নিউটন-র‌্যাফসন পুনরাবৃত্তিটি ব্যবহার না করে ননলাইনার পিডিইগুলি সমাধান করা কি সম্ভব?

আমি কিছু ফলাফল বোঝার চেষ্টা করছি এবং ননলাইনার সমস্যাগুলি মোকাবেলায় কিছু সাধারণ মন্তব্যের প্রশংসা করব।

ফিশারের সমীকরণ (একটি অ-রৈখিক বিক্রিয়া-প্রসারণ পিডিই),

u_{t} = d u_{x x} + β u (1 - u) = F (u)

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

বিতর্কিত আকারে,

u_{j}^{'} = L u + β u_{j} (1 - u_{j}) = F (u)

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

যেখানে the হল ডিফারেনশিয়াল অপারেটর এবং হ'ল স্টেনসিল। $\boldsymbol{L}$ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

পদ্ধতি

আমি একটি অন্তর্নিহিত স্কিম প্রয়োগ করতে চাই কারণ আমার স্থিতিশীলতা এবং সীমাবদ্ধ সময়ের পদক্ষেপের প্রয়োজন। এই উদ্দেশ্যে আমি থেটা-thodতিহ্যবাহী ব্যবহার করছি , (নোট করুন যে থিতা একটি সম্পূর্ণ অন্তর্নিহিত স্কিম দেয় এবং ট্র্যাপিজয়েডাল বা "ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন" স্কিম দেয়), $\theta$ $\theta=1$ $\theta=0.5$

u_{j}^{'} = θ F (u^{n + 1}) + + (1 - θ) এফ ({তোমার দর্শন লগ করা}^{এন})

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

যাইহোক, অ-লাইন সমস্যার জন্য এটি করা যায় না কারণ সমীকরণটি রৈখিক আকারে লেখা যায় না।

এই সমস্যাটি পেতে আমি দুটি সংখ্যক পদ্ধতির অন্বেষণ করেছি,

আইএমএক্স পদ্ধতি

${তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{'} = \underset{θ - পদ্ধতি প্রসারণ শব্দ}{\underset{⏟}{θ এল {তোমার দর্শন লগ করা}^{এন + + 1} + + (1 - θ) এল {তোমার দর্শন লগ করা}^{এন}}} + + \underset{সম্পূর্ণ সুস্পষ্ট প্রতিক্রিয়া শব্দ}{\underset{⏟}{β {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন} (1 - {তোমার দর্শন লগ করা}_{ঞ}^{এন})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
সর্বাধিক সুস্পষ্ট রুট হল প্রতিক্রিয়া শর্তের অ-লাইন অংশটিকে উপেক্ষা করা এবং কেবলমাত্র সেরা সম্ভাব্য মানের সাথে প্রতিক্রিয়া শব্দটি আপডেট করা, অর্থাত্ পূর্ববর্তী সময় থেকে এটি। আইএমএক্স পদ্ধতিতে এর ফলাফল।
নিউটন সলভার

ν^{ট + + 1} = ν^{ট} - (আমি - θ τ {একজন}^{এন})^{- 1} (ν^{ট} - {তোমার দর্শন লগ করা}_{এন} - (1 - θ) τ এফ (W^{এন}) - θ τ এফ (W^{এন + + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

সম্পূর্ণ আদর্শ সমীকরণটি নিউটন-রাফসন পুনরুক্তি ব্যবহার করে ভবিষ্যতের সমাধানের পরিবর্তনশীলটি সন্ধান করতে পারে। যেখানে হল পুনরাবৃত্তি সূচক ( ) এবং এর জ্যাকবীয় ম্যাট্রিক্স । এখানে আমি পুনরাবৃত্তি ভেরিয়েবলগুলির জন্য চিহ্নগুলি ব্যবহার করি যেমন একটি বাস্তব সময় বিন্দুতে তারা সমীকরণের সমাধান থেকে আলাদা হয় are । এটি আসলে একটি সংশোধিত নিউটন সলভার কারণ জ্যাকবিয়ান প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে আপডেট হয় না। $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

ফলাফল

সংখ্যা পদ্ধতির তুলনায় ফিশারের সমীকরণ।

উপরের ফলাফলগুলি যুক্তিসঙ্গতভাবে বড় সময়ের পদক্ষেপের জন্য গণনা করা হয় এবং তারা সময় ধাপের পদ্ধতির এবং একটি সম্পূর্ণ নিউটন পুনরাবৃত্তি সমাধানকারী মধ্যে পার্থক্য দেখায়।

আমি যে জিনিসগুলি বুঝতে পারি না:

