কড়া ওডিই সিস্টেমের সংজ্ঞা

Question

ওডিই সিস্টেম $y'=f(x,y)$ , জন্য একটি আইভিপি বিবেচনা করুন । সাধারণভাবে এই সমস্যার বিবেচনা করা হয় শক্ত যখন Jacobi ম্যাট্রিক্স হয়েছে উভয় খুব ছোট নেতিবাচক বাস্তব অংশ দিয়ে খুব বড় নেতিবাচক বাস্তব অংশ দিয়ে eigenvalues এবং eigenvalues (আমি শুধুমাত্র স্থিতিশীল বিবেচনা কেস)।$y(x_0)=y_0$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

অন্যদিকে, কেবল একটি সমীকরণের ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ প্রিথেরো-রবিনসন সমীকরণ , যখন তখন একে শক্ত বলা হয় ।$y'=\lambda y + g'+\lambda g$$\lambda\ll -1$

সুতরাং দুটি প্রশ্ন আছে:

1. কেন ছোট ইগেনভ্যালুগুলি ওডিই সিস্টেমগুলির জন্য কঠোরতার সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে? আমি বিশ্বাস করি যে সিস্টেমকে শক্ত করার জন্য শুধুমাত্র খুব বড় নেতিবাচক বাস্তব অংশগুলির উপস্থিতি যথেষ্ট, কারণ এটি আমাদের সুস্পষ্ট পদ্ধতির জন্য ছোট টাইমস্টেপগুলি ব্যবহার করে।

2. হ্যাঁ, আমি জানি যে সবচেয়ে সাধারণ কঠোর সমস্যাগুলির (যেমন প্যারাবোলিক পিডিই থেকে উদ্ভূত) বড় এবং ছোট উভয় আইজভ্যালু থাকে। সুতরাং দ্বিতীয় প্রশ্ন: খুব ছোট ইগেনভ্যালুগুলি (বা বিকল্পভাবে হালকা অনুপাত with ) ব্যতিরেকে বড় কড়া পদ্ধতির কোনও প্রাকৃতিক উদাহরণ রয়েছে ?$\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

---

ঠিক আছে, আসুন প্রশ্নটি পরিবর্তন করুন। দ্বি-মাত্রিক লিনিয়ার ওডিডি সিস্টেমগুলি বিবেচনা করুন: প্রথমে ইগেনভ্যালুগুলি {-1000000, -0.00000001} এবং দ্বিতীয়টি 100 -1000000, -999999} সহ} আমার হিসাবে, উভয় কঠোর হয়। তবে আমরা যদি কঠোরতা অনুপাতের সংজ্ঞা বিবেচনা করি, তবে দ্বিতীয় সিস্টেমটি নয়। মূল প্রশ্ন: কেন কঠোরতা অনুপাত বিবেচনা করা হয়?

এবং প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশটি এখনও গুরুত্বপূর্ণ, এটি প্যারাফ্রেজ করতে দিন: আমি একটি "প্রাকৃতিক" বড় ওডিই সিস্টেম খুঁজছি যা বড় নেতিবাচক ইগেনভ্যালু এবং হালকা দৃ sti়তা অনুপাত (100 এর চেয়ে বড় নয়)।

Comments

Scicomp.se স্বাগতম। আপনার প্রশ্নের উত্তরগুলি

— ডেভিড কেচসন

আমি মনে করি @ ডেভিডকেটসনের মন্তব্য এবং আমি উদ্ধৃত কয়েকটি উত্সের মধ্যে, আপনি দেখতে পাবেন যে কঠোরতা অনুপাতটি কেবল একটি গাইডলাইন। এটি নিখুঁত নয়; এ কারণেই এটি সংজ্ঞায় নেই। এটি অনেকের একটি বৈশিষ্ট্য হিসাবে ঘটে, তবে সমস্তগুলি নয়, কঠোর সিস্টেম। এবং দ্বিতীয় অংশ হিসাবে, আমি মনে করি এটির জন্য বিশেষ কাঠামো না থাকলে বা অ্যাপ্লিকেশনটিতে উত্থাপিত না হলে আপনি এটি সন্ধান করতে কঠোর চাপ হবেন। আমি আপনাকে এমন একটি প্রয়োগের উদাহরণ দিয়েছি যেখানে কঠোরতা অনুপাত সবসময় বড় হয় না এবং আমি আপনাকে হায়ার এবং ওয়ানারের বইটি দেখার জন্য উত্সাহিত করি।

