা শর্ত প্রয়োগ করা

এনবি আবারও ডাইরিভিশনের মাধ্যমে কাজ করছে বলে আমি মনে করি যে আমি ত্রুটিটি চিহ্নিত করেছি। সীমানা শর্তের সীমাবদ্ধ পার্থক্যটি লেখার সময় আমি একটি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত স্কিম ( = 1) ধরেছিলাম। আপনি যদি এখানে ক্র্যাঙ্ক-নিকসোলসন স্কিম ধরে নেন তবে জটিলতা খুব দুর্দান্ত হয়ে উঠবে এবং আমি ডোমেনের বাইরে থাকা নোডগুলি সরিয়ে ফেলার ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারিনি। তবে এটি প্রদর্শিত হবে, দুটি অজানা সঙ্গে দুটি সমীকরণ আছে, কিন্তু আমি এটি পরিচালনা করতে পারি না। এটি সম্ভবত উপরের প্রথম এবং দ্বিতীয় প্লটের মধ্যে পার্থক্য ব্যাখ্যা করে। আমি মনে করি আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে সীমানা পয়েন্টগুলিতে কেবলমাত্র = 0.5 সহ প্লটগুলি বৈধ।$\beta$$\beta$

বাম-প্রান্তে ফ্লাক্স ধরে নেওয়া পরিচিত (পুরোপুরি অন্তর্নিহিত ফর্ম অনুমান করে),

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} = \sigma_L$

এটিকে কেন্দ্রিক-পার্থক্য হিসাবে লিখতে দেয়,

$\frac{\partial\phi_1^{n+1}}{\partial x} \approx \frac{\phi_2^{n+1} - \phi_0^{n+1}}{2\Delta x} = \sigma_L$

অতএব, $\phi_0^{n+1} = \phi_{2}^{n+1} - 2 \Delta x\sigma_L$

নোট করুন যে এটি একটি নোড প্রবর্তন করে যা সমস্যার ডোমেনের বাইরে। এই নোড দ্বিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করে নির্মূল করা যেতে পারে। আমরা নোড হিসাবে লিখতে পারি ,$\phi_0^{n+1}$$j=1$

$\beta(r - s)\phi_0^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - \beta(s+r)\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n}$

সীমানা অবস্থা থেকে পাওয়া of এর মান প্রতিস্থাপন = 1 সারির জন্য নিম্নলিখিত ফলাফল দেয় ,$\phi_0^{n+1}$$j$

$(1+2s\beta)\phi_1^{n+1} - 2s\beta\phi_2^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{j-1}^{n} + (1-2s[1-\beta])\phi_{j}^{n} + (1-\beta)(s+r)\phi_{j+1}^{n} + 2\beta(r-s)\Delta x\sigma_L$

চূড়ান্ত সারিতে ( = ) ফলনের জন্য একই পদ্ধতি সম্পাদন করা ,$j$$J$

$-2s\beta\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s\beta)\phi_J^{n+1} = (1-\beta)(s - r)\phi_{J-1}^{n} + (1 - 2s(1-\beta))\phi_{J}^{n} + 2\beta(s+r)\Delta x\sigma_R$

শেষ অবধি সীমানা সারি অন্তর্ভুক্ত করে (সেটিং = 1) দেয়,$\beta$

$(1+2s)\phi_1^{n+1} - 2s\phi_2^{n+1} = \phi_{j-1}^{n} + 1\phi_{j}^{n} + 2(r-s)\Delta x\sigma_L$

$-2s\phi_{J-1}^{n+1} + (1+2s)\phi_J^{n+1} = \phi_{J}^{n} + 2(s+r)\Delta x\sigma_R$

সুতরাং নিউমান সীমানা শর্তের সাথে আমরা ম্যাট্রিক্স সমীকরণ লিখতে পারি, ,$\boldsymbol{A}\cdot\phi^{n+1} = \boldsymbol{M}\cdot\phi^{n} + \boldsymbol{b_N}$

কোথায়,

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1+2s & -2s & & 0 \\ \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & \beta(r-s) & 1+2s\beta & -\beta (s + r) \\ 0 & & -2s & 1+2s \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & 0 \\ (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) & \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & (1 - \beta)(s - r) & 1-2s(1-\beta) & (1 - \beta)(s + r) \\ 0 & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{b_N} = \left( \begin{matrix} 2 (r - s) \Delta x \sigma_L & 0 & \ldots & 0 & 2 (s + r) \Delta x \sigma_R \end{matrix} \right)^{T}$