আমি অবাক হই যে সময়-পদক্ষেপের পদ্ধতিটি "ঠিক আছে" করে তবে সময় যেতে যেতে বিশ্লেষণাত্মক সমাধান থেকে পিছিয়ে যায়। ( এনবি যদি আমি একটি ছোট সময়-পদক্ষেপটি বেছে নিয়েছিলাম তবে সময়-পদক্ষেপের পদ্ধতি বিশ্লেষণী মডেলটির কাছে ফলাফলগুলি বন্ধ করে দেয়)। কেন সময়-পদক্ষেপের পদ্ধতির কারণে ননলাইনীয় সমীকরণের যুক্তিসঙ্গত ফলাফল পাওয়া যায়?
নিউটন মডেল আরও অনেক ভাল করে, তবে সময় এগিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে বিশ্লেষণী মডেলটির নেতৃত্ব দেওয়া শুরু করে। সময়ের সাথে সাথে নিউটনের পদ্ধতির যথার্থতা হ্রাস হয় কেন? নির্ভুলতা উন্নত করা যায়?
কেন এমন একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা বহু পুনরাবৃত্তির পরে সংখ্যাসূচক মডেল এবং বিশ্লেষণাত্মক মডেলটি বিভক্ত হওয়া শুরু করে? এটি কি কেবল সময়ের পদক্ষেপ খুব বড় হওয়ার কারণে বা এটি সর্বদা ঘটবে?

— boyfarrell
সূত্র

আমি ওডিডি সলভারগুলির বেসিক ত্রুটি বিশ্লেষণটি পড়ার পরামর্শ দিচ্ছি, উদাহরণস্বরূপ হায়ারার / নরসেট / ওয়ানার এবং আরও কিছু স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণে। আপনার বেশিরভাগ প্রশ্নের উত্তর তখন দেওয়া হবে।

— গুইডো কানছ্যাট

@ বয়ফ্যারেল, সহ পাঠকদের বিভ্রান্তি এড়াতে আপনার পরিভাষাটি ব্যাখ্যা করার সময় আপনার পরিভাষাটি ঠিক রাখা উচিত: ১. আইএমএক্স - অরৈখিকতার সাথে স্পষ্ট এবং রৈখিক অংশে অন্তর্ভুক্ত। 2. এই মান

-scheme, যা সাধারণত আপডেটের জন্য সমাধান করতে নিউটনের পদ্ধতি প্রয়োজন হবে

θ

$\theta$

— জানুয়ারী

হ্যালো @ জান আমি মনে করি আমি সবকিছু পেয়েছি। আপনার সাহায্যের জন্য আবার ধন্যবাদ।

— বয়ফ্যারেল

উত্তর:

আমি ধরে নিলাম, আপনি একটি স্থান বিবেচনার ব্যবস্থা করেছেন, যাতে আপনি [ভেক্টর-মূল্যবান) ODE একটি সংখ্যাসূচক স্কিমের মাধ্যমে যা বর্তমান সময়ে উদাহরণস্বরূপ কে অগ্রসর করে উদাহরণস্বরূপ পরবর্তী মান

{\dot{তোমার দর্শন লগ করা}}_{জ} (টি) = {এফ}_{জ} (টি, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ} (টি)), [0, টি] তে, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ} (0) = α ।

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

এ

।

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

তারপরে আপনার প্রশ্নগুলি সুস্পষ্ট বৈশিষ্ট্যের বৈশিষ্ট্যগুলিকে উল্লেখ করে , যেখানে আপডেটটি হিসাবে লিখেছে

{তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন + + 1} = {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন} + + Φ_{ই} ({টি}^{এন}, τ, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

{তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন + + 1} = {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন} + + Φ_{আমি} ({টি}^{এন}, τ, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন + + 1}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

বা সংমিশ্রণ উভয় ( ' IMEX একক-ধাপ সময় পদবিন্যাস স্কিম', @Jed ব্রাউন এর উত্তর দেখুন)।

$u_h^{n+1}$ $(*)$

এবং আমার উত্তরগুলি একক-পদক্ষেপের পদ্ধতির সংখ্যা বিশ্লেষণের ফলাফলগুলিতে ভিত্তি করে।

$F_h$
আপনি উদাহরণ খুঁজে পেতে পারেন, যেখানে সুস্পষ্ট স্কিমগুলি আরও ভাল সম্পাদন করে। (তাত্ত্বিকভাবে, আপনি আপনার উদাহরণের মধ্যে সময়টি বিপরীতমুখী করতে পারেন, টার্মিনাল মান থেকে শুরু করতে পারেন এবং অন্তর্নিহিত এবং সুস্পষ্টভাবে বিনিময় পেতে পারেন)) যদি আপনি নিউটনের ত্রুটি যথেষ্ট ছোট করে থাকেন তবে আপনি সময়-পদক্ষেপ হ্রাস করে বা সময় ব্যবহার করে যথার্থতা উন্নত করতে পারেন উচ্চতর আদেশের পদক্ষেপগুলি।
$C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