— জিফ অক্সবেরি

@ ডেভিড: আমি আপনার সাথে একমত হতে পারি না উদাহরণস্বরূপ এক-মাত্রিক সমস্যা y '= - 50 (y-cos x) নিন। "ইগেনভ্যালু" -50 হয়। 2/50 এর বেশি ধাপের মাপের সাথে সুস্পষ্ট এলার দিয়ে কেউ এই সমস্যার সমাধান করতে পারে না। যদি আমরা -5000 -50000 এর সাথে প্রতিস্থাপন করি তবে টাইমস্টেপের উপরের সীমাবদ্ধতা 2/50000 হয়ে যায়। এই বাধা অতিক্রম করতে আমরা এখানে কোন "ইউনিট" বেছে নিতে পারি?

— ফালিচিক

@ ফালিচিক আপনার উদাহরণের কোস অংশটি "ধীর বহুগুণ" (যা সম্ভবত আপনার আগ্রহী টাইম স্কেল, যদিও আপনি খুব বেশি সংক্ষিপ্ত সময়ের স্কেলগুলিতে আগ্রহী হবেন) এর সময় স্কেল ঠিক করে দেয় es আমি বিশ্বাস করি না পর্যবেক্ষণকালীন সময় স্কেল (সম্ভবত স্পষ্টভাবে যে বৈশিষ্ট্যগুলি আপনি দীর্ঘ সময়ের জন্য সংরক্ষণ করতে চান সেগুলি উল্লেখ করে) কঠোরতার সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব। দৃff়তা অনুপাত স্বায়ত্তশাসিত সিস্টেমের দ্রুত এবং ধীরতম সময়ের স্কেলগুলির মধ্যে স্কেল বিভাজনের পরিমাণকে কেবলমাত্র করে। $\cos x$

— জেদ ব্রাউন

এই কাগজে এই প্রশ্নের একটি নতুন, আরও ভাল উত্তর আছে ।

— ডেভিড কেচসন

Answer 1

দৃff়তার মধ্যে আঁশগুলির কিছু বিচ্ছেদ জড়িত। সাধারণভাবে, আপনি যদি সিস্টেমের দ্রুততম মোডের পর্যায়ে আগ্রহী হন, তবে আপনাকে এটি সমাধান করতে হবে এবং সিস্টেমটি কঠোর নয়। তবে প্রায়শই, আপনি ধীর গতির বহুগুণ থেকে সলিউশন যে সুনির্দিষ্ট হারের কাছে পৌঁছান তার চেয়ে "ধীর বহুগুণে" দীর্ঘমেয়াদী গতিশীলতায় আগ্রহী।

রাসায়নিক বিক্রিয়া এবং প্রতিক্রিয়া প্রবাহ কঠোর সিস্টেমগুলির সাধারণ উদাহরণ। ভ্যান পল অসিলেটর ডের ODE integrators একটি সুরেলা শক্ত হয়ে যাওয়া paramater আছে জন্য একটি সাধারণ বেঞ্চমার্ক সমস্যা।

