বহুসংখ্যক বৈদ্যুতিন সময় নির্ভর শ্র্রডিনগার সমীকরণ সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করা কেন কঠিন

Question

দেখে মনে হয় যে লোকেরা সাধারণত একক ইলেকট্রন সিস্টেমকে মোকাবেলায় সিঙ্গল অ্যাক্টিভ ইলেকট্রন (এসএই) অনুমান ব্যবহার করে, সমস্যাটিকে একক ইলেক্ট্রন সমস্যায় রূপান্তর করে। উদাহরণস্বরূপ, হিলিয়াম পরমাণুর সমস্যার সংখ্যার সমাধান করার জন্য লেজার ক্ষেত্রগুলির সাথে আলাপচারিতায়, প্রায়শই লোকেরা প্রায়শই সিউডো-সম্ভাবনা দ্বারা বৈদ্যুতিন-ইলেকট্রন প্রভাব অন্তর্ভুক্ত করে এবং প্রয়োজনীয়ভাবে একটি ইলেকট্রন সমস্যা সমাধান করে। তাহলে সময় নির্ভর নির্ভর বহু-বৈদ্যুতিন শ্রাদিনগার সমীকরণকে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করা কেন কেন কঠিন? ধ্রুপদী এন-বডি সমস্যাটির তুলনায় এটি কি অনেক কঠিন? আমি দেখেছি এখানে প্রচুর বিশাল ক্লাসিকাল রয়েছে$n$- জ্যোতির্বিদ্যায় কারও সমস্যাটি রিয়েল টাইমে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করা হয়েছে , উদাহরণস্বরূপ এখানে বাস্তব সময়ে অনুকরণ করা হয়েছে দুটি গ্যালাক্সির সংঘর্ষের সাথে ২৮০০০০ কণা মিথস্ক্রিয়া জড়িত।

Comments

অসুবিধা ছাড়াও, ইউটিলিটি রয়েছে যা উদ্ভাবনকে চালিত করে। অ্যাস্ট্রোফিজিক্যাল$n$-সব সমস্যার সময় বিবর্তন প্রয়োজন । অন্যদিকে, আপনি একটি বহু-বৈদ্যুতিন পরমাণুর সাথে অনেক কিছুই করতে পারেন যা শক্তির মাত্রা সন্ধান করার মতো সময়-নির্ভরতা কম। অন্য কথায়, ছায়াপথের সংঘর্ষের চেয়ে পরমাণুর জন্য স্থির রাজ্যের সাথে যুক্ত আরও বেশি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।

হতে পারে, তবে আমি মনে করি এটি বিন্দু ছাড়াও। এমনকি স্থির কোয়ান্টাম গণনাগুলি অনেক বেশি ব্যয়বহুল। তবে তারপরেও, সময় নির্ভর কোয়ান্টাম গণনাগুলি অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক - প্রায় সব ব্যবহারিক ক্ষেত্রে এগুলি করা খুব ব্যয়বহুল, এবং এটি কেন আগে এটি করা হয়নি তা ব্যাখ্যা করে।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ

Answer 1

হ্যাঁ, এটি করা আরও অনেক কঠিন। জন্য$N$ শারীরিক সমস্যা, আপনার গণনা করা দরকার কেবল ট্র্যাজেক্টরিগুলি $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ যা ঠিক আছে $N$ একক ভেরিয়েবলের ফাংশন।

অন্যদিকে, এমনকি একটি একক ইলেকট্রনের জন্যও শ্রয়েডিংগার সমীকরণের সমাধান একটি ফাংশন $\Psi(x,y,z,t)$অর্থাত্ চারটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন। দুটি ইলেকট্রনের জন্য, আপনি কোনও ফাংশন সন্ধান করছেন$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$দুটি ইলেক্ট্রন প্লাস সময়ের অবস্থানগুলির কার্যকারিতা হিসাবে তরঙ্গ কার্যকারিতা বর্ণনা করে। এটি সাতটি ভেরিয়েবল।

এখন, যদি আপনি মনে করেন যে কীভাবে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে হয় সেই জন্য নিউটনের সমীকরণগুলি $N$ শারীরিক সমস্যা, তারপরে আপনাকে সময় থেকে প্রতিটি সমীকরণকে সময়মতো এগিয়ে নিয়ে যেতে হবে $t$ প্রতি $t+\Delta t$এবং সেখানে সমাধান গণনা। সুতরাং, আপনি যদি আপনার সময়ের ব্যবধান ভাগ করে নিন$[0,T]$ মধ্যে $M$ দৈর্ঘ্যের অন্তর $\Delta t=T/M$ তারপরে প্রতিবারের পদক্ষেপের জন্য চেষ্টা করা হবে $N^2M$ এর ইন্টারঅ্যাকশনগুলির একটি নিখুঁত বাস্তবায়ন ব্যবহার করে $N$ সংস্থা (আপনি অর্জনের জন্য পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারেন) $N (\log N) M$ চেষ্টা, কিন্তু এটি বিন্দু ছাড়াও)।

অন্যদিকে, 7 ভেরিয়েবলের কোনও ফাংশন সন্ধান করতে, ধরে নিই যে আপনি সময়ের ব্যবধানটিকে বিভক্ত করেন $M$উপরে যেমন subintervals, কিন্তু আপনি 6 স্থানীয় স্থানাঙ্ক জন্য একই কাজ। তারপরে মোট আছে$M^7$গ্রিড পয়েন্ট বিবেচনা। এবং সাধারণভাবে, একটি জন্য$N$ বডি কোয়ান্টাম সিস্টেম, আপনার আছে $M^{3N+1}$।

স্বল্প সংখ্যার জন্য এমনকি এটি যাচাই করা এখন সহজ $N,M$, চেষ্টা $M^{3N+1}$ এর চেয়ে অনেক বড় $N^2M$, যা ব্যাখ্যা করে যে কেন মাল্টিবডি কোয়ান্টাম কম্পিউটেশনগুলি এত বেশি ব্যয়বহুল $N$ দেহ শাস্ত্রীয় যান্ত্রিক।

Comments

দুর্দান্ত উত্তর। আমি কেবল উল্লেখ করব যে ঠিক যেমন খালিদের চেয়েও দ্রুত পদ্ধতি আছে$N^2 M$ নিউটন সমীকরণের জন্য, নিষ্পাপের চেয়েও দ্রুত পদ্ধতি রয়েছে $M^{3N+1}$শ্রাদিনগার সমীকরণের জন্য।

— ওন্দেজ ইরতক

হ্যাঁ, সত্যিই। তবে এবং বড় আকারে, আপনি সম্মিলন জটিলতা থেকে মুক্তি পেতে পারবেন না।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