ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতিটি মাল্টিগ্রিডের মসৃণ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে?

যতদূর আমি অবগত, মাল্টিগ্রিড সলভারগুলি বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে ত্রুটি কমিয়ে দেওয়ার জন্য পুনরাবৃত্ত স্মুথার যেমন জ্যাকোবি, গাউস-সিডেল এবং এসওআর ব্যবহার করে। এর পরিবর্তে কোনও ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতি (যেমন কনজুগেট গ্রেডিয়েন্ট, জিএমআরইএস ইত্যাদি) ব্যবহার করা যেতে পারে? আমার মনে হয় না যে এগুলিকে "স্মুথনার্স" হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে তবে এগুলি মোটামুটি গ্রিড দ্রবণ হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। আমরা কী সমাধানের সাথে আনুষাঙ্গিক রূপান্তরটি দেখতে পাব, যেমনটি আমরা একটি স্ট্যান্ডার্ড মাল্টিগ্রিড পদ্ধতিতে করব? নাকি সমস্যা নির্ভর?

— পল
সূত্র

হ্যাঁ, আপনি পারেন তবে ক্রিলোভ পদ্ধতিতে সাধারণত স্মুথ করার দুর্দান্ত বৈশিষ্ট্য নেই। কারণ তারা পুরো স্পেকট্রামটিকে এমন একটি অভিযোজিত উপায়ে লক্ষ্য করে যা অবশিষ্টাংশ বা ত্রুটির উপযুক্ত আদর্শকে ছোট করে। এটিতে কিছুটা কম ফ্রিকোয়েন্সি (দীর্ঘ তরঙ্গদৈর্ঘ্য) মোড অন্তর্ভুক্ত থাকবে যা মোটা গ্রিডগুলি সূক্ষ্মভাবে পরিচালনা করেছিল। ক্রিলোভ স্মুথারগুলিও মাল্টিগ্রিড চক্রকে ননলাইনার করে তোলে, সুতরাং যদি মাল্টিগ্রিড একটি বহিরাগত ক্রিলোভ পদ্ধতির পূর্বশর্ত হিসাবে ব্যবহৃত হয় তবে বাহ্যিক পদ্ধতিটি "নমনীয়" হওয়া উচিত (যেমন জিসিআর বা এফজিএমআরইএস)।

ক্রিলোভ স্মুথারগুলি ব্যবহার করে ডট পণ্যগুলির সংখ্যাও অনেক বেড়ে যায় যা অবশ্যই গণনা করা উচিত, যা সমান্তরালে একটি গুরুত্বপূর্ণ বাধা হয়ে দাঁড়ায়। যাইহোক, এই অপ্রচলিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথেও, ক্রিওলভ স্মুথারগুলি কখনও কখনও দরকারী হয়, বিশেষত এমন জটিল সমস্যার জন্য যেখানে ভাল আন্তঃবিবাহ চালকগুলি উপলভ্য হয় না।

আরও জনপ্রিয় বিকল্প হ'ল বহুপুত্রীয় স্মুথারগুলি (সাধারণত চেবিশেভ) ব্যবহার করা। এই পদ্ধতিগুলি বর্ণালীটির একটি নির্দিষ্ট অংশকে লক্ষ্য করে। প্রতিসম উপবৃত্তাকার PDEs (যেখানে বিযুক্ত অপারেটর প্রতিসম ইতিবাচক নির্দিষ্ট বা প্রায় তাই হয়) জন্য, এটি বৃহত্তম eigenvalue অনুমান করার জন্য সাধারণ এর যেখানে জন্য পয়েন্ট-ব্লক Jacobi preconditioner হয় এবং মতো একটি পরিসীমা লক্ষ্য করুন । বহুবর্ষীয় স্মুথারের কোনও হ্রাস থাকে না এবং লিনিয়ার অপারেশন হয় (যে কোনও নির্বাচিত বহুবর্ষের ডিগ্রির জন্য সাধারণত সাধারণত এবং সম্ভবত মধ্যে নির্বাচিত হয়) $\lambda_\max$ $D^{-1}A$ $D^{-1}$ $A$ $(0.1 \lambda_{\max}, 1.1 \lambda_{\max})$ $1$ $5$ $5$ $10$ $\lambda_\max$ $\lambda_\max$

অ্যাডামস, ব্রেজিনা, হু এবং টিউমারো (২০০৩) বহুভুজ স্মুথারের সমান্তরাল এবং অ্যালগরিদমিক পারফরম্যান্সের উপর একটি দুর্দান্ত কাগজ। নোট করুন যে বহুমাত্রিক স্মুথারগুলি প্রতিসাম্যহীন সমস্যাগুলির জন্য কম কার্যকর (এবং / বা গঠন করা কঠিন) হওয়ার ঝোঁক রয়েছে, সেক্ষেত্রে আপনি সম্ভবত গাউস-সিডেল বা আরও পরিশীলিত (ব্লক / বিতরণ) শিথিলকরণ প্রকল্প ব্যবহার করতে চান।

— জেড ব্রাউন
সূত্র

আপনি কি বহুপদী এবং / অথবা ক্রিলোভ স্মুথারের উপর একটি ভাল সংস্থান প্রস্তাব করতে পারেন? আমি আসলে এর আগে কখনও শুনিনি :)

— পল

@ জেডব্রাউন: পিডিই বা বিলাইনার ফর্ম অর্থে আপনার অর্থ কি "উপবৃত্তাকার" (অর্থাত, আপনি কি বোঝাতে চান যে অপারেটর বা মূল প্রতীকটির সমস্ত ইগ্যালভ্যালুগুলি ইতিবাচক?) আপনি যেহেতু পয়েন্ট-ব্লক জ্যাকবির কথা বলছেন, আমি পরবর্তীটি ধরে নিচ্ছি।

— জ্যাক পলসন

পল আমি একটি রেফারেন্স যুক্ত। @ জ্যাক কঠোরভাবে বলতে গেলে, বিযুক্ত অপারেটরটি এসপিডি হওয়া উচিত, তবে বাস্তবে, বর্ণালী যতক্ষণ না খুব কম বিতরণ করা হয় ততক্ষণ পদ্ধতিগুলি কাজ করতে ঝোঁক।

— জেড ব্রাউন