একটি মহাসাগর আরেকটি উদাহরণ যা সম্ভবত কল্পনা করতে সহায়ক। সুনামিস (পৃষ্ঠের মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গ) একটি বিমানের গতিতে ভ্রমণ করে এবং জটিল তরঙ্গ কাঠামো তৈরি করে, তবে দীর্ঘ সময়ের স্কেলগুলিতে বিলুপ্ত হয় এবং বেশিরভাগটি সমুদ্রের দীর্ঘমেয়াদী গতিশীলতার জন্য অপ্রয়োজনীয়। এডিগুলি বা অন্যদিকে, বেশ পথচারীদের গতিতে প্রায় 100 গুণ ধীর গতিতে ভ্রমণ করা, তবে এটি মিশ্রণ এবং পরিবহন তাপমাত্রা, লবনাক্ততা এবং জৈব-রাসায়নিক পদার্থগুলিকে প্রাসঙ্গিক করে তোলে। তবে একই পদার্থবিজ্ঞান যা পৃষ্ঠের মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গকে প্রচার করে এটি একটি এডি (একটি কোয়াটি-ভারসাম্য কাঠামো) সমর্থন করে, সুতরাং এডি বেগ, করিয়োলিসের অধীনে পথ এবং বিলুপ্তির হার মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের গতির উপর নির্ভরশীল। এটি মাধ্যাকর্ষণ তরঙ্গের সময় স্কেলের উপর দিয়ে পদক্ষেপ নিতে এবং কেবল প্রাসঙ্গিক গতিশীল সময় স্কেলগুলি সমাধান করার জন্য কঠোর সিস্টেমগুলির জন্য ডিজাইন করা সময়ের একীকরণের জন্য একটি সুযোগ উপস্থাপন করে। দেখাবিভাজন এবং পুরোপুরি অন্তর্নিহিত সময় ইন্টিগ্রেশন স্কিমগুলির তুলনা করে এই সমস্যার আলোচনার জন্য মৌসো, নোল এবং রিজনার (২০০২) ।

সম্পর্কিত: হাইপারবোলিক পিডিইগুলির সংহতকরণে অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলি কখন ব্যবহার করা উচিত?

নোট করুন যে বিচ্ছিন্ন প্রক্রিয়াগুলি সাধারণত কড়া হিসাবে বিবেচিত হয় কারণ পৃথক ব্যবস্থায় দ্রুততম সময় স্কেল জাল-নির্ভর, দিয়ে স্কেলিং হয় তবে সম্পর্কিত পদার্থবিদ্যার সময় স্কেলটি জাল স্বাধীন independent প্রকৃতপক্ষে, প্রদত্ত জালের দ্রুততম সময়ের স্কেলগুলি ধীরে ধীরে বহুগুণে স্থিতিশীলভাবে স্থানীয় শিথিলতার প্রতিনিধিত্ব করে যার উপরে দীর্ঘস্থায়ী স্কেলগুলি বিবর্তিত হয়, তাই অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলি দ্রুততম স্কেলগুলি সমাধান না করে দৃ strong় রীতিতেও খুব সঠিক হতে পারে।$(\Delta x)^2$

Answer 2

অংশ 1

ছোট ইগেনভ্যালুগুলি ওডিই (প্রাথমিক মান সমস্যা) সিস্টেমগুলির জন্য কঠোরতার সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত নয় । আমি জানি যে কঠোরতার কোন সন্তোষজনক সংজ্ঞা নেই, তবে আমি যে সেরা সংজ্ঞাগুলি পেয়েছি তা হ'ল:

যদি কোনও প্রাথমিক শর্ত সহ একটি সিস্টেমে প্রয়োগ করা যায় এমন নিখুঁত স্থিতিশীলতার সীমাবদ্ধ অঞ্চল সহ একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি যদি একীকরণের একটি নির্দিষ্ট বিরতিতে একটি ধাপ দৈর্ঘ্য যা বাধ্যতামূলকভাবে সেই ব্যবধানে সঠিক সমাধানের সাবলীলতার সাথে সামান্য পরিমাণে ছোট ছোট ব্যবহার করতে বাধ্য হয় , তারপরে সিস্টেমটিকে সেই ব্যবধানে কঠোর বলা হয়। (ল্যামবার্ট, জেডি (1992), সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সিস্টেমগুলির জন্য সংখ্যাগত পদ্ধতি , নিউ ইয়র্ক: উইলি।)