আমার বর্তমান বোঝাপড়া

• আমি মনে করি প্রথম এবং দ্বিতীয় প্লটের মধ্যে পার্থক্যটি উপরে বর্ণিত ত্রুটিটি চিহ্নিত করে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

• শারীরিক পরিমাণ সংরক্ষণ সম্পর্কিত। আমি বিশ্বাস করি যে কারণটি এখানে উল্লেখ করা হয়েছে যে, আমি যে ফর্মটি লিখেছি তাতে অ্যাডভেশন সমীকরণ বিপরীত দিকে প্রসারণ করতে দেয় না তাই তরঙ্গ কেবল শূন্য-প্রবাহের সীমানা শর্তের সাথেও পার হয়ে যায় । সংরক্ষণ সম্পর্কিত আমার প্রাথমিক স্বীকৃতি কেবল তখনই প্রয়োগ হয় যখন অ্যাডভেকশন শব্দটি শূন্য হয় (এটি ক্ষেত্রের 2 নম্বর প্লটে সমাধান হয়)।

• এমনকি নিউমান শূন্য-প্রবাহের সীমানা শর্তগুলির সাথে এখনও সিস্টেমটি ছেড়ে যেতে পারে, কারণ এটি এই ক্ষেত্রে সঠিক সীমানা শর্ত রবিন সীমানা শর্ত যা মোট প্রবাহ নির্দিষ্ট করা । অধিকন্তু নিউনম্যান শর্তটি নির্দিষ্ট করে যে ভর বিস্তারের মাধ্যমে ডোমেনটি ছাড়তে পারে না , এটি অ্যাডভিশন সম্পর্কে কিছুই বলে না। সংক্ষেপে আমরা যা শুনেছি তা হ'ল প্রসারণের বদ্ধ সীমানা শর্ত এবং মেনে চলা সীমানা শর্ত। আরও তথ্যের জন্য উত্তরটি এখানে দেখুন, অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন সমীকরণে গ্রেডিয়েন্ট জিরো বাউন্ডারি কনডিটন বাস্তবায়ন$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 0$$j = D\frac{\partial \phi}{\partial x} + \boldsymbol{v}\phi = 0$।

তুমি কি রাজি?

• রবিনের সীমানা শর্তগুলি কীভাবে কার্যকর করা যায় তার একটি টিউটোরিয়াল।

Comments

মনে হচ্ছে সীমানা শর্তগুলি সঠিকভাবে প্রয়োগ করা হয়নি। আপনি কীভাবে আমাদের সীমাবদ্ধ শর্ত চাপিয়ে দিতে পারেন?

— ডেভিড কেচসন

ঠিক আছে আমি প্রয়োগের সাথে আপডেট করেছি এবং আমি মনে করি আমি কেবল সীমানা সারিগুলিতে = 0.5 প্রয়োগ করার ক্ষেত্রে ত্রুটিটি চিহ্নিত করেছি । আমি প্রশ্নের নীচে আমার "বর্তমান বোঝাপড়া" আপডেট করেছি। যদি আপনার কোন মন্তব্য আছে? $\beta$

— বয়ফ্যারেল

সুতরাং ... রবিনের সীমানার ক্ষেত্রে সীমানাগুলির বিচক্ষণতা দেখতে কেমন? আপনি এটি নিউমান সীমানার জন্য দেখিয়েছেন, তবে রবিনের সীমানা নয়।

Answer 1

আমি মনে করি যে আপনার সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হ'ল (যেমন আপনি আপনার মন্তব্যে পর্যবেক্ষণ করেছেন) নিউমান শর্তগুলি আপনি যে শর্তগুলি সন্ধান করছেন তা নয় , এই অর্থে যে তারা আপনার পরিমাণ সংরক্ষণকে বোঝায় না। সঠিক শর্তটি সন্ধান করতে আপনার পিডিই আবার লিখুন

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t) .$$

এখন, শব্দটি বন্ধনীর মধ্যে প্রদর্শিত হবে, হয় মোট সর্দি এবং এই পরিমাণ যে আপনি সংরক্ষণ করতে গণ্ডি উপর শূন্য করা হবে । (আমি সাধারণতার পক্ষে এবং আপনার মন্তব্যের জন্য যুক্ত করেছি ) আপনাকে যে সীমানা শর্ত আরোপ করতে হবে তা হ'ল মনে হচ্ছে আপনার স্পেস ডোমেনটি )$D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi = 0$$\phi$$S(x,t)$$(-10,10)$

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(-10) + v \phi(-10) = 0$$

বাম দিকে এবং

$$D\frac{\partial \phi}{\partial x}(10) + v \phi(10) = 0$$

ডান পাশের জন্য এগুলি তথাকথিত রবিন সীমানা শর্ত (নোট করুন যে উইকিপিডিয়া স্পষ্টভাবে বলেছে যে এটি অ্যাডভেকশন-ডিফিউশন সমীকরণের জন্য অন্তরক শর্ত)।