আরও কিছু মন্তব্য এবং চূড়ান্ত উত্তর:

আইএমএক্স স্কীমগুলি কেবল রৈখিক অংশকে স্পষ্টভাবে চিকিত্সা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ননলাইনারকে সলভ করে। জেড ব্রাউন এর উত্তর দেখুন।
${তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন + + 1} = Φ_{মি} ({টি}^{এন}, τ, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন + + 1}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন}, {তোমার দর্শন লগ করা}_{জ}^{এন - 1}) ।$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

$(*)$

— জানুয়ারী
সূত্র

হ্যাঁ, আমি প্রসারণ শর্তে স্ট্যান্ডার্ড সেন্ট্রাল ডিফারেন্স স্টেনসিল প্রয়োগ করেছি। আমি একটি সুস্পষ্ট স্কিম ব্যবহার করতে পারি না (আসল সমস্যার সমাধানের জন্য আমি চাই) কারণ স্থিতিশীল সময়ের পদক্ষেপটি অবাস্তবভাবে ছোট। এই কারণেই আমি আইএমএক্স বা অন্তর্নিহিত বিকল্পগুলি অন্বেষণ করছি। আপনার তৃতীয় বিষয় সম্পর্কে, ত্রুটি জমে এড়াতে আমাকে অবশ্যই একটি মাল্টিস্টেপ পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে। উপরে আমি ব্যবহার করা ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন প্রকল্পটি (নিউটন সলভারের সাথে) মাল্টিস্টেপ পদ্ধতি হিসাবে (এটির দুটি পয়েন্ট রয়েছে) হিসাবে বিভক্ত? নিউটন সলভার পদ্ধতি ব্যবহার করার সাথে সাথে সময়ের সাথে ত্রুটি আরও বেড়ে গেল আমি অবাক হয়েছি।

— বয়ফ্যারেল

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

ঠিক আছে সিএন পদ্ধতি সম্পর্কে ব্যাখ্যা করার জন্য ধন্যবাদ। হ্যাঁ, এটি আকর্ষণীয় যে কেন মাল্টিস্টেপ পদ্ধতিতে ত্রুটি জমেছে বলে মনে হয়। নিউটনের সলভারের ত্রুটি বাড়ানোর কারণ হ'ল এটি একক পদক্ষেপ পদ্ধতি, আমি এখন বুঝতে পারি। যাইহোক, আমি আপনাকে পাইথন পছন্দ করি। উপরোক্ত সমস্ত আমি স্কিপি, নম্পী এবং ম্যাটপ্ল্লোলিব ব্যবহার করে করেছি, জিস্ট. github.com/danieljfarrell/6353776

— বয়ফ্যারেল

আমি ট্র্যাফেন এট দ্বারা কাগজের লিঙ্কটি সরিয়েছি । অল। আইএমএক্স স্কিমগুলি সম্পর্কে আরও ভাল উল্লেখ করার জন্য আমার উত্তর থেকে উচ্চ-অর্ডার আইএমএক্স একীকরণের জন্য on

— জানুয়ারী

সংক্ষিপ্ত উত্তর

আপনি যদি কেবল দ্বিতীয় ক্রমের নির্ভুলতা চান এবং কোনও এম্বেড হওয়া ত্রুটি অনুমান করতে চান তবে সম্ভাবনা হ'ল আপনি স্ট্র্যাং বিভাজনে খুশি হবেন: প্রতিক্রিয়াটির অর্ধ-পদক্ষেপ, প্রসারণের সম্পূর্ণ পদক্ষেপ, প্রতিক্রিয়াটির অর্ধ ধাপ।

দীর্ঘ উত্তর

প্রতিক্রিয়া-বিস্তার, এমনকি লিনিয়ার প্রতিক্রিয়া সহ, বিভাজন ত্রুটি প্রদর্শনের জন্য বিখ্যাত। প্রকৃতপক্ষে, এটি আরও খারাপ হতে পারে, "স্থিতিশীল রাষ্ট্রগুলিকে ভুল স্থিতিশীল-রাজ্যে রূপান্তর করা", সীমাবদ্ধতার চক্রের জন্য স্থির-রাজ্যগুলিকে ভুল করে স্থিতিশীল এবং অস্থির কনফিগারেশনগুলিকে বিভ্রান্ত করা এবং আরও অনেক কিছু সহ। এই বিষয়ে গণ্য পদার্থবিজ্ঞানীদের দৃষ্টিভঙ্গির জন্য রপ্প, শাদিড এবং ওবার (2004) এবং নোল, চকন, মার্গোলিন, এবং মৌসৌ (2003) দেখুন। অর্ডার শর্তগুলির ক্ষেত্রে গণিতবিদের বিশ্লেষণের জন্য দেখুন হায়ারার এবং ওয়েনার-এর কড়া ওডিএর উপর বই (রোজেনব্রোক-ডাব্লু পদ্ধতিগুলি একটি রৈখিক-অন্তর্নিহিত আইএমএক্স পদ্ধতি), কেনেডি এবং কার্পেন্টার (২০০৩) অবলম্বনে-অন্তর্নিহিত আইএমএক্স "অ্যাডিটিভ" রঞ্জ-কত্তা, এবং সাম্প্রতিক আইএমএক্স পদ্ধতির জন্য এমিল কনস্ট্যান্টাইনসাইকের পৃষ্ঠা ।