$[0,b]$

কঠোর সমীকরণগুলি এমন সমীকরণ যেখানে নির্দিষ্ট অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলি, বিশেষত বিডিএফ, সুস্পষ্টর তুলনায় আরও ভাল, সাধারণত দুর্দান্তভাবে আরও ভাল সম্পাদন করে। (সিএফ কার্টিস এবং জেও হির্সফেল্ডার (১৯৫২): কঠোর সমীকরণের একীকরণ। পিএনএএস, খণ্ড 38, পৃষ্ঠা 235-243)

কঠোর সমীকরণ সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি ল্যামবার্টের সাথে নিম্নলিখিত "বক্তব্যগুলি" হিসাবে চিহ্নিত করেছে:

1. একটি লিনিয়ার ধ্রুবক সহগ ব্যবস্থা কঠোর হয় যদি এর ইগেনুভ্যালুগুলির সকলের নেতিবাচক বাস্তব অংশ থাকে এবং দৃff়তার অনুপাত বড় হয়।

2. দৃff়তা তখনই ঘটে যখন স্থায়িত্বের প্রয়োজন যথাযথতার চেয়ে, ধাপটির দৈর্ঘ্যকে সীমাবদ্ধ করে। [দ্রষ্টব্য যে এই "পর্যবেক্ষণ" মূলত আস্চার এবং পেটজোল্ডের সংজ্ঞা]]

3. দৃff়তা দেখা দেয় যখন সমাধানের কিছু উপাদান অন্যদের তুলনায় খুব দ্রুত ক্ষয় হয়।

এই পর্যবেক্ষণগুলির প্রত্যেকটিরই পাল্টা নমুনা রয়েছে (যদিও স্বীকার করা যে আমি আমার মাথার উপরের অংশ থেকে একটি উত্পাদন করতে পারি নি)।

অংশ ২

সম্ভবত আমি যে সর্বোত্তম উদাহরণটি সামনে আসতে পারি তা হ'ল রাসায়নিক গতিবিদ্যায় যে কোনও ধরণের বড় জ্বলন প্রতিক্রিয়া সিস্টেমটিকে ইগনিশনের ফলে তৈরি করা যেতে পারে under সমীকরণের ব্যবস্থাটি জ্বলন্ত আগ পর্যন্ত কঠোর হবে এবং তারপরে এটি আর কঠোর হবে না কারণ সিস্টেমটি প্রাথমিক ক্ষণস্থায়ী হয়ে গেছে। ইগনিশন ইভেন্টটি বাদে বৃহত্তম থেকে ক্ষুদ্রতম ইগেনালুয়ের অনুপাতটি বৃহত্তর হওয়া উচিত নয়, যদিও এই ধরনের সিস্টেমগুলি কঠোর সংহতদেরকে বিস্মিত করে unless

হায়ার এবং ওয়ানার বইটিও এর প্রথম বিভাগে আরও কয়েকটি উদাহরণ দিয়েছে (চতুর্থ অংশ, বিভাগ 1) যা কঠোর সমীকরণের আরও অনেক উদাহরণ চিত্রিত করে। (ওয়ানার, জি।, হায়ার, ই।, সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা দ্বিতীয়: কঠোর এবং ডিফারেনশিয়াল-বীজগণিত সমস্যাগুলি (২০০২), স্প্রঞ্জার ger)

শেষ অবধি, সিডাব্লু গিয়ারের পর্যবেক্ষণটি উল্লেখ করার মতো এটি:

সম্পর্কে কথা বলতে যদিও এটা খুবই সাধারণ থেকে "শক্ত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ," একটি সমীকরণ কোনটাই শক্ত, শক্ত হতে পারে যে সমীকরণ একটি নির্দিষ্ট প্রাথমিক মান সমস্যা, কিছু অঞ্চলে নয়, কিন্তু এই অঞ্চলে এর মাপ প্রাথমিক মান উপর নির্ভর করে এবং ত্রুটি সহনশীলতা। (সিডব্লিউ গিয়ার (1982): দোলক এবং / অথবা কঠোর সাধারণ ডিফারেনশনাল সমীকরণগুলির স্বয়ংক্রিয় সনাক্তকরণ এবং চিকিত্সা In ইন: ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সংখ্যাসূচক সংহতকরণ, ম্যাথের লেকচার নোটস, ভলিউম 968, পি। 190-206।)