যদি আপনি এই সীমানা শর্তগুলি সেট আপ করেন তবে আপনি যে সংরক্ষণাগারটি অনুসন্ধান করেছিলেন তা পাবেন। প্রকৃতপক্ষে, স্পেস ডোমেনের সাথে একীকরণ করা, আমাদের আছে

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \int \frac{\partial}{\partial x} \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) dx + \int S(x,t) dx$$

ডান হাতের অংশগুলি দ্বারা সংহতকরণ ব্যবহার করে , আমাদের কাছে রয়েছে

$$\int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx = \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(10) - \left( D \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right)(-10) + \int S(x,t) dx$$

সীমানা শর্তের জন্য এখন দুটি কেন্দ্রীয় পদটি লোপ পেয়েছে। সময় একীকরণ, আমরা প্রাপ্ত

$$\int_0^T \int \frac{\partial \phi}{\partial t} dx dt = \int_0^T \int S(x,t) dx dt$$

এবং যদি আমাদের প্রথম দুটি ইন্টিগ্রাল স্যুইচ করার অনুমতি দেওয়া হয় ,

$$\int \phi(x,T) dx - \int \phi(x,0) dx = \int_0^T \int S(x,t) dx$$

এটি দেখায় যে ডোমেনটি বহির্মুখী থেকে উত্তাপিত হয়। বিশেষত, যদি তবে আমরা সংরক্ষণ করি ।$S=0$$\phi$

Comments

আমি এখন বুঝতে পেরেছি কেন এটি কেবল তখনই কাজ করেছিল যখন = 0; কারণ এটি উপরের আপনার পদ্ধতির অনুসরণ সংরক্ষণকে বোঝায়। উপরের দিকে এই সীমানা শর্তটি ব্যবহারের পরিণতি কী হবে, তরঙ্গ প্রতিফলিত হবে? আমি ভেবেছিলাম এটি সম্ভব হবে না কারণ সমীকরণের এমন কিছুই নেই যা আমাকে নেতিবাচক বেগ দেবে? $\boldsymbol{v}$

— বয়ফ্যারেল

সবচেয়ে ভাল উপায় সম্ভবত চেষ্টা করা হয়! তবে যদি এটি সঠিকভাবে আচরণ করে (এবং আইএমও এটি করে) তবে আপনার একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ দেখতে হবে যা ডোমেনের বাম দিকে জমা হতে শুরু করে: অ্যাডভেকশনটি সেই দিকে ঠেলা দেয় but কিন্তু সীমানাটি বন্ধ থাকে। সঞ্চালন থেমে যায় যখন বিস্তৃতি যথেষ্ট পরিমাণে ভারসাম্যহীন থাকে। সুতরাং না, কোন প্রতিফলিত তরঙ্গ হওয়া উচিত। $\phi$$\phi$

— ডাঃ_সাম

@ ড্রামসাম বাস্তবায়ন সম্পর্কিত কেবল একটি প্রশ্ন। বাম পাশে কীভাবে শূন্য করা যায় সে সম্পর্কে আপনার বক্তব্যটি আমি বুঝতে পারি। কিন্তু আপনি যখন "ডানদিকে কেবল একটি সীমানা শব্দ" বলতে চান তার অর্থ কী? আমি ভেবেছিলাম সীমানা শর্তগুলি হয় হয় নিউমান বা ডিরিচলেট (বা উভয়ের মিশ্রণ) হওয়া উচিত?

— বয়ফ্যারেল

@ বোয়ফেরেল উত্তরের বাম / ডানটি সঠিক সীমানা শর্তের একটি অনুপাতকে বোঝাচ্ছে, এটি কার্যকর করার পদ্ধতি নয় (স্বচ্ছতার জন্য সম্পাদিত)। রবিনের শর্তগুলি ধ্রুপদী অবস্থা, যদিও ডিরিচলেট এবং নিউমানের চেয়ে কম পরিচিত।

— ডাঃ_সাম

সুতরাং বাস্তবায়ন সম্পর্কে, আপনি কি মনে করেন যে আমার উভয় সীমানার জন্য রবিনের সীমানা শর্তটি নেওয়া উচিত? এছাড়াও, যদি সমীকরণটির একটি প্রতিক্রিয়া শব্দ থাকে (যেমন সীমানা $$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial \phi}{\partial x} + v \phi \right) + S(x,t)$$

— শর্তটিও