ল্যাঞ্জারেঞ্জ গুণক হিসাবে চাপ

সঙ্কোচনীয় নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিতে,

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ চাপের শর্তটি প্রায়শই ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক হিসাবে ব্যবহৃত হয় যা সংকোচনের শর্তটি কার্যকর করে।

কোন অর্থে এটি সত্য? Incompressiblity সীমাবদ্ধতা সাপেক্ষে একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা হিসাবে incompressable নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণের একটি সূত্র আছে? যদি তা হয়, তবে এমন কোনও সংখ্যক অ্যানালগ রয়েছে যেখানে অবিশ্বাস্য তরল প্রবাহের সমীকরণগুলি একটি অপ্টিমাইজেশনের কাঠামোর মধ্যে সমাধান করা হয়?

— বেন
সূত্র

স্থির স্টোকস সমীকরণগুলি বিবেচনা করে এটি সবচেয়ে সহজেই দেখা যায়

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

সমস্যার মধ্যে এই সমতাটি কোনও সংখ্যাসূচক স্কিমে ব্যবহার করা হয় না (যা আমি জানি) তবে এটি বিশ্লেষণের একটি গুরুত্বপূর্ণ হাতিয়ার কারণ এটি দেখায় যে স্টোকস সমীকরণগুলি মূলত একটি রৈখিক উপস্থানে পোয়েসন সমীকরণ। একই সময় নির্ভর নির্ভর স্টোকস সমীকরণের (যা উপ-স্থানের তাপ সমীকরণের সাথে মিলে যায়) এবং এটি নাভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলিতে প্রসারিত হতে পারে।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

একটি দুর্দান্ত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আপনি কি জানেন যে সময় নির্ধারিত ক্ষেত্রে এই সূত্রটি বাড়ানো যেতে পারে?

— বেন

হ্যাঁ, আমি যেমন বলি এটি ডাইভারজেন মুক্ত ফাংশনগুলির উপগ্রহে একটি তাপ সমীকরণ বাড়ে।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

দুঃখিত, আমার আরও পরিষ্কার হওয়া উচিত ছিল। সময়-নির্ভর স্টোকস (বা নাভিয়ার-স্টোকস) সমীকরণগুলি সম্ভবত একটি সময়ের সাথে সংহতভাবে কার্যকরীভাবে সংহত হওয়ার অনুকূলিতকরণ সমস্যা হিসাবে পুনরায় কস্ট করার কোনও উপায় আছে?

— বেন

অপ্টিমাইজেশান সমস্যা হিসাবে নয় - তাপের সমীকরণের সমাধান কোনও কিছুকেই হ্রাস করে না (যদিও এটি ল্যাঙ্গরজিয়ান ফাংশনটির স্থির বিন্দু)। তবে আপনি নীচে স্টোকস সমীকরণগুলি প্রণয়ন করতে পারেন: যাতে সমস্ত থেকে বাধ্যতা যে বিষয় । নোট করুন যে আমি পরীক্ষার স্থানটি পরীক্ষার জায়গার চেয়ে ছোটটি বেছে নিয়েছি এবং তাই বৈকল্পিক সমীকরণের বাম এবং ডানদিকে সমান হবে না। পার্থক্যটি হ'ল চাপ।

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