Comments

প্রিয় জিফ, সহনশীলতার জন্য ধন্যবাদ :-) আমি আমার প্রশ্নটি সহজ রাখতে চেয়েছিলাম, তবে শেষ পর্যন্ত অনভিজ্ঞ হিসাবে বিবেচিত হয়েছি। আসলে আমি এই সমস্ত সংজ্ঞা জানি, কিন্তু।

— ফালিচিক

১. ছোট ইগেনভ্যালুগুলি দৃff়তার অনুপাতের সংজ্ঞায় স্পষ্টভাবে কাজ করে: ডেসটিনেটর যখন ছোট হয় তখন এটি বড়। ২. দ্বিমাত্রিক লিনিয়ার ক্ষেত্রে কঠোরতা অনুপাত সর্বদা এক, এমনকি কঠোর সমীকরণের জন্য। ৩. আপনি যে রাসায়নিক কেইনেটিকস সমস্যাটি বর্ধন করেছেন তার কোনও রেফারেন্স আছে? এবং ৪. আমি মন্তব্যগুলিতে প্রশ্নটি পরিষ্কার করার চেষ্টা করব।

— ফালিচিক

আপনি কেমকিন ফর্ম্যাটে রাসায়নিক প্রক্রিয়াগুলি এখানে পেতে পারেন । সমস্যাগুলি এত বড় যে ইনপুট ফাইলগুলি প্রয়োজনীয়, এবং একটি রসায়ন প্যাকেজ ব্যবহার করে সমীকরণগুলি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সেট আপ হয়। আমি রসায়ন প্যাকেজের সাথে একত্রে ইনপুট ফাইল ব্যবহার করার সুপারিশ Cantera এবং ODE / কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তরের সমাধানকারী স্যুট SUNDIALS , যা উভয় ওপেন সোর্স হয়। এরপরে আপনি সি ++ বা এমএটিএবিএলে এই জাতীয় সমস্যাগুলি সমাধান করতে পারেন।

— জিফ অক্সবেরি 20'12

আমি ব্যক্তিগতভাবে কার্টিস-হির্সফেল্ডার বাক্যটিকে আমার কঠোরতার কার্যক্ষম সংজ্ঞা হিসাবে গ্রহণ করি; যদি সুস্পষ্ট আরকে বা অ্যাডামস আপনার সমস্যা সমাধানের জন্য খুব বেশি সময় নিচ্ছে, তবে সম্ভবত এটি শক্ত।

— জেএম

Answer 3

আসলে জেড ব্রাউন আমার জন্য প্রশ্নটি সাফ করে দিয়েছে। আমি এখন যা করছি তা কেবল তাঁর কথা প্রসঙ্গে রেখে দিচ্ছি।

1. উপরের দুটি ডি লিনিয়ার ওডিই উভয় সিস্টেমই আপেক্ষিক বড় সময়ের ব্যবধানে (যেমন [0,1]) কঠোর (যেমন স্পষ্ট পদ্ধতিগুলির সাথে সমাধান করা শক্ত)।

2. বৃহত কঠোরতা অনুপাত সহ রৈখিক সিস্টেমগুলিকে "আরও কঠোর" হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে কারণ সম্ভবত তাদের বৃহত সময়ের ব্যবধানে তাদের সংহত করার প্রয়োজন। এটি ক্ষুদ্রতম ইজেনভ্যালুগুলির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ ধীর উপাদানগুলির কারণে: সমাধানটি ধীরে ধীরে স্থিতিশীল রাষ্ট্রের দিকে ঝুঁকতে থাকে এবং এই স্থিতিশীল অবস্থায় পৌঁছানো সাধারণত গুরুত্বপূর্ণ।

3. অন্যদিকে, বড় ব্যবধানগুলিতে ছোট কড়া অনুপাতের সাথে সিস্টেমগুলির সংহতকরণ আগ্রহী নয়: এক্ষেত্রে অবিচল অবস্থায় খুব দ্রুত পৌঁছে যায় এবং আমরা কেবল এটিকে বহির্ভূত করতে পারি।

এই আলোচনার জন্য সকলকে ধন্যবাদ!