সাধারণভাবে, আইএমএক্স পদ্ধতিতে কেবলমাত্র অন্তর্নিহিত অন্তর্নিহিত এবং স্পষ্ট পদ্ধতিগুলির চেয়ে বেশি অর্ডার শর্ত থাকে। আইএমএক্স পদ্ধতির জোড়গুলি কাঙ্ক্ষিত লিনিয়ার এবং ননলাইনার স্থিতিশীলতার সাথে ডিজাইন করা যেতে পারে এবং যাতে তারা পদ্ধতির নকশা ক্রম পর্যন্ত সমস্ত আদেশ শর্ত পূরণ করে। সমস্ত আদেশ শর্ত পূরণ করে প্রতিটি স্কিমের ত্রুটির মতো একই স্কেলের অ্যাসিম্পটোটিক বিভাজন ত্রুটি আলাদাভাবে রাখবে। এটি প্রাক-অ্যাসিম্পটোটিক শাসনব্যবস্থার (বৃহত সময়ের পদক্ষেপ / নিম্ন নির্ভুলতার প্রয়োজনীয়তা) সম্পর্কে কিছুই বলেনি, তবে প্রতিটি অংশের পৃথকভাবে সমাধানের চেয়ে এটি খুব কমই কঠোর। যাই হোক না কেন, বিভাজন ত্রুটি এম্বেড থাকা ত্রুটি প্রাক্কলনকারীকে (অ্যাডাপটিভ ত্রুটি নিয়ন্ত্রণ ব্যবহার করার সময়) কাছে দৃশ্যমান।

পিইটিএসসি - র রোজেনব্রক-ডাব্লু এবং অ্যাডিটিভ রঞ্জ- কোট্টা পরিবারের অনেকগুলি আইএমএক্স পদ্ধতি রয়েছে এবং আমাদের পরবর্তী প্রকাশে এক্সট্রাপোলেশন এবং লিনিয়ার মাল্টিস্টেপ আইএমএক্স থাকবে।

দাবি অস্বীকার: আমি পিইটিএসসি সময় ইন্টিগ্রেশন সমর্থনটির অনেকগুলি অংশ লিখেছিলাম এবং এমিলের সাথে সহযোগিতা করে (উপরে লিঙ্কিত)।

— জেড ব্রাউন
সূত্র

আমি অবশ্যই এটি একটি পদার্থবিজ্ঞানের দৃষ্টিকোণ থেকে পৌঁছে যাচ্ছি তাই সমস্ত প্রযুক্তিগত বিশদ আমার অনুসরণ করতে কিছুটা সময় নেয় কারণ আমি অনেক শর্তের সাথে পরিচিত নই। আমি আসলে পরীক্ষামূলক! অর্ডার শর্ত সম্পর্কে আপনি আরও কিছু ব্যাখ্যা করতে পারেন? আইএমএক্স কি জান দ্বারা বর্ণিত এই মাল্টিস্টেপ পদ্ধতিগুলি?

— বয়ফ্যারেল

অর্ডার শর্তগুলি হ'ল ওডিই পদ্ধতিগুলির সহগের মধ্যে সম্পর্ক (উদাহরণস্বরূপ, রানেজ-কত্তা পদ্ধতিগুলির জন্য বুচারের ঝালর মধ্যে প্রবেশ) যথাযথতার অর্ডার পেতে সন্তুষ্ট থাকতে হবে। অর্ডার শর্তগুলি যে কোনও বই বা কাগজে ODE ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতিগুলির নকশায় আলোচিত হয়, তবে এটি মূলত একটি টেলর প্রসারণে বারবার ডেরিভেটিভ এবং ম্যাচিং শর্ত প্রয়োগ করার পরিমাণ। উচ্চ-অর্ডার পদ্ধতির জন্য ক্রমের শর্তগুলির সংখ্যা দ্রুত বৃদ্ধি পায়, এ কারণেই উচ্চ-অর্ডার পদ্ধতির নকশা করা কঠিন হয়ে পড়ে। আদেশ শর্তগুলি পারস্পরিক বেমানান দেখিয়ে বাধা স্থাপন করা হয়।

— জেড ব্রাউন