Answer 4

ইগেনভ্যালুগুলির (একরৈখিক, স্বায়ত্তশাসিত সমস্যায়) একার নিখুঁত মাত্রার কোনও অর্থ নেই; এটি যে ইউনিটগুলিতে আপনি সমস্যাটি প্রকাশ করতে বেছে নিয়েছেন তার একটি নিদর্শন।

মন্তব্যগুলির শৃঙ্খলা নিয়ন্ত্রণের বাইরে চলেছে, তাই আমি এটি একটি উত্তর দিচ্ছি। আমি পুরো প্রশ্নের উত্তর দিতে যাচ্ছি না; যেমনটি আমি বলেছি, উইকিপিডিয়া বা অন্যান্য উত্তরগুলি এখানে দেখুন। আমি ঠিক যে বিট উত্তর দিচ্ছি

দ্বি-মাত্রিক লিনিয়ার ওডিডি সিস্টেমগুলি বিবেচনা করুন: প্রথমে ইগেনভ্যালুগুলি {-1000000, -0.00000001} এবং দ্বিতীয়টি 100 -1000000, -999999} সহ} আমার হিসাবে, উভয় কঠোর হয়। তবে আমরা যদি কঠোরতা অনুপাতের সংজ্ঞা বিবেচনা করি, তবে দ্বিতীয় সিস্টেমটি নয়। মূল প্রশ্ন: কেন কঠোরতা অনুপাত বিবেচনা করা হয়?

ঠিক আছে, আসুন দ্বিতীয় মামলার উদাহরণ বিবেচনা করুন:

$$y_1'(t) = -1000000 y_1(t)$$ $$y_2'(t) = -999999 y_2(t)$$

$t^* = 1000000\cdot t$

$$y_1'(t^*) = - y_1(t^*)$$ $$y_2'(t^*) = -0.999999 y_2(t^*)$$

নোট 1: আমি এটিকে সম্পূর্ণ সুস্পষ্ট করার জন্য একটি তির্যক সিস্টেমটি বেছে নিয়েছি, তবে আপনি যদি সেই স্থানীয়গুলির সাথে অন্য কোনও সিস্টেমের সাথে চেষ্টা করে থাকেন তবে আপনি একই প্রভাব দেখতে পাবেন, কারণ একটি ধ্রুবক দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে একই ধ্রুবক দ্বারা তার ইগনালিয়ালগুলি গুণ করে।

$|\lambda|\gg1$

Comments

ডেভিড, আপনি সংহতকরণের বিরতি বিবেচনা করেন নি। প্রথম ক্ষেত্রে এটি [0,1] হতে দিন। সুস্পষ্ট এলারের স্থায়িত্বের সীমাবদ্ধতাগুলি ধরে নিলে, সর্বোচ্চ অনুমোদিত পদক্ষেপটি 2/1000000। সুতরাং আমাদের কমপক্ষে 500 000 পদক্ষেপ করা দরকার। আপনি যখন সময়টি স্কেল করেন, সর্বাধিক ধাপের আকার 2 এ বৃদ্ধি পায় তবে একীকরণের পুরো ব্যবধানটি 1 000 000 হয়ে যায় এবং আমরা আবার সর্বনিম্ন 500 000 পদক্ষেপে আঘাত করি।

— ফালিচিক

@ ফালিচিক হ্যাঁ, এখন আপনি এটি পেয়েছেন। জেদের উপরে উল্লিখিত হিসাবে দৃff়তার সাথে ইগেনভ্যালুগুলির পরম আকারের সাথে নয় তবে আকারের সাথে আপনার আগ্রহের টাইমস্কেলের সাথে সম্পর্কযুক্ত।

— ডেভিড কেচসন